24.4 弧长和扇形面积（肖莲琴）第二课时一、教学目标（一）学习目标1．了解圆锥母线的概念，探索并理解圆锥侧面和全面积计算公式；2．会灵活应用圆锥侧面积和全面积计算公式解决问题．（二）学习重点探究圆锥侧面积和全面积的计算公式.（三）学习难点应用圆锥侧面积和全面积计算公式解决问题二、教学设计（一）课前设计1．预习任务阅读教材P113～114，再填空：（1）圆锥是由一个底面和一个 侧面 围成的；（2）连接圆锥 顶点 和底面圆周上 任意一点 的线段叫做圆锥的母线；（3）如图圆锥的侧面展开图的形状，圆锥的侧面展开图是一个 扇形 ；（4）如上图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为，根据上节课学习的扇形面积公式（其中l表示扇形的弧长，R表示扇形半径）可知：该圆锥的侧面展开图的面积是；（5）圆锥的 侧面积 与 底面积 之和称为圆锥的全面积，表示为：2．预习自测（1）圆锥的母线长为3cm，底面半径为1cm，则此圆锥的侧面积为________【知识点】圆锥侧面积的计算【思路点拨】已知母线长和底面半径，可以直接套用圆锥侧面积计算公式求得．【解题过程】解：∵母线l＝3cm，底面半径r＝1cm∴由圆锥侧面积计算公式得：＝【答案】第 1 页


（2）已知圆锥的母线长是5cm，圆锥侧面积为，则这个圆锥的底面半径是________【知识点】圆锥侧面积的计算的逆用【思路点拨】已知圆锥的母线、圆锥侧面积，可以逆用圆锥侧面积的计算公式求得圆锥底面半径，实际上圆锥母线、圆锥底面半径、圆锥侧面积三者中可以“知二求一”．【解题过程】解：∵母线长l＝5cm，圆锥侧面积∴圆锥侧面积计算公式：解得：∴底面半径为3cm【答案】3cm（3）圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，则该圆锥的全面积是________【知识点】圆锥全面积的计算【思路点拨】已知底面直径（半径）、母线长，可以直接套用圆锥全面积的计算公式求得圆锥全面积．【解题过程】解：∵底面直径是80cm，∴底面半径是40cm又∵母线长90cm∴由圆锥全面积计算公式：【答案】（4）圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，那么这个圆锥的全面积是_______【知识点】圆锥全面积的计算、勾股定理【思路点拨】本题由于母线长度未知，所以先要根据勾股定理求出母线长度，再直接套用圆锥全面积的计算公式求得圆锥全面积．【解题过程】解：∵底面半径为6cm，高为8cm∴由勾股定理，圆锥的母线长为：∴根据圆锥全面积计算公式：【答案】（二）课堂设计1．知识回顾（1）弧长计算公式和扇形面积计算公式回顾师问：上节课我们学习了弧长计算公式和扇形面积计算公式，你们还记得它们是怎样的吗？生答：弧长l＝＝，（其中n表示弧所对的圆心角的度数，R表示弧所在圆的半径）第 2 页


需多少平方米的材料吗？师问：要
想算出所需材料的数量，我们先要想想：组成帽子的是圆锥体的那个部分生答：圆锥体的侧面．？师问：由于圆锥的侧面是一个曲面，我们不
太方便计算其面积，有没有办法将其转化为平面图形呢？第 3 页l
生答：扇形面积S＝，（其中n表示扇形圆心角的度数，R表示扇形所在圆的半径）（2）圆锥的再认识（教师出示一组生活中含圆锥形物体的图片）师问：上面的物体中，有你熟悉的立体图形吗？生答：圆锥体师问：非常好，它们都含有圆锥体（如下图），那么什么是圆锥体呢？生答：圆锥是由一个底面和一个侧面组成的，它的底面是一个圆，它的侧面是一个曲面．师问：我们将圆锥顶点和底面圆周上任意一点连接的线段称作圆锥的母线，那么一个圆锥有多少条母线呢？它们在数量上有什么关系？生答：有无数条，它们是相等的．师问：为什么是相等的呢？生答：由勾股定理，每条母线l＝，h表示圆锥的高，r表示底面半径，对于同一个圆锥体，h和r的长是固定的，因此母线的长也是固定的．师：非常好！我们不仅知道母线长度是相同的，而且还了解了有关母线的一条非常重要的性质：母线l、圆锥高h、底面半径r之间满足：【设计意图】本节课探究的圆锥的侧面积和全面积，因此有必要重新认识圆锥，另外，本节课必须使用到上节课学习的弧长计算公式和扇形面积计算公式，因此也有必要回顾这两个公式，为本节课教学内容顺利进行做铺垫．2．问题探究探究一 圆锥的侧面积和全面积计算公式（★）●活动① 创设情景，感受新知如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，母线SB=15 cm，底面半径OB=5 cm，要生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算帽身至少


沿着圆锥的一条母线，将圆锥侧面剪开并展平，就会得到一个扇形．师问：非常好！要
想求出所需材料的数量，我们只需要求出这个扇形的面积就可以了，这个问题和我们上节课学习的扇形面积的计算一样了．
但是求这个扇形的面积需要哪些条件呢？它们是已知的吗？生1答：
需要知道扇形半径、圆心角度数，其中扇形半径就，圆锥的母是是已知的线，但圆心角度数是未知的；生2答：也可以
通过扇形弧长和扇形半径来求，其中扇形半径就是圆锥的母线，是已知的，扇形弧长其实
就是圆锥底面圆的周长，是可以求出来的，因此也相当于是已知的．●活动②
小组合作，探究新知师：
大家分析得非常好，接下来请大家以小组为单位，完成下列问题串：如图，
沿圆锥的一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，（1）设圆锥的母线长为l得，底面圆的半径为r，如图所示，那么这个扇形的半径为________；（2）扇形的弧长其实是底面圆周展开得到的，所以扇形弧长为________；（3）因此圆锥的侧面积为________，圆锥的全面积为________（学生先
独立思考，再小组合作完成，并展示）归纳
：①如上图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为，根据上节课学习的扇形面积公式（其中l表示扇形的弧长，R表示扇形半径）可知：该圆锥的侧面展开图的面积是；②圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，表示为：③通
过上面两个公式，我们可以看到，只要知道母线、底面半径就可以求圆锥的侧面积的全面积．探究二 应用圆锥侧面积计算公式和全面积计算公式解决问题（▲）●活动① 基础
性例例1 题已知圆锥的底面半径为3，母线为4，则它的侧面积是_______，全面积是________.【知识点】圆锥侧面积的计算【解题过程】解：∵母线l＝4，底面半径r＝3∴由圆锥侧面积计算公式得：＝第 4 页
生答：


习 已知圆锥的底面半径为4，母线为8，则它的侧面积是_______，全面积是_________．【知识点】圆锥侧面积的计算【解题过程】解：∵母线l＝8，底面半径r＝4∴由圆锥侧面积计算公式得：＝由圆锥全面积计算公式得：＝【思路点拨】已知底面半径和母线长，可以直接套用圆锥侧面积和全面积计算公式求得．【答案】例2 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则它的侧面积是_______，全面积是_______．【知识点】圆锥侧面积的计算【解题过程】解：∵底面半径为3，高为4，∴由勾股定理，母线＝5∴由圆锥侧面积计算公式得：＝由圆锥全面积计算公式得：＝【思路点拨】本题求圆锥的侧面积和全面积时，并
没有直接告诉圆锥的母线，需要先用勾股定理求出圆锥的母线．【答案】，练
习 如图，在中，，，将绕所在的直线旋转
一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为（ ）A． B． C． D．第 5 页AkCB
由圆锥全面积计算公式得：＝【思路点拨】已知底面半径和母线长，可以直接套用圆锥侧面积和全面积计算公式求得．【答案】 练


、勾股定理、圆锥侧面积【数学思
想】数形【解题过程】解：结合将绕所在的直线旋转
一周得到的是一个圆锥体∴由勾股定理，AB＝10∴由圆锥侧面积计算公式得：＝故选D．【思路点拨】本题求圆锥的侧面积时，并
没有直接告诉圆锥的母线，需出用勾股定理求要先母线的长度．【设计意图】本节课的重点和难点内容之一
就算公圆锥侧面积和全面积计是式理解和应用，因此本
环节用例1 和例2及变式练熟习学生，使掌握练式圆锥侧面积和全面积计算公最基本的应用，为接下
来生活实际应用问题做铺垫．●活动
②提升型例
题例1 已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是cm²，则这个圆锥的底面半径是________．【知识点】圆锥侧面积计算公式的逆用【思路点拨】已知圆锥的母线、圆锥侧面积，可以逆用圆锥侧面积的计算公式求得圆锥底面半径，实际上圆锥母线、圆锥底面半径、圆锥侧面积三者中可以“知二求一”．【解题过程】解：∵母线长l＝5cm，圆锥侧面积∴圆锥侧面积计算公式：解得：∴底面半径为4cm【答案】4cm练
习 用直径为80cm的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计接缝部分半径是________．【知识点】扇形面积的计算、圆锥侧面积计算公式的逆用【解题过程】解：），则该圆锥的底面∵围成圆锥侧面的半圆形的直径为80cm∴圆锥的侧面积为而