正比例和反比例一、教学目标分析　　正比例和反比例是在学生学习了比和比例的基础上进行教学的，主要让学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量。知识与技能方面的教学目标是：经历从具体实例中认识成正比例和反比例的量的过程，理解正比例、反比例的意义，学会判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。正比例、反比例都是表示两个相关联的变量之间关系的一种数学模型，都是在一定的条件下，一种量随着另一种量的变化而变化。本单元的教材分“成正比例的量”和“咸反比例的量”两个部分，先教学正比例的认识，再教学反比例的认识。在同一节课里引导学生探索两种量在变化过程中存在的规律，并用关系式表示出规律，有助于学生把握正比例、反比例概念的本质，因此我们抓住知识的内联与本质规律，重组正比例、反比例教学：把认识成正比例的量和认识成反比例的量的两个例题整合起来，安排在一节课里进行教学，让学生在同一实例的情境中，感悟、体会并理解正比例、反比例的意义。　　重组教材，创编文本。将教材中的例1(结合生活中的实例认识成正比例的量)和例3(结合生活中的实例认识成反比例的量)整合成同一问题情境下有前后联系的两道例题：保留原教材中的例1，引导学生认识成正比例的量；根据例1的情境，创编新的例2，替代原教材中的例3，引导学生认识成反比例的量。将教材中的例2(认识正比例图像)放到认识正比例、反比例之后进行教学。　　抓住本质，内联教学。成正比例的量的本质规律是“比值一定”，成反比例的量的本质规律是“积一定”，引导学生探究发现这两种本质规律是教学的主要任务，教学时应把握好这一点。本设计将例1和例2整合到同一情境下，从学生熟悉的时间、速度和路程这三个量之间的关系出发，引导学生对比研究，在观察、讨论交流中发现：①例1和例2中的两种量都是相关联的量，都是在一定的条件下，一种量随着另一种量的变化而变化。②例1中两种相关联的量的变化方向是相同的，一种量扩大(或缩小)，另一种量也随着扩大(或缩小)；例2中两种相关联的量的变化方向是相反的，一种量扩大，另一种量反而缩小。③例1中扩大、缩小的规律是“比值一定”，例2扩大、缩小的规律是“积一定”。这样抓住正比例、反比例的本质和联系进行教学，有助于学生加深对正比例、反比例意义的理解，从整体上把握各种量之间的比例关系。　　对比练习，沟通联系。学生对成正比例的量和成反比例的量有了一定的认识后，还需要一定的练习。为了帮助学生逐步提高判断成正比例、反比例的量的能力，本设计中的练习分三个层次：一是判断咸正比例的量的练习；二是判断成反比例的量的练习；三是正比例、反比例对比练习，成比例的量与不成比例的量的对比练习。比较和辨析，有助于学生更好地把握正比例、反比例概念的本质。　　二、教学过程设计　　(一)导引探究，由表及里　　教学例1，认识成正比例的量。　　1．谈话引出例1的表格。一辆汽车在公路上行驶，行驶的时间和路程如下表。时间（时）123456……路程（千米）80160240320400480……　　在让学生说一说表中列出了哪两种量之后，教师引导学生逐步探究：行驶的时间和路程有关系吗?行驶的时间是怎样随着路程的变化而变化的?行驶的时间和路程的变化有什么规律?(学生探究第3个问题时，教师可进行适当的引导，如引导学生写出几组路程和时间第 1 页


聚焦以下内容：路程和时间是两种相关联的量，路程随着时间的变化而变化；时间扩大、路程也扩大，时间缩小、路程也缩小；路程和时间的比值
总是一定的，也
就是“路程／板书=速度(一定时间)”(关系式)。　　3．教师对两种量之间的关系
给予具体说明：路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化。当路程和对应时间的比值
总是一定(也就是速度一定)时，我们就板书行驶的路程和时间咸正比例(说“路程和时间成正比例”)，行驶的路程和时间是成正比例的量。　　4．让学生根据
板书完整地说一说表中路程和时间成什么关系。　　[数学概念是
客观现实中数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映。数学概念的来
源一般有两个方面：一是直接从实际经验中概括得出；二是在原有的初级概念基础上通过新
旧概念的相互作用而获得。正比例概念的形成属于前者，因此例1的教学可以充分利用表格，让学生通过对表中数据的观察和分析，由
浅入深，由表及里，逐步认识成正比例的量的
特点。本环节先让学生观察例题中的表格，说一说表中列出的是哪两种量；接着用三个引探
性的问题逐步引导学生在探究学习活动中发现路程与时间之间的关系及变化趋势；最
后，聚焦、明晰这两种量之间的关系，让学生初步认识正比例的特点。这样的教学有利于学生经历正比例概念的
形(]　　成过程。二)自
主棵究，尝试归纳　　出示例2：汽车从
甲地开往乙地，行驶的速度和所用时间如下表，它100律?速度（千米/时）406080们之间有什么规120……时间（时）3020151210……　　1．出示
供学生自中两种量的变化有什么不同?这种变化与例1主探究的问题：当速度变化时，时间是否也随着变化?速度和时间的变化有什么规律?　　2．引导学生在
自主探究、交流中认识成反比例的量的特点：速度和时间是两种相关联的量，速度变化，时间也随着变化；例2中两种量的变化规律是：一种量扩大，另一种量反而缩小；速度和时间的变化规律是
它们的乘积一定，可以时间“速度×表示为=路程(一定)”(板书
关系式)。　　3．在发现变化规律的基础上，让学生
仿照正比例的意义，尝试归纳，引出反比例概念(板书“反比例的意义速度和时间成反比例”)。　　[从生活原型中逐步
抽象，从已有概念中衍生，从数学概念的学习中迁移等，都是建构
数学概念的有效方法。有了学习正比例的基础，反比例意义的学习应更加体现学生的学习
自主性。本环节除了让学生发现成反比例的量之间的关系，还让学生仿照正比例的意义，
尝试归纳反比例的意义。这样能真正发挥学生的学习主动性，让学生在自
主探究过程中经历反比例概念的形(]成过程。三)对比
棵　　1．将各例究，把握本质规律1、例2教学时探究发现的内
容用多媒体呈现出来，揭示正比例、反比例的内
涵本质。　　
多媒体呈现：　　例1路程
／=速度(一定时间)　　路程和时间成正比例第 2 页
对应的比，并要求学生求出比值。)　　2．引导学生交流并


动。　　(1)让学生
仿照完例1试62页成教材第“一试”(题略)，仿照例2完成教材第65试页“
一试”(题略)。　　(2)引导学生将成正比例的量与成反比例的量进行对比探究，
找出它不同点。　　们的相同点与[例1中路程和时间相
依互变，速度不变，例2中速度和时间相依互变，路程不变，这样的对比有
利于学生从变中看，1中速度是不变量，例2中路程是不变量到不变；例同样都有不变量，例1中路程和时间成正比例，而例2中速度和时间成反比例，这样的对比有
利于学生从不变中看到变。变与不变关键要抓住本质——比值一定“”还是“积一定”。对比探究活
动旨在让学生把握概念内在的联系与区别，形成正比例、反比例概念的认知结
构。]　　(3)引导学生
尝试用字母表达式对正比例的意义和反比例的意义进行抽象概括。　　
启发学生思考：①如果用分x字母y和别表示两种相关联的量、用k表示它们的比值，正比例关系可
以怎样表示?②如果用x字母和y表示两种相关联的量，用k表示它
们的积，反比例关系可以怎样表示?　　根据学生的
回答，板书“关系式正比例y／x=k(一定)”，“反比例x×y=k(一定)”。　　[概念
符号化在概念教学中很重要。《数学课程标准》明确指出，符号感主要表现之一是能从具体情境中
抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示。学生概念形成的主要过程为：感知具体对
象阶段、尝试建立表象阶段、抽象本质属性阶段、符号表征阶段
、概念运用阶段。在符号表征阶段，学生尝试用语言或符号对同类对象的本质属性
进行概括。本阶段教学是概念符号表征阶段，在这个阶段之前，学生对正比例、反比例的本质
属性及特征有一定的认识，可以开始尝试用符号对正比例、反比例进行概
括“y／x=k(一定)”，。“x×y=k(一定)”，是对正比例、反比例意义的抽象表达，是
揭示正比例、反比例数量关系及其变化规律的数学模型。]　　3．组
织对比性练习。　　(1)成正比例、反比例的对比练习。
笔记本的单价、购买的数量和总价60表1数量/本20304050如下表：……总价/元3045607590……表2单
价/元1.52456……数量/本4030151210……　　在表1中，相关联的量是和，随着变化，是一定的。因此，数量和
总价成关系。!　　在表2中，相关联的量是和，随着变化，是一定的。因此，单
价和数量成关系。　　[将
得获的新念概推广到其他同的类对象中去，是概念运程的过程，也是进一步理解概念的过用�