21.3 实际问题与一元二次方程（胡雯雯）21.3.1倍数问题及增长率问题一、教学目标（一）核心素养联系实际，经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，培养学生化实际问题为数学问题的能力，及分析、解决问题的能力，培养学生数学建模的能力.（二）学习目标1.使学生学会根据具体问题（用一定速度传播，数字问题，增长率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解.2.进一步培养学生转化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力.3.能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性.（三）学习重点建立数学模型，找等量关系，列方程（四）学习难点找等量关系，列方程二、教学设计（一）课前设计预习任务1.列方程解应用题的一般步骤：① 审；②设 ；③找 ；④列 ；⑤解 ；⑥检验 ；⑦答 .2. n表示变化的次数预习自测1.一个三位数的个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，这个三位数可以表示为___________.【知识点】字母表示数【解题过程】∵三位数的个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c， ∴这个三位数表示为100c+10b+a【思路点拨】各个数位上的数字乘以其对应的基数之和即可表示数.【答案】100c+10b+a第 1 页


n
原有量´（1+增长率）=现有1【答案】1量万元；12.1万元.4．某地严格控制森林砍伐面积，若一月份的砍伐面积为10000m2，以后每月减少20%，则三月份的砍伐面积为 m2．【知识点】增长率问题【解题过程】二月砍伐面积为10000×（1－20%）=8000（m2）； 三月砍伐面积为10000×（1－20%）×（1－20%）=6400（m2）.【思路点拨】

n
原有量´（1-减少率）=现有【答案】6400 m2. (二)课堂设计1.知识回顾量（1）列方程解应用题的一般步骤：审，设，找，列，解，检验，答.（2）列方程解决应用问题的关键在于找到等量关系，从而建立方程求解.（3）现有量－原有量=增长量，2.问题探究第 2 页

2.某班班长通知同学春游事宜，由班长通知若干同学后，再由已知晓事宜的同学通知其他人，已知经过两轮通知，全班49人恰好都得到通知.问：平均每个同学一次能通知______人.【知识点】倍数问题【解题过程】设平均每个同学一次通知x人，则第一轮通知了x人，第一轮结束时共有（1+x）人知晓；第二轮通知了x（1+x）人，共有1+x+ x（1+x）人知晓.故有1+x+ x（1+x）=49，x1=6，x2=-8（舍）.故，平均每个同学一次能通知6人.【思路点拨】原有人数+本轮通知人数=总人数【答案】6人.3.若某公司2019年的销售利润为10万元，年增长率为10%，则2019年的销售利润是 ,若维持此增长率不变，2019年的销售利润为 万元.【知识点】增长率问题【解题过程】2019年的利润是10×（1+10%）=11（万元）； 2019年的利润是10×（1+10%）×（1+10%）=12.1（万元）【思路点拨】


讨论按一定传播速度逐步传播的问题，特别需要注意的是，弄清问题背景，
特别注意分析清楚题意.题中没有特别说明，那么最早的患者没有痊愈，仍在继续传染
别人.活动2 写信
问题一个
信群里微有共x个好友，每个好友都分别给里群其他好友发送一条消息，这样条消息有42共
，问：这个微信群里共有多师问：（少人？1）设有x个好
友，每人发 条消息； （2）则
发消息 条. （3）等量关系是：共有___________.生答：（1）（x－1）
条2）x；（（x－1）条3）共有42；（条消息.师问：如何列方程求解生答：
依（x题意得x－1）=42；解得x1=7，x2=－6（不合题意，舍去）答：
微信群里共7个人教师点拨：每个好
友都有一次发给微信群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次
消息；人数×每人发出消息=数总数. 第 3 页
探究一 倍数问题★活动1 疾病传染问题有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？师问：设每轮传染中一个人传染了x个人.（1）开始有一个人患了流感，那么第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，第一轮传染后共有_____个人患了流感；（2）第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有_____个人患有流感.（3）等量关系是： 生答：（1）(x+1)；（2）[1+x+x（1+x）]；（3）患病总人数=121人.思考：如何列方程求解生答：列方程：1+x+x（1+x）=121解方程，得：x1=10，x2=－12（不合题意，舍去）故，平均一个人传染10个人.教师点拨：原有感染人数+新增感染人数=总感染人数.【设计意图】本题以流感为问题背景，


虑写信类似问题时，要考虑到每个人都会给其他人写信，这样人，数×每人写信
数=总数.探究二 数字问题★活动1 奇偶
数相关问题两个
连续奇数的平方和为130，求这两个奇数．师问：（1）设
较小的奇________数为，则较大的奇 ; （2数为）等量关系是：__________.生答：（1）x，x+2；（2）两个
连续奇数的平方和为130.师问：如何列方程求解生答：解：设这两个
连续奇x，数为x+2，根据题意得x2+（x+2）2=130．解得：x1=－9（不合题意，舍去），x2=7答：两个
连续奇数为7,9.教师点拨：根据
连续奇数2差相得到较大的奇列，根据两数数的积是130个出方程求解即可．要注
意是否符合实际情况.【设计意图】会用字母表示
符合条件的数，从而找到等量关系.活动2 多
位数相之已知某两位数，个位数字与十位数字关问题和为12，个位数字与十位数字之积为32，求这个两位数.师问：（1）设个位数字为x，则十位数字为 （2）等量关系是：___________.生答：（1）12－x；（2）个位数字与十位数字之积为32.师问：如何列方程求解生答：解：设个位数字为x，则十位数字为12－x，由题意得x（12－x）=32； 解得x1=8，x2=4.答：48或84.教师点拨：根据个位数字与十位数字之积为32，列
出方程解答即可.【设计意图】会用字母表示
多★.探究三 增长率问题位数，并根据等量关系求解▲活动1 增长问题某
校办工厂今年元月份生套桌产1000椅，2月份因春节放假，减10%，份产月份，4月3量产
逐月上升，4月份产量达到1296套，求3，4月份的平均增长率．第 4 页
【设计意图】考


产量是________; 三月份的产 量是; 四月份的产10% .（2）等量关系是：_____________生答：（1）1000（1－量是）；1000（1－10%）（1+x）; 1000（1－10%）（1+x）2（2）4月份
产量达.1296套到师问：如何列方程求解生答：解： 设三、四月份
产（x．根据题意得1000量的平均增长率是1－10%）（1+x）2=1296． 解得：x1=0.2=20%，x2=－2.2（不合题意，舍去）答：平均增长率是20%.教师点拨：设三、四月份
产是的平均增长率量x．根据题意依次找出三月份，二月份，四月份的
产量，根据四月份产量达到1296套，可列方程．【设计意图】学会根据具体问题（增长率）中的等量关系列方程.活动2 减少问题受
某种因素响影，在一个月价猪肉内格两次大幅下降原由，来每元斤16下调每到斤求平均每次元，9
下调的百分率是多少？师问：（1）设平均每次
下调的百分率是x，则第一次
降价后的价格为 ，第二次降价后的价（ .（2）等量关系是：______________.生答：（1）16格是1－x），16（1－x）（1－x）；（2）
下降两次后的价.9元格是师问：如何列方程求解生答：解： 列
出（16的方程是1－x）2=9， 解得x1=25%，x2=175%（不合题意，舍去）答：平均每次
下降的百分率是25%.教师点拨：若每次
下调的百分率为x，找出下降两次后的价格，把相应数值代入即可列方程．【设计意图】学会根据具体问题（减少率）中的等量关系列方程.探究四 倍数及增长率问题
训练★▲活动1 基
础型例题第 5 页
师问：（1）设3,4月平均增长率为x，则2月份


议上，每两个参加会议的人都互相握手一次，有人统计一共是握了66次手，则这次会
议 　 到会人数是 　人．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设
参加会议有x人，依
题意得：x（x1﹣）=66，整
﹣﹣解得x1=12，x2=11
理得：x2x132=0
﹣，（舍去）．答：
参加这次会议12人．的有【思路点拨】设
参加会议1有人，每个人都与其他（xx﹣）人握手共，握手次数为x（x1﹣），根据题意列方程．【答案】12人.练
：一次习友排谊赛球，队参赛中每两队都要赛1场若此次，赛谊友场共66，则次本球队参赛
有（　　A）．14队B．13队C．12队D．11队【知识点】一元二次方程的应用. 【解题过程】解：设有x个
队，每个队都要赛1（x﹣）场，但两队之间只有一场比赛，x（x1
﹣）÷2=66，解得x=12或﹣11（舍去）．故应12个
球队参加比赛．【思路点拨】
赛制为环单循形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场．=数即可列方程求解．【答案】C．【设计意图】进一步
巩固对此类问题的.掌握活动2 提高
型例题例. 已知两个
连续奇15，则这两个数是　　　　　　　　数的积是．【知识点】一元二次方程的应用. 【解题过程】解：设其中一个
奇数为x，则较大的奇x+2），由题意得，x数为（（x+2）=15，第 6 页
例1. 一次会


﹣，【答案】这两个数为3和5或﹣3和﹣5．【思路点拨】设
出两个连续的奇，数根据两个连续�