第三章　圆1．如图3－Y－1，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD的度数为(　　)A．30° B．50° C．60° D．70°图3－Y－1　　　图3－Y－22．如图3－Y－2，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是(　　)A．3 B．2.5 C．2 D．13．如图3－Y－3，已知直线AD是⊙O的切线，A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且∠ODA＝36°，则∠ACB的度数为(　　)A．54° B．36° C．30° D．27°图3－Y－3　　　图3－Y－44．如图3－Y－4，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为(　　)A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm第 1 页


5 如图3－Y－5，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为(　　)A. B. C. D.图3－Y－5　　　 图3－Y－66．如图3－Y－6，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________°.7．如图3－Y－7，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为________．8．如图3－Y－8，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝130°，∠CAO＝60°，OA＝6，则BC的长为________．图3－Y－7　　　图3－Y－89．如图3－Y－9，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________．第 2 页


图3－Y－9　　　图3－Y－1010． 如图3－Y－10，直线AB与CD分别与⊙O相切于B，D两点，且AB⊥CD，垂足为P，连接BD.若BD＝4，则阴影部分的面积为________．11．如图3－Y－11，已知⊙O的内接正方形ABCD，E为边CD上一点，且DE＝CE，延长BE交⊙O于点F，连接FC，若正方形的边长为1，求弦FC的长．图3－Y－1112．如图3－Y－12，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，E是BC的中点，连接BD，DE.(1)若＝，求sinC；(2)求证：DE是⊙O的切线．图3－Y－1213．如图3－Y－13，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D.(1)若AC＝4，BC＝2，求OE的长；(2)试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．图3－Y－1314．如图3－Y－14，C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连接AD，AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F.(1)求∠AFE的度数；(2)求阴影部分的面积(结果保留π和根号)．图3－Y－14第 3 页


15．如图3－Y－15，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB＝60°，连接PO并延长与⊙O交于点C，连接AC，BC.(1)求证：四边形ACBP是菱形；(2)若⊙O的半径为1，求菱形ACBP的面积．图3－Y－151．C　[解析] 如图，连接BD，∵∠ACD＝30°，∴∠ABD＝30°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°－∠ABD＝60°.故选C.2．C　[解析] 如图，连接OA，设CD＝x，∵OA＝OC＝5，∴OD＝5－x.∵OC⊥AB，∴由垂径定理，得AD＝4，由勾股定理，得52＝42＋(5－x)2，∴x＝2，∴CD＝2.故选C.3．D　[解析] ∵AD为⊙O的切线，∴AD⊥OA，即∠OAD＝90°.∵∠ODA＝36°，∴∠AOD＝54°，∴∠ACB＝∠AOD＝27°.故选D.4．C　[解析] 过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C.∵OB＝13 cm，CD＝8cm，∴OD＝5 cm.在Rt△BOD中，BD＝＝12 cm，∴AB＝2BD＝24 cm.5．B　[解析] 如图，连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.第 4 页


∵OC∥AD，∴∠A＝∠BOC，∴cosA＝cos∠BOC.∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，∴cos∠BOC＝＝，∴cosA＝.又∵cosA＝，AB＝4，∴AD＝.故选B.6．507．3 　[解析] 如图，连接OB，∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴∠BOM＝＝30°，∴OM＝OB·cos∠BOM＝6×＝3 .故答案为：3 .8.π　[解析] 连接OC，如图，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠CAO＝60°，∴∠AOC＝60°，∴∠BOC＝130°－60°＝70°，∴BC的长为＝π.故答案为：π.9.　[解析] 连接OD，过点O作OE⊥CD于点E，如图所示．则CE＝DE.∵AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，∴OD＝OA＝2，OM＝1.∵∠OME＝∠CMA＝45°，∴△OEM是等腰直角三角形，∴OE＝OM＝.第 5 页


在Rt△ODE中，由勾股定理，得DE＝＝，∴CD＝2DE＝.故答案为：.10．2π－4　[解析] 如图，连接OB，OD.∵直线AB与CD分别与⊙O相切于B，D两点，∴AB⊥OB，PC⊥OD.∵AB⊥CD，∴四边形BODP是矩形．又OB＝OD，∴四边形BODP是正方形．∴⊙O的半径r＝BD＝2 .∴S阴影＝S扇形BOD－S△BOD＝×π×(2 )2－×2 ×2 ＝2π－4.11．解：如图，连接BD，则BD为⊙O的直径．∵CE＝×1＝，∴BE＝＝.在Rt△ABD中，BD＝＝.∵∠DBE＝∠FCE，∠CFE＝∠BDE，∴△DEB∽△FEC，∴＝，∴＝，∴FC＝.12．解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵∠ABC＝90°，∴∠C＋∠BAC＝90°，∴∠C＝∠ABD.∵＝，∴sin∠ABD＝，∴sinC＝.(2)证明：如图，连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE＝CE，∴∠EDB＝∠EBD.∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵∠ABC＝90°，第 6 页


∴∠EDO＝∠EDB＋∠ODB＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABC＝90°，∴OD⊥DE.∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．13．解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝＝2 ，∴AO＝AB＝×2 ＝.∵OD⊥AB，∴∠AOE＝∠ACB＝90°.又∵∠A＝∠A，∴△AOE∽△ACB，∴＝，∴OE＝＝＝.(2)∠CDE＝2∠A.理由如下：如图所示，连接OC.∵OA＝OC，∴∠1＝∠A.∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∴∠2＋∠CDE＝90°.∵OD⊥AB，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠3＝∠CDE.∵∠3＝∠A＋∠1＝2∠A，∴∠CDE＝2∠A.14．解：(1)连接OD，OC，∵C，D是半圆O上的三等分点，∴AD＝CD＝BC，∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，∴∠CAB＝30°.第 7 页


∵DE⊥AB，∴∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°－30°＝60°.(2)由(1)知，∠AOD＝60°.∵OA＝OD，AB＝4，∴△AOD是等边三角形，OA＝2.∵DE⊥AO，∴DE＝，∴S阴影＝S扇形AOD－S△AOD＝－×2×＝π－.15．解：(1)证明：如图，连接AO，BO，∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°，∴∠AOP＝60°，∴∠ACO＝∠OAC＝30°，∴∠ACO＝∠APO，∴AC＝AP.同理BC＝BP，∴AC＝BC＝BP＝AP，∴四边形ACBP是菱形．(2)如图，连接AB交PC于点D，易得AD⊥PC.∵OA＝1，∠AOP＝60°，∴AD＝OA＝，∴PD＝，∴PC＝3，AB＝，∴菱形ACBP的面积＝AB·PC＝.第 8 页