空间点、直线、平面之间的位置关系　　　　一. 本周教学内容：空间点、直线、平面之间的位置关系　　二. 重点：　　1. 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在平面内。　　2. 公理二：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。　　3. 公理三：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。　　4. 公理四：平行于同一条直线的两条直线互相平行。　　5. 两条直线的位置关系：平行、相交、异面　　6. 直线与平面的位置关系：直线在平面内、相交、平行　　7. 平面与平面的位置关系：相交、平行　　【典型例题　　[例1] 下列结论中正确的有( )个　　(1)过空间三点的平面有且只有一个　　(2)过空间一条直线和直线外一点的平面有且只有一个　　(3)过空间两条相交直线的平面有且只有一个　　(4)过空间两条平行直线的平面有且只有一个第 1 页


　　A. 1 B. 2 C. 3 D. 4　　答案：C　　解析：(2)(3)(4)正确。　　[例2](1)空间三条直线两两相交可确定几个平面?　　(2)空间四条平行直线可确定几个平面?　　(3)空间一条直线和直线外三点，可确定几个平面?　　答案：　　(1)1个或3个　　(2)1个，4个或6个　　(3)1个，3个或4个　　[例3]外三边所在直线分别交平面　　∴中E、F为AA1、CC1中点，求证：　　证明：延长交AD于M，延长交DC于NE为A1A中点 ∴ MA=AD　　同理CN=CD　　∴ M、N、B三点共线l　　∴　　三点确定平面　　∴　　[例5] 空间不共点的四条直线两两相交，求证四线共面。　　证明：第 2 页


　　(1)有三线共点，如图　　A、B、D确定平面　　同理　　　　(2)无三点共线，如图　　A、D、F三点确定平面　　[例6] 已知　　　证明：D为上一点，确定平面　同理A、C、D　　证：　EHFG　　互相平分 MN过EF中点　　∴ EF、GH、MN交于一点且互相平分　　[例8] 正方体　　成异面关系的棱有 条;　　(3)与BD成异面关系的棱有 条;　　(4)12条棱中异面直线有 对。　　解：(1)4条 (2)6条 (3)6条 (4)24对　　[例9] 空间四边形ABCD(A、B、C、D不共面)E、M为AD的三分点，F、N为BC的三分点，由AB、EF、MN、CD可组成 对异面直线。　　答案：六对，任意两条均异面　　证明：EF、MN异面(反证法)第 3 页


　　假设EF、MN共面　　∴ A、B、C、D与已知矛盾 ∴ 假设不成立 ∴ 原命题成立　　∴ EF、MN为异面直线　　[例10] 正方体　　　解：　　(1)　　(3)　∴　　∵ 正　　∴异面，　B.　　D. 2MN与AC BD无法比较　　3. 与两条异面直线均相交的两条直线的位置关系为 。　　4.，则　，求证所在平面外一点，，D、E、F依次为、　的重心，求　的面积。　　【试题答案】　　1. 平行或相交或异面　　2. B　　3. 相交或异面　　4. 平行或相交或异面　　5. ∵第 4 页


∴没有公共点 ∵　∴与无公共点　　6. 连PD延长交AB于M，连PE延长交BC于N，连结MN　　同理　相似比为第 5 页