5　确定圆的条件知识点 1　确定圆的条件1．下列命题中不正确的是(　　)A．过一点有无数个圆B．过两点有无数个圆C．过三个点可以作一个圆D．直径是圆中最长的弦2．已知A，B，C为平面上三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则(　　)A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上B．可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内C．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外D．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内3．已知点A，B间的距离为2 cm，则经过A，B两点，半径为2 cm的圆能作(　　)A．1个 B．2个C．3个 D．无数个4．如图3－5－1，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是(　　)图3－5－1A．1 B．2 C．3 D．4知识点 2　三角形的外接圆与外心5．如图3－5－2，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，其外心不是点O的是(　　)图3－5－2A．△ABE B．△ACFC．△ABD D．△ADE6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，则它的外心与顶点C的距离为第 1 页


(　　)A．5 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm图3－5－37．如图3－5－3，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)，则△ABC外接圆的圆心坐标是(　　)A．(2，3) B．(3，2)C．(1，3) D．(3，1)8．如图3－5－4，在△ABC中，BC＝24 cm，外心O到BC的距离为6 cm，求△ABC外接圆的半径．图3－5－49．在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，已知⊙O是△ABC的外接圆，且⊙O的半径为5，则AB的长为(　　)A. B．3 C.或3 D.或2 10．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为(　　)A．40° B．100°C．40°或140° D．40°或100°11．如图3－5－5，在△ABC中，BC＝3 cm，∠BAC＝60°，那么△ABC能被半径至少为________ cm的圆形纸片所覆盖．图3－5－512．已知线段AB＝6 cm.(1)画半径为4 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画________个；(2)画半径为3 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画________个；第 2 页


(3)画半径为2 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画________个．13．如图3－5－6，在△ABC中，BC＝12 cm，AB＝AC，∠BAC＝120°.(1)作△ABC的外接圆(只需作出图形，并保留作图痕迹)；(2)求△ABC的外接圆的直径．图3－5－614．如图3－5－7，小明家的房前有一块空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．图3－5－715.如图3－5－8，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF＝AD.若AF＝3，tan∠ABD＝，求⊙O的直径．图3－5－816．【操作与探究】我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件．(1)分别测量图3－5－9①②③中各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？图3－5－9(2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图④⑤中的两个图说明其中的道理．(提示：考虑∠B＋∠D与180°之间的关系)(3)由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．1．C2．D　[解析] 由题意知A，B，C三点共线，故过A，B，C三点不能作圆，A选项错误；如图，经过A，B两点作圆，点C在圆外，B选项错误；经过A，C两点作圆，点B在圆内，C选项错误，D选项正确．第 3 页


3．B　4.C　5.B6．A　[解析] AB＝＝10(cm)，它的外心是斜边上的中点，外心与顶点C的距离是斜边上的中线长，为AB＝5 cm.7．D　[解析] △ABC外接圆的圆心是AC与AB的垂直平分线的交点．8．[解析] 过点O作OD⊥BC于点D，则OD＝6 cm，连接OB，在Rt△BOD中，利用勾股定理求解．解：过点O作OD⊥BC于点D，连接OB，则OD＝6 cm，BD＝BC＝12 cm.则OB＝＝6 cm.∴△ABC外接圆的半径为6 cm.9．C　[解析] 如图①所示，过点A作AE⊥BC于点D，则AE必过点O.∵AB＝AC，BC＝6，⊙O的半径为5，∴BO＝5，BD＝DC＝3，∴DO＝＝4，∴AD＝5＋4＝9，∴AB＝＝＝3 ；如图②所示，过点A作AE⊥BC于点D，则AE必过点O.∵AB＝AC，BC＝6，⊙O的半径为5，∴BO＝5，BD＝DC＝3，∴DO＝＝4，∴AD＝5－4＝1，∴AB＝＝＝.故AB的长为3 或.故选C.10．C11．[解析] 作⊙O的直径CD，连接BD.∵BC所对的圆周角有∠A，∠D，∴∠D＝∠A第 4 页


＝60°.∵∠DBC＝90°，∴∠BCD＝30°，∴CD＝2BD.在Rt△BCD中，∵BC＝3 cm，∴CD2－BD2＝32，即(2BD)2－BD2＝32，解得BD＝(cm)，则CD＝2 cm.∴半径OC＝OD＝ cm.12．(1)2　(2)1　(3)013．解：(1)分别作出AB，BC的垂直平分线，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，可得OA＝OB＝OC，∴两条直线的交点O即为圆心，再以点O为圆心，OA的长为半径所作的⊙O即为△ABC的外接圆．(2)连接OC.∵BC＝12 cm，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠CAO＝60°，OC＝OA，BM＝MC＝6 cm，∴△OAC是等边三角形，∴OA＝OC＝AC，∴∠MOC＝60°，∴OC＝4 cm.∴△ABC的外接圆的直径是8 cm.14．解：(1)略．(2)∵∠BAC＝90°，AB＝8米，AC＝6米，∴BC＝10米．∵直角三角形的外心在斜边的中点处，∴△ABC外接圆的半径为5米，∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米．15．解：如图，连接BE.∵AF＝AD，AB⊥EF，∴BF＝BD.∵AB＝AC，∴∠FBA＝∠ABC＝∠C＝∠E.∵tan∠ABD＝，∴tanE＝tan∠FBA＝.在Rt△ABF中，∠BAF＝90°.∵tan∠FBA＝＝，AF＝3，∴AB＝4.∵∠BAE＝90°，∴BE是⊙O的直径．第 5 页


∵tanE＝，设AB＝3x，AE＝4x，∴BE＝5x.∵AB＝4，∴3x＝4，∴x＝，∴BE＝5x＝，即⊙O的直径是.16．解：(1)对角互补(对角之和等于180°)．(2)没有．图④中，∠B＋∠D＜180°，图⑤中，∠B＋∠D＞180°.(3)过四边形的四个顶点能作一个圆的条件对角互补(对角之和等于180°)．第 6 页