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第7讲 平方根知识点1： 平方根（一）什么叫做平方根？探索一什么数的平方等于9？=9，=9什么数的平方等于16？=16，=16，什么数的平方等于49？=49，=49什么数的平方等于121？ =121，=121总结：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做ａ的 或 ． 用数学式子表述为：若=，则是的平方根。平方根的特点结论一：一个正数的平方根有 个，它们互为 数。探索二=0结论二：0的平方根有 个，是 ；探索三=－4，=－9，=－16，结论三：负数 平方根（填“有”或“没有” ）重点点击：一个正数的平方根有 个，它们互为 数；0的平方根有 个，是 ；负数 平方根（二）算术平方根：一个正数有两个平方根，一正一负，其中 叫做算术平方根。如：81的算术平方根是 ，规定：0的算术平方根是0（三）如何表示一个数的平方根，算数平方根（1） “25的平方根”可以表示为 ， “25的算数平方根”可以表示为， ，（2）小结：正数a的平方根可以用 表示；正数a的算术平方根可以用 表示；正数a的负的平方根第 1 页
可以用 表示。（3）如果有意义，则满足的条件时 如：9的平方根可以表示为或2的算术平方根可以表示为： (四)平方根的性质（1）（的算数平方根）具有双重非负性：是非负数，也是非负数（2）， （3）平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根 B.l是l的一个平方根 C.的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0 举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正： （1）没有平方根．（ ）（2）．（ ）（3）的平方根是．（ ）（4）是的算术平方根．（ ）2、为何值时，下列各式有意义？(1)； (2)； (3)； (4)．举一反三：【变式1】代数式＝有意义，则的取值范围是 ． 第 2 页
【变式2】已知，求的算术平方根．类型二、平方根的运算2、 填空：（1）是 的负平方根． （2）表示 的算术平方根， ．（3）的算术平方根为 ． （4）若，则 ，若，则 ．举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 是64的负的平方根．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2】求下列各式的值：（1）3 （2）（3） （4）4.若2－4与3－1是同一个正数的两个平方根，求的值．举一反三：【变式】已知2－1与－＋2是的平方根，求的值.类型三、利用平方根解方程5、求下列各式中的.（1） （2）；（3）【变式】求下列等式中的： （1）若，则＝______； （2），则＝______；（3）若则＝______； （4）若，则＝______．类型四、平方根的综合应用第 3 页
巩固练习1、—8是 的平方根； 64的平方根是 ； ；—的平方是 ； ； 的平方根是 。2、大于而小于的所有整数为 。3、的整数部分；小数部分4、 的平方根是； 5、的整数部分；小数部分6. 若，则＝__________.7、计算（1） （2）8、已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,求a、b的值.提高练习1．下列说法中正确的有（ ）． ①只有正数才有平方根． ②是4的平方根． ③的平方根是． ④的算术平方根是． ⑤的平方根是．⑥ ．A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个2．若＝－4，则估计的值所在的范围是（ ）A．1＜＜2 B. 2＜＜3 C. 3＜＜4 D. 4＜＜5 3. 试题下列说法中正确的是（ ）A.4是8的算术平方根 B.16的平方根是4 C.是6的平方根 D.－没有平方根 4. 能使－3的平方根有意义的值是（ ）第 4 页
5、已知、是实数，且，解关于的方程举一反三：【变式】若，求的值．
A. ＞0 B. ＞3 C. ≥0 D. ≥35. 若，为实数，且|＋1|＋＝0，则的值是（ ）A.0 B.1 C.－1 D.－20196.已知和互为相反数，且，求的值．7、若一个正数的平方根是和，则这个数是什么？8.如图，实数，对应数轴上的点A和B，化简9、已知，求x+y+z的平方根。10．观察下列各式： 请你将猜想得到的规律用含自然数n（n≥1）的代数式表示出来：_________．课后练习：1．下列说法正确的个数是（ ） ①0.25的平方根是0.5； ②-2是4的平方根； ③只有正数才有平方根； ④负数没有平方根． A．1 B．2 C．3 D．42．求下列各数的平方根． 0， ， 17， ， （-2）2， 2， -16．3．的算术平方根是（ ）． A．±4 B．4 C．±2 D．24．求下列各数的算术平方根． （1）0.0025； （2）（-6）2； （3）0； （4）（-2）×（-8）．5．下列说法中错误的是（ ） A．是5的平方根 B．-16是256的平方根 C．-15是（-15）2的算术平方根 D．±是的平方根6.判断： （1）负数和零没有算术平方根． （ ） （2）算术平方根等于它本身的数只有一个．（ ） （3）平方根等于它本身的数有两个． （ ）7、下列各组数中互为相反数的是（ ）第 5 页
A：－2 与 B：－2 与 C：－2 与 D：2与|-2|8.小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.第 6 页
可以用 表示。（3）如果有意义，则满足的条件时 如：9的平方根可以表示为或2的算术平方根可以表示为： (四)平方根的性质（1）（的算数平方根）具有双重非负性：是非负数，也是非负数（2）， （3）平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根 B.l是l的一个平方根 C.的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0 举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正： （1）没有平方根．（ ）（2）．（ ）（3）的平方根是．（ ）（4）是的算术平方根．（ ）2、为何值时，下列各式有意义？(1)； (2)； (3)； (4)．举一反三：【变式1】代数式＝有意义，则的取值范围是 ． 第 2 页
【变式2】已知，求的算术平方根．类型二、平方根的运算2、 填空：（1）是 的负平方根． （2）表示 的算术平方根， ．（3）的算术平方根为 ． （4）若，则 ，若，则 ．举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 是64的负的平方根．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2】求下列各式的值：（1）3 （2）（3） （4）4.若2－4与3－1是同一个正数的两个平方根，求的值．举一反三：【变式】已知2－1与－＋2是的平方根，求的值.类型三、利用平方根解方程5、求下列各式中的.（1） （2）；（3）【变式】求下列等式中的： （1）若，则＝______； （2），则＝______；（3）若则＝______； （4）若，则＝______．类型四、平方根的综合应用第 3 页
巩固练习1、—8是 的平方根； 64的平方根是 ； ；—的平方是 ； ； 的平方根是 。2、大于而小于的所有整数为 。3、的整数部分；小数部分4、 的平方根是； 5、的整数部分；小数部分6. 若，则＝__________.7、计算（1） （2）8、已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,求a、b的值.提高练习1．下列说法中正确的有（ ）． ①只有正数才有平方根． ②是4的平方根． ③的平方根是． ④的算术平方根是． ⑤的平方根是．⑥ ．A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个2．若＝－4，则估计的值所在的范围是（ ）A．1＜＜2 B. 2＜＜3 C. 3＜＜4 D. 4＜＜5 3. 试题下列说法中正确的是（ ）A.4是8的算术平方根 B.16的平方根是4 C.是6的平方根 D.－没有平方根 4. 能使－3的平方根有意义的值是（ ）第 4 页
5、已知、是实数，且，解关于的方程举一反三：【变式】若，求的值．
A. ＞0 B. ＞3 C. ≥0 D. ≥35. 若，为实数，且|＋1|＋＝0，则的值是（ ）A.0 B.1 C.－1 D.－20196.已知和互为相反数，且，求的值．7、若一个正数的平方根是和，则这个数是什么？8.如图，实数，对应数轴上的点A和B，化简9、已知，求x+y+z的平方根。10．观察下列各式： 请你将猜想得到的规律用含自然数n（n≥1）的代数式表示出来：_________．课后练习：1．下列说法正确的个数是（ ） ①0.25的平方根是0.5； ②-2是4的平方根； ③只有正数才有平方根； ④负数没有平方根． A．1 B．2 C．3 D．42．求下列各数的平方根． 0， ， 17， ， （-2）2， 2， -16．3．的算术平方根是（ ）． A．±4 B．4 C．±2 D．24．求下列各数的算术平方根． （1）0.0025； （2）（-6）2； （3）0； （4）（-2）×（-8）．5．下列说法中错误的是（ ） A．是5的平方根 B．-16是256的平方根 C．-15是（-15）2的算术平方根 D．±是的平方根6.判断： （1）负数和零没有算术平方根． （ ） （2）算术平方根等于它本身的数只有一个．（ ） （3）平方根等于它本身的数有两个． （ ）7、下列各组数中互为相反数的是（ ）第 5 页
A：－2 与 B：－2 与 C：－2 与 D：2与|-2|8.小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.第 6 页
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