第12讲 轴对称综合第一部分 知识梳理知识点一：直角三角形性质直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半知识点二：轴对称的应用及变换（1）折纸问题（2）作图－－轴对称变换知识点三：轴对称的应用最短路径问题:知识点四：（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线第二部分 考点精讲精练考点1、折叠、作图－－轴对称变换例1、用刻度尺分别画下列图形的对称轴，可以不用刻度尺上的刻度画的是（ ） A．①④ B．②③ C．③④ D．①②例2、作已知点关于某直线的对称点的第一步是（　　）A．过已知点作一条直线与已知直线相交B．过已知点作一条：直线与已知直线垂直C．过已知点作一条直线与已知直线平行D．不确定例3、如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，点C的坐标为（4，1），则点B的坐标为（ ）A.（－2，1） B.（－3，1） C.（－2，－1） D.（－2，－1）例4、如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）． （1）请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标； （2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90度．画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；第 1 页


（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．例5、已知直线AB和△DEF，作△DEF关于直线AB的对称图形，将作图步骤补充完整：（如图所示）（1）分别过点D，E，F作直线AB的垂线，垂足分别是点______；（2）分别延长DM，EP，FN至______，使______=______，______=______，______=______；（3）顺次连接______，______，______，得△DEF关于直线AB的对称图形△GHI．举一反三：1、下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是（ ）2、如图，若△A'B'C'与△ABC关于直线AB对称，则点C的对称点C’的坐标是（ ） A．（0，－1） B．（0，－3） C．（3，0） D．（2，1）3、下图中的图形都是轴对称图形，请你试着画出它们的对称轴．4、如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB和直线MN，点A、B、M、N均在小正方形的顶点上．（1）在直线MN上找一点C（C点在小正方形的顶点上），使△ABC是轴对称图形（画出一种即可）；（2）请直接写出△ABC的面积．5、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．考点2、直角三角形性质（30°）例1、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A=30°，则（ ） A．AD=2BD B．AD=3BD C．AD=4BD D．AD=5BD例2、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．其中DE是AB的中垂线，交AB于D，交AC于E，连接BE．若EC=2，则AC=（ ） A．3 B．4 C．5 D．6例3、如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB于E，交AC于D，AD=2BC，则∠A=______．第 2 页


（例2） （例3）例4、如果等腰三角形的底边上的高为4厘米，腰长为8厘米，那么底角的度数是 ，顶角的度数是 ．例5、如图，在Rt△ABC中，点D在直角边BC上，DE平分∠ADB，∠1=∠2=∠3，AC=5cm．（1）求∠3的度数；（2）判断DE与AB的位置关系，并说明理由；（3）求BE的长．例6、如图：等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P．（1）运动几秒后，△ADE为直角三角形？（2）求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．举一反三：1、若一个三角形的三边长分别是3，6，，则最小角与最大角依次是（ ）A．30°，60° B．30°，90° C．60°，90° D．45°，90°2、如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CD∥AB，BC=6cm，∠BAD=30°，∠B=90°．则CD的长为 ．3、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=2∠B，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E．若BC=18cm，CD=6cm，则DE= cm，AD= cm．第 3 页


会，桌子摆成AO，两直条（如图中的BO），AO桌
面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖处的学C果，站在生小明先拿桔子再拿糖
果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总
路程最短？第 4 页
（2） （3）4、如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求证：AE=AB．5、如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且CD=AE，AD与BE相交于点P．（1）求证：∠ABE=∠CAD；（2）若BH⊥AD于点H，求证：PB=2PH．考点3、最短路径问题例1、如图，直线l是一条河，A、B两地相距5km，A、B两地到l的距离分别为3km、6km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）例2、如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（ ）A．转化思想 B．三角形的两边之和大于第三边C．两点之间，线段最短 D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角例3、茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚


射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．例5、如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周
长最小时，求∠AMN＋∠ANM的度数。举一反三：1、如图所示，直线CD同
侧两个点有A，B，在CD上找一点P使得AP+BP最短，并说明理由，
盼盼的解题思你如下，请路帮助完成操作及1空（填）作点B关于CD的对称点B′，连
结AB′交CD于点P，连就B结，点PP是所求作的点；（2）
再在CD上另取一点P′，连=AP′，B′P′，∵AP+BP结 （用图中的线段表示）∵AP′+B′P′＞ ，理由是 ∴AP′+B′P′＞AP+BP∴AP+BP最短．2、如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，
当PC+PD最小时，∠PCD=_______°．3、如图，在
游艺室面的平地面上，沿着地的水AB边放一行球，者参赛从起起点C步，跑
向边AB任取一球，再折向D点跑去，将纸放入D点的球箱内便完成任务完，成务任
的时间最短者获得胜利，如果邀请你参加，你将跑去选取什么位置上的球？为什么？4、如图，
娃星期天山处A从赶了几只羊到草羊l1地放，然后羊赶到小饮2l河后水，之
再回到B处的家，假设山娃赶羊走设都是的路，请你为它直计一条最短的路线，标明
放羊与饮所5、如图水的位置．示，A，B两
村在的同一河侧河，以岸为x轴建立直角坐标系，则A，B两村
现应的坐标分别为A（-1，1），B（3，3），对要站河边P处修建一个水泵在，分别直接向A，B两
村送水，点P选在哪个位置，才可能短？所用的水管最使试写出点P对应的坐标．第三部分 课堂
小测1、
观察下图中各组 图形，其中不是轴对称的是（）第 5 页
例4、如图，∠XOY内有一点P，在


比1：2：3，且AB=2，则BC= 为 ．5、如图，已知∠ACB=90°，CD是AB上的高，∠A=30°，AB=4cm，则：（1）BC= ； （2）∠BCD= ；（3）BD= ； （4）AD= ．6、如图所示，四边形EFGH是一个
矩形的球桌面，有黑白两球位于分别A、B两点，试说明
怎样撞击B，才使白球先撞击台球边EF，反弹后又能击中？A黑球7、有一
货场A的北偏东75°所的方向上有一学校C，一辆拖拉机200米/以分的速度从A点出发沿
公路向正东方向行驶，2分钟后，到，达B处此时观察到学校位于B点的
知偏北30°的方向上，已东该拖拉机形成的响音影噪的范围130m在以内．问：这条
公路上该拖拉机形成的噪音会对学校造成影响吗、图8、图①？②均为7×6的正方形网格，点A，B，C在格点上．在图①、②中确定格点D，并画出以A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（各画一个即可）9、（1）如图（1），已知∠AOB和线段CD，求作一点P，使PC=PD，并且点P到∠AOB的两边距离相等（尺
规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论（2）；）如图（2）是一个
台球桌，若击球者想通过击打E球，撞让球先E上AB边上的第 6 页
A． B．C． D．2、如图，直角坐标系中，点A的坐标是A（－2，1），则点A关于直线l对称点的坐标是（ ）A.（2，1） B.（－2，－1） C.（4，1） D.（4，－1）3、如图，在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB的度数是（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° （