第二十四章　圆　一、填空题(每题3分，共18分)1．如图24－Z－1所示，在⊙O中，若∠A＝60°，AB＝3 cm，则OB＝________ cm.图24－Z－12．如图24－Z－2，AB是⊙O的直径，∠AOC＝130°，则∠D＝________°.图24－Z－23．如图24－Z－3所示，一个宽为2厘米的刻度尺(刻度单位：厘米)放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿的半径为________厘米．图24－Z－34.如图24－Z－4，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，C是AB上的一点，∠P＝40°，则∠ACB的度数为________．图24－Z－45．如图24－Z－5，把半径为4 cm的半圆围成一个圆锥的侧面，使半圆圆心为圆锥的顶点，那么这个圆锥的高是________cm(结果保留根号)．图24－Z－56.如图24－Z－6，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长为________．图24－Z－6二、选择题(每题4分，共32分)7．如图24－Z－7，点A，B，C在⊙O上，∠A＝50°，则∠BOC的度数为(　　)图24－Z－7A．40° B．50° C．80° D．100°8．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是()A．相交 B．相切 第 1 页


C．相离 D．不能确定9．如图24－Z－8，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC.若∠BCD＝50°，则∠AOC的度数为(　　)图24－Z－8A．40° B．50° C．80° D．100°10．一个扇形的半径为2，扇形的圆心角为48°，则它的面积为(　　)A. B. C. D.11．已知圆锥的底面积为9π cm2，母线长为6 cm，则圆锥的侧面积是(　　)A．18π cm2 B．27π cm2 C．18 cm2 D．27 cm212．一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过(　　)A．12 mm B．12 mmC．6 mm D．6 mm13．如图24－Z－9，半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合，若BC＝4，则图中阴影部分的面积是(　　)图24－Z－9A．2＋π B．2＋2πC．4＋π D．2＋4π12.如图24－Z－10，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是(　　)图24－Z－10A.π B．13π C．25π D．25 三、解答题(共50分)15．(10分)如图24－Z－11，在⊙O中，AB＝AC，∠ACB＝60°.求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.图24－Z－1116．(12分)如图24－Z－12，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，第 2 页


MD恰好经过圆心O，连接MB.(1)若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；(2)若∠M＝∠D，求∠D的度数．图24－Z－1217．(12分)已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.(1)如图24－Z－13①，求∠T和∠CDB的大小；(2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．图24－Z－1318．(16分)如图24－Z－14，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD＝AB，AD，BC的延长线相交于点E.(1)求证：AD是半圆O的切线；(2)连接CD，求证：∠A＝2∠CDE；(3)若∠CDE＝27°，OB＝2，求BD的长．图24－Z－14教师详解详析【作者说卷】本试卷的重点是圆的基本概念、与圆有关的位置关系及应用．难点是如何构建垂径定理模型解决问题，切线的判定与性质的综合应用，亮点是既注重解决生活中的实际问题，又培养学生认真读题的习惯.知识与技能圆的相关性质垂径定理及其应用与圆有关的位置关系题号1，2，4，7，9，153，168知识与技能扇形、弧长、圆锥综合运用题号5，6，10，11，13，1417，18第 3 页


1.32．25　[解析] ∵AB是⊙O的直径，∠AOC＝130°，∴∠BOC＝180°－∠AOC＝50°，∴∠D＝∠BOC＝25°.故答案为25.3.　[解析] 如图所示，设该圆的半径为x厘米，已知弦长为6厘米，根据垂径定理，得AB＝3厘米．根据勾股定理，得OA2－OB2＝AB2，即x2－(x－2)2＝32，解得x＝.4．110°　[解析] 如图所示，连接OA，OB，∵PA，PB是切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－40°＝140°，∴∠ADB＝70°.又∵圆内接四边形的对角互补，∴∠ACB＝180°－∠ADB＝180°－70°＝110°.5．2 　[解析] 设圆锥的底面圆半径为r cm，高为h cm，则2πr＝4π，r＝2，根据勾股定理，得h＝＝2 .故答案是2 .6．4π　[解析] lCD＝＝，lDE＝＝，lEF＝＝2π，所以曲线CDEF的长＝＋＋2π＝4π.7．D8．A　[解析] ∵⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，又∵3＞2，即d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．9．C　[解析] ∵CD为⊙O的切线，∴∠OCD＝90°.∵∠BCD＝50°，∴∠OCB＝40°.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝40°，∴∠AOC＝2∠OBC＝80°.故选C.第 4 页


10．A　[解析] 根据扇形面积公式：S＝＝＝.故选A.11．A　[解析] 因为圆锥的底面积为9π cm2，所以圆锥的底面圆的半径为3 cm，圆锥的底面周长为6π cm，根据扇形面积公式得S＝lR＝×6π×6＝18π(cm2)．12．A　[解析] 如图，已知圆的半径r为12 mm，△OBC是等边三角形，所以BC＝12mm，所以正六边形的边长最大不超过12 mm.故选A.13．A　[解析] 如图，连接DO.∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠CBA＝45°，∴∠DOC＝90°.利用分割的方法，得到阴影部分的面积等于三角形BOD的面积加扇形COD的面积，所以阴影部分的面积＝×2×2＋π×22＝2＋π.14．A　[解析] 如图，连接BD，B′D.∵AB＝5，AD＝12，∴BD＝＝13，∴BB′的长l＝＝π.∵BB″的长l′＝＝6π，∴点B在两次旋转过程中经过的路径的长是π＋6π＝π.故选A.15．证明：∵AB＝AC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA，∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 16．解：(1)∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝16，∴DE＝CD＝8.∵BE＝4，∴OE＝OB－BE＝OD－4.在Rt△OED中，OE2＋DE2＝OD2，第 5 页


即(OD－4)2＋82＝OD2，解得OD＝10.∴⊙O的直径是20.(2)∵弦CD⊥AB，∴∠OED＝90°，∴∠EOD＋∠D＝90°.∵∠M＝∠D，∠EOD＝2∠M，∴∠EOD＋∠D＝2∠M＋∠D＝3∠D＝90°，∴∠D＝30°.17．解：(1)如图①，连接AC，∵AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°.∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－∠ABT＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°.(2)如图②，连接AD，在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°.∵∠ADC＝∠ABC＝50°，∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝15°.18．解：(1)证明：连接OD，BD.第 6 页


∵AB是以BC为直径的半圆O的切线，∴AB⊥BC，即∠ABO＝90°.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵OB＝OD，∴∠DBO＝∠BDO，∴∠ABD＋∠DBO＝∠ADB＋∠BDO，即∠ABO＝∠ADO＝90°.又∵OD是半圆O的半径，∴AD是半圆O的切线．(2)证明：由(1)知∠ADO＝∠ABO＝90°，∴∠A＝360°－∠ADO－∠ABO－∠BOD＝180°－∠BOD＝∠DOC.∵AD是半圆O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ODC＋∠CDE＝90°.∵BC是⊙O的直径，∴∠ODC＋∠BDO＝90°，∴∠BDO＝∠CDE.∵∠BDO＝∠OBD，∴∠DOC＝2∠BDO，∴∠DOC＝2∠CDE，∴∠A＝2∠CDE.(3)∵∠CDE＝27°，∴∠DOC＝2∠CDE＝54°，∴∠BOD＝180°－54°＝126°.第 7 页


∵OB＝2，∴BD的长＝＝π.第 8 页