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*3 垂径定理知识点 1 垂径定理1．如图3－3－1，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点F，连接BC，DB.则下列结论错误的是( )A.AD＝BD B．AF＝BFC．OF＝CF D.AC＝BC图3－3－1 图3－3－22．[2019·红桥区模拟] 如图3－3－2，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为E，若OE＝3，则AB的长是( )A．4 B．6 C．8 D．103．如图3－3－3，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是( )A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5图3－3－3 图3－3－44．在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图3－3－4所示，若油面AB＝160 cm，则油的最大深度为( )A．40 cm B．60 cm C．80 cm D．100 cm5．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：如果CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，那么直径CD为多少寸？请你求出CD的长．图3－3－56．如图3－3－6所示，AB是⊙O的弦(非直径)，C，D是AB上的两点，且AC＝BD.第 1 页
求证：OC＝OD. 图3－3－67．要测量一个钢板上的小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果将一个直径为10 mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h＝8 mm(如图3－3－7)，求此小孔的直径d.图3－3－7知识点 2 垂径定理的推论8．如图3－3－8，AB是⊙O的直径，CM＝DM，下列结论不成立的是( )A．AB⊥CD B．CB＝DBC．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MD图3－3－8 图3－3－99．如图3－3－9，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是________°.10．图3－3－10是某公园新建的圆形人工湖，为测量该湖的半径，小强和小丽沿湖边选取A，B，C三根木桩，使得AB＝BC，并测得点B到AC的距离为15米，AC的长为60米，请你帮他们求出人工湖的半径．图3－3－10图3－3－1111．如图3－3－11，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心、CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为( )A. B. C. D.12．已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB＝8 cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为( )A．2 cm B．4 cmC．2 cm或4 cm D．2 cm或4 cm第 2 页
13．如图3－3－12，⊙O过点B，C，圆心O在等腰三角形ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为( )A．6 B．13 C. D．2图3－3－12 图3－3－1314．如图3－3－13，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是⊙O的直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为________．15．如图3－3－14，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝6 cm，BE＝2cm，∠CEA＝30°，求CD的长．图3－3－1416．如图3－3－15所示，隧道的截面由圆弧AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12 m，宽AB为3 m，隧道的顶端E(圆弧AED的中点)高出道路(BC)7 m.(1)求圆弧AED所在圆的半径；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高6.5 m，宽2.3 m，这辆货运卡车能否通过该隧道？图3－3－15详解1．C [解析] ∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为F，∴AD＝BD，AC＝BC，∴F为AB的中点，即AF＝BF，故选项A，B，D正确；而OF与CF不一定相等．故选C.2．C [解析] 连接OA，如图．∵OC⊥AB，OA＝5，OE＝3，∴AE＝＝＝4，∴AB＝2AE＝8.故选C.3．C [解析] 当M是AB的中点时，OM的长最小．此时OM⊥AB，连接OA，则OM＝＝4.当M与点A或点B重合时，OM的长最大为5.因此4≤OM≤5，只有C项符合．第 3 页
4．A5．解：设CD＝2x寸，则半径OC＝x寸．∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，AB＝10寸，∴AE＝BE＝AB＝×10＝5(寸)，连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理，得x2＝52＋(x－1)2，解得x＝13，∴CD＝2x＝2×13＝26(寸)．6．证明：过点O作OE⊥AB于点E，则AE＝BE.又∵AC＝BD，∴CE＝DE，∴OE是CD的中垂线，∴OC＝OD.7．解：如图，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点C，连接OB.由垂径定理，得CD垂直平分AB.∴CD＝h＝8 mm，OD＝CD－CO＝3 mm.在Rt△ODB中，BD2＝OB2－OD2，即BD2＝52－32，∴BD＝4(mm)，∴AB＝2BD＝8 mm.答：此小孔的直径d为8 mm.8．D [解析] ∵AB是⊙O的直径，CM＝DM，∴CD⊥AB，CB＝DB，∴CB＝DB.∵AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，而推不出OM与MD相等．故选D.9．48 [解析] ∵AD＝CD，∴OD⊥AC，∴∠CDO＝90°，∴∠DOC＋∠ACO＝90°.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝42°，∴∠DOC＝90°－∠A＝48°.10．解：设点O为圆心，连接半径OA，OB，设OB交AC于点D.∵AB＝BC，∴OB⊥AC，AD＝CD＝30米．设OA＝x米，则OD＝(x－15)米．在Rt△AOD中，有x2－(x－15)2＝302，第 4 页
解得x＝37.5.故人工湖的半径为37.5米．11．C12．C [解析] 连接AC，AO.∵⊙O的直径CD＝10 cm，AB⊥CD，AB＝8 cm，∴AM＝AB＝×8＝4(cm)，OD＝OC＝5 cm.当点C的位置如图(1)所示时，∵OA＝5 cm，AM＝4 cm，CD⊥AB，∴OM＝＝3cm，∴CM＝OC＋OM＝5＋3＝8(cm)，∴AC＝＝＝4 (cm)．当点C的位置如图(2)所示时，同理可得OM＝3 cm，∵OC＝5 cm，∴MC＝5－3＝2(cm)．在Rt△AMC中，AC＝＝＝2 (cm)．故选C.13．C14．7 [解析] A，B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B，C，P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的长就是PA＋PC的最小值．作BH⊥CD交CD的延长线于点H.易求BH＝EF＝7，CH＝7，则BC＝7 .15．解：如图，过点O作OP⊥CD于点P，连接OC，则CD＝2CP.∵AE＝6 cm，BE＝2 cm，∴AB＝8 cm，∴OB＝OC＝4 cm，∴OE＝4－2＝2(cm)．在Rt△OPE中，∵∠CEA＝30°，∴OP＝OE＝1 cm.在Rt△COP中，CP＝＝(cm)，∴CD＝2CP＝2 cm.16．解：(1)设圆心为点O，半径为R m，连接OE交AD于点F，连接OA，OD，由垂径定理的逆定理，得OF垂直平分AD，AF＝6 m，OF＝R－(7－3)＝(R－4)m.由勾股定理，得AF2＋OF2＝OA2，即62＋(R－4)2＝R2，解得R＝6.5，第 5 页
即圆弧AED所在圆的半径为6.5 m.(2)能通过．理由如下：GH＝2.3 m，圆的半径OH＝6.5 m，由勾股定理，得OG＝≈6.08(m)，点G与BC的距离约为7－6.5＋6.08＝6.58(m)＞6.5 m，故这辆货运卡车能通过该隧道．第 6 页
求证：OC＝OD. 图3－3－67．要测量一个钢板上的小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果将一个直径为10 mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h＝8 mm(如图3－3－7)，求此小孔的直径d.图3－3－7知识点 2 垂径定理的推论8．如图3－3－8，AB是⊙O的直径，CM＝DM，下列结论不成立的是( )A．AB⊥CD B．CB＝DBC．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MD图3－3－8 图3－3－99．如图3－3－9，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是________°.10．图3－3－10是某公园新建的圆形人工湖，为测量该湖的半径，小强和小丽沿湖边选取A，B，C三根木桩，使得AB＝BC，并测得点B到AC的距离为15米，AC的长为60米，请你帮他们求出人工湖的半径．图3－3－10图3－3－1111．如图3－3－11，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心、CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为( )A. B. C. D.12．已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB＝8 cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为( )A．2 cm B．4 cmC．2 cm或4 cm D．2 cm或4 cm第 2 页
13．如图3－3－12，⊙O过点B，C，圆心O在等腰三角形ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为( )A．6 B．13 C. D．2图3－3－12 图3－3－1314．如图3－3－13，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是⊙O的直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为________．15．如图3－3－14，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝6 cm，BE＝2cm，∠CEA＝30°，求CD的长．图3－3－1416．如图3－3－15所示，隧道的截面由圆弧AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12 m，宽AB为3 m，隧道的顶端E(圆弧AED的中点)高出道路(BC)7 m.(1)求圆弧AED所在圆的半径；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高6.5 m，宽2.3 m，这辆货运卡车能否通过该隧道？图3－3－15详解1．C [解析] ∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为F，∴AD＝BD，AC＝BC，∴F为AB的中点，即AF＝BF，故选项A，B，D正确；而OF与CF不一定相等．故选C.2．C [解析] 连接OA，如图．∵OC⊥AB，OA＝5，OE＝3，∴AE＝＝＝4，∴AB＝2AE＝8.故选C.3．C [解析] 当M是AB的中点时，OM的长最小．此时OM⊥AB，连接OA，则OM＝＝4.当M与点A或点B重合时，OM的长最大为5.因此4≤OM≤5，只有C项符合．第 3 页
4．A5．解：设CD＝2x寸，则半径OC＝x寸．∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，AB＝10寸，∴AE＝BE＝AB＝×10＝5(寸)，连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理，得x2＝52＋(x－1)2，解得x＝13，∴CD＝2x＝2×13＝26(寸)．6．证明：过点O作OE⊥AB于点E，则AE＝BE.又∵AC＝BD，∴CE＝DE，∴OE是CD的中垂线，∴OC＝OD.7．解：如图，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点C，连接OB.由垂径定理，得CD垂直平分AB.∴CD＝h＝8 mm，OD＝CD－CO＝3 mm.在Rt△ODB中，BD2＝OB2－OD2，即BD2＝52－32，∴BD＝4(mm)，∴AB＝2BD＝8 mm.答：此小孔的直径d为8 mm.8．D [解析] ∵AB是⊙O的直径，CM＝DM，∴CD⊥AB，CB＝DB，∴CB＝DB.∵AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，而推不出OM与MD相等．故选D.9．48 [解析] ∵AD＝CD，∴OD⊥AC，∴∠CDO＝90°，∴∠DOC＋∠ACO＝90°.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝42°，∴∠DOC＝90°－∠A＝48°.10．解：设点O为圆心，连接半径OA，OB，设OB交AC于点D.∵AB＝BC，∴OB⊥AC，AD＝CD＝30米．设OA＝x米，则OD＝(x－15)米．在Rt△AOD中，有x2－(x－15)2＝302，第 4 页
解得x＝37.5.故人工湖的半径为37.5米．11．C12．C [解析] 连接AC，AO.∵⊙O的直径CD＝10 cm，AB⊥CD，AB＝8 cm，∴AM＝AB＝×8＝4(cm)，OD＝OC＝5 cm.当点C的位置如图(1)所示时，∵OA＝5 cm，AM＝4 cm，CD⊥AB，∴OM＝＝3cm，∴CM＝OC＋OM＝5＋3＝8(cm)，∴AC＝＝＝4 (cm)．当点C的位置如图(2)所示时，同理可得OM＝3 cm，∵OC＝5 cm，∴MC＝5－3＝2(cm)．在Rt△AMC中，AC＝＝＝2 (cm)．故选C.13．C14．7 [解析] A，B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B，C，P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的长就是PA＋PC的最小值．作BH⊥CD交CD的延长线于点H.易求BH＝EF＝7，CH＝7，则BC＝7 .15．解：如图，过点O作OP⊥CD于点P，连接OC，则CD＝2CP.∵AE＝6 cm，BE＝2 cm，∴AB＝8 cm，∴OB＝OC＝4 cm，∴OE＝4－2＝2(cm)．在Rt△OPE中，∵∠CEA＝30°，∴OP＝OE＝1 cm.在Rt△COP中，CP＝＝(cm)，∴CD＝2CP＝2 cm.16．解：(1)设圆心为点O，半径为R m，连接OE交AD于点F，连接OA，OD，由垂径定理的逆定理，得OF垂直平分AD，AF＝6 m，OF＝R－(7－3)＝(R－4)m.由勾股定理，得AF2＋OF2＝OA2，即62＋(R－4)2＝R2，解得R＝6.5，第 5 页
即圆弧AED所在圆的半径为6.5 m.(2)能通过．理由如下：GH＝2.3 m，圆的半径OH＝6.5 m，由勾股定理，得OG＝≈6.08(m)，点G与BC的距离约为7－6.5＋6.08＝6.58(m)＞6.5 m，故这辆货运卡车能通过该隧道．第 6 页
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