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﹣ B．α C．180°α的 D．2α4．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形﹣边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P（1.2，1.4）平移后对应点为P1，点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，则点P2的坐标为（）A．（2.8，3.6） B．（﹣2.8，﹣3.6） C．（3.8，2.6） D．（﹣3.8，﹣2.6）5．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为（﹣1，0），AC=2．将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是（）A．（2，2） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1）6．如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG=120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD=OE；第 1 页
人教版九年级上册23.1 图形的旋转同步练习一．选择题1．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）A．10° B．20° C．50° D．70°2．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（ ）A．45° B．60° C．70° D．90°3．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（ ）A．90°α
②S△ODE=S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为（ ）A．5 B． C． 7 D．8．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2019的坐标为（ ）A．（1，1） B．（0，） C．（）D．（﹣1，1）9．下列运动属于旋转的是（ ）A．滚动过程中的篮球的滚动 B．钟表的钟摆的摆动C．气球升空的运动 D．一个图形沿某直线对折的过程10．正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（ ）A．36° B．54° C．72° D．108°二．填空题（共5小题）11．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为 ．12．如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD，有下列结论：①AD=CD；第 2 页
②∠ACD的大小随着α的变化而变化；③当α=30°时，四边形OADC为菱形；④△ACD面积的最大值为a2；其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）．13．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是 ．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P是AC上一点，过P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△EPD．若点E落在边BC上，则AP的长为 ．15．正方形ABCD中，AB=4，点E为AD边上一点，点F为AB边上一点且∠DEC=∠AEF=60°，将顶点为D点的∠NDM绕着D点进行旋转，∠NDM=60°，若射线DM交线段EF于点H，若射线DN交线段EC于K点，交线段CB于G点，当HG平分∠DHF时，四边形EHGK的面积是 ．三．解答题（共5小题）16．如图，矩形ABCD中，AC=2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F=AB．（1）求证：AE=C′E．（2）求∠FBB'的度数．（3）已知AB=2，求BF的长．17．如图，在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△EFC，连接AF、BE．（1）求证：四边形ABEF是平行四边形；（2）当∠ABC为多少度时，四边形ABEF为矩形？第 3 页
请说明理由．18．如图，将一副三角板的直角顶点重叠在C点．（1）如图①，ED、AB相交于点P，试求∠EPA、∠APD的度数；（2）如图②，Rt△ABC保持不动，将Rt△ECD绕着点C顺时针进行旋转旋转过程中，直线ED与直线AB的交点设为点P．①设旋转角为x（0＜x＜90°），试求∠APD的度数（请用含有x的式子表示）；②当Rt△ABC与Rt△ECD有一组边互相平行（不含AB∥ED）时，求∠APD的度数．19．如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°（1）观察猜想将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，则∠CEN= °．（2）操作探究将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数；（3）深化拓展将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋转 °时，边CD恰好与边MN平行．（直接写出结果）20．如图，△ABC中，AB=5，BC=11，AC=4，点P是BC边上的一个动点，联结AP，取AP的中点M，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得到线段PN，联结AN，NC．（1）设BP=x，△PNC的面积为y，试求y关于x的函数解析式；（2）若NP=NC，求BP的长．参考答案一．选择题第 4 页
1． B． 2．D．3．C． 4．A．5．A．6．C． 7．D． 8．D．9．B． 10．C． 二．填空题11．90°． 12．①③④．13．70°．14．． 15．．三．解答题16．（1）证明：∵在Rt△ABC中，AC=2AB，∴∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°，由旋转可得：AB′=AB，∠B′AC=∠BAC=60°，∴∠EAC′=∠AC′B′=30°，∴AE=C′E；（2）解：由（1）得到△ABB′为等边三角形，∴∠AB′B=60°，∴∠FBB′=15°；（3）解：由AB=2，得到B′B=B′F=2，∠B′BF=15°，过B作BH⊥BF，第 5 页
°∠E=60°45°=15﹣﹣∴∠APD=180°
﹣∠EPA=180°15°=165°∠；（2）①如图②，在四边形PACD中，∵∠A=60°，﹣ACE=x，∠ECD=90°，∠D=45°∴∠APD=360°90°60°45°x=165°x
﹣﹣﹣﹣﹣；②分6种情况：1，当AB∥CD时，如图③，∴∠APD+∠D=180°，∵∠D=45°，∴∠APD=135°，2，当ED∥AC时，如图④，∴∠APD+∠A=180°第 6 页
在Rt△BB′H中，cos15°=，即BH=2×=，则BF=2BH=+．17．（1）证明：∵将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△EFC，∴△ABC≌△EFC，∴CA=CE，CB=CF，∴四边形ABEF是平行四边形；（2）解：当∠ABC=60°时，四边形ABEF为矩形，理由是：∵∠ABC=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∵CA=CE，CB=CF，∴AE=BF，∵四边形ABEF是平行四边形，∴四边形ABEF是矩形．18．解：（1）∵∠BAC=60°，∠E=45°，∴∠EPA=∠BAC
答案为：105°．（2）∵OD平分∠MON，∴∠DON=∠MPN=×90°=45°，∴∠DON=∠D=45°，∴CD∥AB，∴∠CEN=180°
﹣∠MNO=180°30°=150°F；．（3）如图1，CD在AB上方时，设OM与CD相交于﹣，∵CD∥MN，∴∠OFD=∠M=60°，在△ODF中，∠MOD=180°
﹣∠D，∠OFD﹣=180°45°60°
﹣﹣，=75°，当CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于F，∵CD∥MN，∴∠DFO=∠M=60°，第 7 页
∵∠A=60°∴∠APD=120°3，当AB∥EC时，如图，∴∠APD=∠CED=45°4，当AB∥CD时，如图⑤∴∠APD=∠CDE=45°5，当AC∥DE时，如图⑥∴∠APD=∠BAC=606，当AB∥CE时，如图⑦，此时P与A重合，∠APD=0°综上所述，当Rt△ABC与Rt△ECD有一组边互相平行（不含AB∥ED）时，∠APD的度数为135°或120°或45°或60°或0°．19．解：（1）∵∠ECN=45°，∠ENC=30°，∴∠CEN=105°．故
﹣∠DF∠D﹣O=180°45°60°=75°1﹣，∴旋转角为75°+﹣80°=255°，综上所述，当边OC旋转75°或255°时，边CD恰好与边MN平行．故
答案为：75或255．20．解：作AH⊥BC于H，NQ⊥BC于Q，在Rt△ABH中，AH2=AB2BH
﹣2=52BH2，在Rt﹣△ACH中，AH2=AC2CH
H2=（4）2﹣（11B﹣﹣）2，∴52BH
﹣2=（4）2﹣（11BH）2﹣，解得BH=3，∴AH==4，∵线段MP绕点P顺时针旋转90°得到线段PN，∴∠APN=90°，PN=PM=AP，∴∠APH+∠NPQ=90°，∵∠APH+∠PAH=90°，∴∠PAH=∠NPQ，∴Rt△APH∽Rt△PNQ，∴==2，即NQ=PH，当3＜x＜11时，如图1，PH=x3
﹣，则HQ=（x3﹣），∴y=•（x3
﹣）•（11x=﹣）﹣x2+x﹣；当0≤x＜3时，如图2，PH=3x
﹣，则HQ=（3x﹣），∴y=•（3x
﹣）•（11x）=x2﹣x+；（2﹣）∴Rt△APH∽Rt△PNQ，第 8 页
在△DOF中，∠DOF=180°
﹣，解得x=7，即BP的长为7．第 9 页
∴==2，∴PQ=2，∵NP=NC，∴PQ=CQ=2，∴11x=4
人教版九年级上册23.1 图形的旋转同步练习一．选择题1．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）A．10° B．20° C．50° D．70°2．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（ ）A．45° B．60° C．70° D．90°3．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（ ）A．90°α
②S△ODE=S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为（ ）A．5 B． C． 7 D．8．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2019的坐标为（ ）A．（1，1） B．（0，） C．（）D．（﹣1，1）9．下列运动属于旋转的是（ ）A．滚动过程中的篮球的滚动 B．钟表的钟摆的摆动C．气球升空的运动 D．一个图形沿某直线对折的过程10．正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（ ）A．36° B．54° C．72° D．108°二．填空题（共5小题）11．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为 ．12．如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD，有下列结论：①AD=CD；第 2 页
②∠ACD的大小随着α的变化而变化；③当α=30°时，四边形OADC为菱形；④△ACD面积的最大值为a2；其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）．13．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是 ．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P是AC上一点，过P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△EPD．若点E落在边BC上，则AP的长为 ．15．正方形ABCD中，AB=4，点E为AD边上一点，点F为AB边上一点且∠DEC=∠AEF=60°，将顶点为D点的∠NDM绕着D点进行旋转，∠NDM=60°，若射线DM交线段EF于点H，若射线DN交线段EC于K点，交线段CB于G点，当HG平分∠DHF时，四边形EHGK的面积是 ．三．解答题（共5小题）16．如图，矩形ABCD中，AC=2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F=AB．（1）求证：AE=C′E．（2）求∠FBB'的度数．（3）已知AB=2，求BF的长．17．如图，在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△EFC，连接AF、BE．（1）求证：四边形ABEF是平行四边形；（2）当∠ABC为多少度时，四边形ABEF为矩形？第 3 页
请说明理由．18．如图，将一副三角板的直角顶点重叠在C点．（1）如图①，ED、AB相交于点P，试求∠EPA、∠APD的度数；（2）如图②，Rt△ABC保持不动，将Rt△ECD绕着点C顺时针进行旋转旋转过程中，直线ED与直线AB的交点设为点P．①设旋转角为x（0＜x＜90°），试求∠APD的度数（请用含有x的式子表示）；②当Rt△ABC与Rt△ECD有一组边互相平行（不含AB∥ED）时，求∠APD的度数．19．如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°（1）观察猜想将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，则∠CEN= °．（2）操作探究将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数；（3）深化拓展将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋转 °时，边CD恰好与边MN平行．（直接写出结果）20．如图，△ABC中，AB=5，BC=11，AC=4，点P是BC边上的一个动点，联结AP，取AP的中点M，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得到线段PN，联结AN，NC．（1）设BP=x，△PNC的面积为y，试求y关于x的函数解析式；（2）若NP=NC，求BP的长．参考答案一．选择题第 4 页
1． B． 2．D．3．C． 4．A．5．A．6．C． 7．D． 8．D．9．B． 10．C． 二．填空题11．90°． 12．①③④．13．70°．14．． 15．．三．解答题16．（1）证明：∵在Rt△ABC中，AC=2AB，∴∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°，由旋转可得：AB′=AB，∠B′AC=∠BAC=60°，∴∠EAC′=∠AC′B′=30°，∴AE=C′E；（2）解：由（1）得到△ABB′为等边三角形，∴∠AB′B=60°，∴∠FBB′=15°；（3）解：由AB=2，得到B′B=B′F=2，∠B′BF=15°，过B作BH⊥BF，第 5 页
°∠E=60°45°=15﹣﹣∴∠APD=180°
﹣∠EPA=180°15°=165°∠；（2）①如图②，在四边形PACD中，∵∠A=60°，﹣ACE=x，∠ECD=90°，∠D=45°∴∠APD=360°90°60°45°x=165°x
﹣﹣﹣﹣﹣；②分6种情况：1，当AB∥CD时，如图③，∴∠APD+∠D=180°，∵∠D=45°，∴∠APD=135°，2，当ED∥AC时，如图④，∴∠APD+∠A=180°第 6 页
在Rt△BB′H中，cos15°=，即BH=2×=，则BF=2BH=+．17．（1）证明：∵将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△EFC，∴△ABC≌△EFC，∴CA=CE，CB=CF，∴四边形ABEF是平行四边形；（2）解：当∠ABC=60°时，四边形ABEF为矩形，理由是：∵∠ABC=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∵CA=CE，CB=CF，∴AE=BF，∵四边形ABEF是平行四边形，∴四边形ABEF是矩形．18．解：（1）∵∠BAC=60°，∠E=45°，∴∠EPA=∠BAC
答案为：105°．（2）∵OD平分∠MON，∴∠DON=∠MPN=×90°=45°，∴∠DON=∠D=45°，∴CD∥AB，∴∠CEN=180°
﹣∠MNO=180°30°=150°F；．（3）如图1，CD在AB上方时，设OM与CD相交于﹣，∵CD∥MN，∴∠OFD=∠M=60°，在△ODF中，∠MOD=180°
﹣∠D，∠OFD﹣=180°45°60°
﹣﹣，=75°，当CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于F，∵CD∥MN，∴∠DFO=∠M=60°，第 7 页
∵∠A=60°∴∠APD=120°3，当AB∥EC时，如图，∴∠APD=∠CED=45°4，当AB∥CD时，如图⑤∴∠APD=∠CDE=45°5，当AC∥DE时，如图⑥∴∠APD=∠BAC=606，当AB∥CE时，如图⑦，此时P与A重合，∠APD=0°综上所述，当Rt△ABC与Rt△ECD有一组边互相平行（不含AB∥ED）时，∠APD的度数为135°或120°或45°或60°或0°．19．解：（1）∵∠ECN=45°，∠ENC=30°，∴∠CEN=105°．故
﹣∠DF∠D﹣O=180°45°60°=75°1﹣，∴旋转角为75°+﹣80°=255°，综上所述，当边OC旋转75°或255°时，边CD恰好与边MN平行．故
答案为：75或255．20．解：作AH⊥BC于H，NQ⊥BC于Q，在Rt△ABH中，AH2=AB2BH
﹣2=52BH2，在Rt﹣△ACH中，AH2=AC2CH
H2=（4）2﹣（11B﹣﹣）2，∴52BH
﹣2=（4）2﹣（11BH）2﹣，解得BH=3，∴AH==4，∵线段MP绕点P顺时针旋转90°得到线段PN，∴∠APN=90°，PN=PM=AP，∴∠APH+∠NPQ=90°，∵∠APH+∠PAH=90°，∴∠PAH=∠NPQ，∴Rt△APH∽Rt△PNQ，∴==2，即NQ=PH，当3＜x＜11时，如图1，PH=x3
﹣，则HQ=（x3﹣），∴y=•（x3
﹣）•（11x=﹣）﹣x2+x﹣；当0≤x＜3时，如图2，PH=3x
﹣，则HQ=（3x﹣），∴y=•（3x
﹣）•（11x）=x2﹣x+；（2﹣）∴Rt△APH∽Rt△PNQ，第 8 页
在△DOF中，∠DOF=180°
﹣，解得x=7，即BP的长为7．第 9 页
∴==2，∴PQ=2，∵NP=NC，∴PQ=CQ=2，∴11x=4
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