22.2 二次函数与一元二次方程一、教学目标（一）学习目标1．了解一元二次方程的根的几何意义，知道抛物线与轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况. 2. 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.（二）学习重点：1. 二次函数与一元二次方程之间的联系.2. 用图象法求一元二次方程的近似根并且估算.（三）学习难点：1. 理解一元二次方程的根在二次函数中的意义.2．用函数观点看一元二次方程，二次函数与一元二次方程的区别与联系.3. 体会数形结合解决问题的思想方法.二、教学设计（一）课前设计1. 预习任务: 二次函数的图象与轴的交点有三种情况：① 有两个交点， ② 有一个交点， ③ 没有交点 .这对应着一元二次方程的根的三种情况：① 有两个不相等的实数根，② 有两个相等的实数根，③ 没有实数根(二)课堂设计1. 知识回顾（1）二次函数的定义：形如的函数，叫做二次函数 .（2）二次函数的图象和性质：二次函数的图象是一条抛物线，当时，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大；当时，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小 .（3）一元二次方程的一般形式：（a、b、c为常数，a0）（4）一元二次方程的根的情况怎样判定：用根的判别式：① 当 d ＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根；② 当 d=0 时，方程有两个相等的实数根；③ 当 d<0 时，方程没有实数根 .2. 问题探究 探究一 二次函数与一元二次方程之间的联系 重点、难点知识★▲●活动① 通过实际问题，研究二次函数与一元二次方程之间的联系问题 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是第 1 页


一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位: ）与飞行时间（单位: ）之间具有函数关系师问：考虑以下问题： （1）小球的飞行高度能否达到？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到？如果能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多少时间？一般地，我们可以利用二次函数深入讨论一元二次方程.师问：二次函数，，的图象如下图所示，每个图象与轴有几个交点？的图象 的图象 的图象师问：一元二次方程，有几个实数根？用判别式验证一下. 一元二次方程有实数根吗？.师问：二次函数的图象与轴交点的坐标和一元二次方程的根有什么关系？ 总结：一般地，从二次函数的图象可得如下结论：（1）抛物线与轴的交点有三种情况：有两个交点，有一个交点，没有交点.这对应着一元二次方程的根的三种情况：有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根.反之亦然.（即：由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与轴的位置关系）（2）如果抛物线与轴有交点，交点的横坐标是，那么当时，函数值是，因此是一元二次方程的一个根.由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.探究二 利用二次函数的图象求一元二次方程的根 ●活动② 通过例子，解决问题例 利用函数图象求方程的实数根（结果保留小数点后一位）.解：画出函数的图象（图22.2－3），它与轴的公共点的横坐标大约是、第 2 页


述步骤，我们逐步，到：这个根在之间得在之间……可以看到：根所在的范围
越来越的两小，根所范围在的端的值越来越接根的值，因而可以作为根近的近似值.例如，当要求根的近似值与根的
准确值的差的绝时值小于0.1对，由于，我们可以将2.6875作为根的近似值.你
能用这种方法得出方程的另似值个根的近一吗（要求根的近似值与根的准确值的差的
绝对值小于0.1）？这种求根的近似值的方法也
适用于更高的一元方程.【
总结】利用二次函数的图象求一元二次方程的根的一般步骤：第 3 页
，所以方程的实数根为，（图22.2－3）我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.观察函数的图象，可以发现，当自变量为时函数值小于（点在轴的下方），当自变量是时函数值大于，（点在轴的上方）.所以抛物线在这一段经过轴.（抛物线没有间断点，因而抛物线从轴下方通过轴上方时一定经过轴.）也就是说，当自变量取 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.（每次可以将根所在的范围缩小到原来的一半.）例如，取的平均数，用计算器算得自变量为时的函数值为，与自变量为时的函数值异号，所以这个根在之间.再取的平均数，用计算器算得自变量为时的函数值为，与自变量为时的函数值异号，所以这个根在之间.重复上


机画）；（2）根
据图象确定抛物线与轴的交点分别在哪两个相邻的整（可以利用计算器计算）可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. 数之间；.（3）确定方程的近似根.探究三 例题
讲解 学以致●用活动① 基础
性例题例1：
抢答：判断下列（轴的交点个数.（1） 抛物线与2） （3） 【答案】
一个交点，没有交点，两个交点．练
两点，的图象与x轴交于A、B习：二次函数则线段AB长　为 　．【答案】13例2 （1）
已轴有交点，知二次函数的图象和x则k的取值范围为（　　A． B）． C． D．【答案】B（2）
若二次函数的图象全部在x轴的下方，为m的取值范围则　 ．【答案】．练
习：抛物线的图象全部在x轴的上方，　b的取值范围为则 　．【
知识点●抛物线与轴的交点问题【答案】】活动② 提升型
例题例3 下
表是一组的自变量x二次函数与函数值y的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y﹣1﹣0.49 0.04 0.59 1.16那么方程的一个近似根是（
　　）第 4 页
（1）画出函数的图象（可用计算


习：在平面直角坐标系中，抛物线的部分图象如图所示，直线是它的对
称轴．若的一个根一元二次方程的取值范围是，则它的另 个根的取值范围是　 一 　．【答案】●活动③ 探究
型 例4 例题如图，在平面
直B坐标系中，抛物线与x轴交于角、C两点（点B在点C的
左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．（1）
填A的坐标为（　 　空：点，　 　），点B的坐标为（　 　，　 ），点C的坐标为（　 　，　 　），点D的坐标为（　 　，　 　）；（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B
、C重合）①过点P作x轴的
垂线交抛物线于点E，PE=PC若，求点E的坐标；②在①的条
件的，点F下是坐标轴上的点，且点F到EA和ED距离相等，请直接写出的段EF线
长、【答案】(1) 0；2，﹣3、0，1、0，﹣1、；（2）① ，② ；练
习：如图，抛物线过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称
轴对称，过点B作直BH⊥x线轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的
表达式；（2）
直接写C的坐标，并求出出点△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第
四象限△，当ABP的面积 , 6时，求出点P的坐标．【答案】,为（5，﹣5）3. 课堂总结第 5 页
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3【答案】C练


知识梳理】（1）
填表有两个相等的实与一元二次方程的关系：判别函数的图象有两个不相等的实数根：二次函数数根没有实数根抛物线与轴的交点情况有两个交点有一个交点无
交点（2）一般地：
已x的函数值为m，求自变量知二次函数的值，可以看作解一元二次方程．反之，解一元二次方程又
可以看作已的值为的自变量知二次函数的值．（3）利用二次函数的图象求一元二次方程的根的一般
步骤：①画出函数的图象（可用计算
机画）；②根
据图象确定抛物线与轴的交点分别在哪两个相邻的整可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围③数之间；. （可以利用计算器计算）.④确定方程的近似根.【
重难点纳】归第 6 页
【


意抛物线与轴的交点与抛物线的对称轴之间的关系：当
已对方程的两个根为、时，那知抛物线的么称轴为.2.注
意四二次“个”之间的区别与联系，即二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次三
项式；利用他们之间的转化.解决问题（1）二次三
项式恒正抛物线全x在轴上方且；（2）二次三
项式恒负抛物线全轴下方x在且.3. 利用二次函数图象求不等式解
集不“一元二次的方法：等式”实际上是
指次函数的函数值“或二”，从图象看是指曲
的取值范围）轴上方或轴下方时的值（对应的自变量线在。4．抛物线与
直一次函数的图象与二次函数线的交点：的图象的个数由方程组的解的个数确定
。几个断两个函数图象有（判交点还可以通过画图象解决，求交点即联
立方程求解）第 7 页
1.注