17.1 勾股定理一、探索勾股定理1.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。2.若用a、b、c表示直角三角形的两直角边和斜边，则有：a2+b2=c2.二、一定是直角三角形吗1.如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.2.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.【例1】如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高16米，另一棵树高11米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？【答案】13.【解析】第 1 页如果△ABC的三边分别为m2-1，2m，m2+1(m＞1)，那么（ ）A. △ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1；B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m；C. △ABC是直角三角形，且边长需由m的大小确定为；D．△ABC不是直角三角形.如图，以直角三角形三条边为边长分别向外作三个正方形，其中两个正方形的面积分别为225和289，则正方形A的面积为（ ）A. 4 B.8. C.16 D.64


分析：如下图，要求小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端所飞的米数，实际就是求AB的距离，由此根据在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，即可求出AB的值．所以小鸟至少要飞13米，答：小鸟至少要飞13米，【名师指南】本题主要通过作辅助线，构造直角三角形应用勾股定理解决问题．解决这类问题的辅助线作法有：（1）利用高（作垂线）构造直角三角形；（2）利用已知直角构造直角三角形；（3）利用勾股定理构造直角三角形.【例2】）如图，在四边形ABCD中，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．【答案】24.【解析】分析：根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．解答：连接AC，【名师指南】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．【例3】如图，有一张直角三角形状纸片ABC，两直角边AC=6cm，BC=8cm，第 2 页


现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？【答案】3.【解析】【名师指南】利用勾股定理解决生活中的实际问题时，关键是利用转化的思想把实际问题转化为数学模型（直角三角形）来解决.而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的基础.故利用勾股定理解决的许多问题都要与方程相结合. 本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用，利用翻折的性质和勾股定理表示出△DBE的三边长是解题的关键．【例4】如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别为24dm，3dm，3dm A和B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是多少？【答案】30dm.【解析】分析：先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．解答：如图所示，【名师指南】本题考查的是平面展开-最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图是解答此题的关键．第 3 页


量得直角边长分别为6m两，8m，现在要将绿地
扩充成等腰角三形，且扩充部向是以6m分的直角边的反延长线方向，求扩充后等
腰三角形绿地的周m【答案】22m，（20+4）长．，m．【解析】∵AC⊥BC，∴BD=2BC=12m，∴C△ABD=AB+AD+BD=10+10+12=32（m）；当AB=BD时，如图2所示，∵AB=10m，BC=6m，∴CD=10-6=4m，∴AD===4，【名师指南】本题考查的是勾股定理的应用，
熟勾在应用勾股定理解决实际问题时知股定理与方程的结合是解决实际问题
常中用的方，关键是从法题抽象出勾股定理这一数学模型，画出
准确的示意图．领会．数形结合的思想的应用是解答此题的关键第 4 页
【例5】有一块直角三角形的绿地，