第三章 排列、组合与二项式定理小结高二年级 数学主讲人 谢艳 北京市第一六一中学 北京市中小学空中课堂


m
m
1
2
m
n
Nmmm=+++L
12n
概念复习1．分类加法计数原理：完成一件事，如果有n类办法，在第一类办法中有 种不同的方法，在第二类办法中有 种不同的方法，……，在第n类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法．


mm
12
m
n
Nmmm=���L
12n
概念复习2．分步乘法计数原理：完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一个步骤有 种不同的方法，做第二个步骤有 种不同的方法，……，做第n个步骤有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.


�
�
m
A!n
n
概念复习3.2.排列数：从n个不同对象中取出m(m n)个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号 表示.m=n的排列数用符号 表示.3.1.排列：一般地，从n个不同对象中，任取m(m n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．m=n的排列称为全排列．


�
�
m
C
n
概念复习4.2.组合数：n个不同对象中，取出m(m n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号 表示．4.1.组合：一般地，从n个不同对象中，取出m(m n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合．


T
k+1
knnnnnknk011--
()bbCaCabCaaCb+=+++++LL
nnnn
概念复习 5.二项式定理：一般地，当n是正整数时，有


nn011531420n-
mnm-
2++=+CCCLCCCCCC=++++LL2=
CC=
nnnnnnnnn
nn
nnmnn()]!1([)1---L
m
knnknknn0-
C==
)(baCaCabbC+=++++LL
n
nnn
mmnmm-�-���(!)(!12)1L
n!
m
mnnnAn)21)()1((=�-�-�-+=L
n
144444424444443
()!nm-
m个数
Nmmm=��L
Nmmm=+++L
12n12n
概念复习


2
A
3
2
16�=A
3
夯实基础第一类：先从0，2中选0，0只能排在中间位置，有一种方法；再从1，3，5中任选2个数排剩下的两个位置，有 种方法，分步用乘法，共有 种方法；例1.从0,2中选出一个数字，从1,3,5中选出两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为________个.解：解决这个问题分两类：


2
A
3
2
2=12�A
3
22
12=18�+�AA
33
夯实基础分类用加法，所以完成这件事总共有 种方法,满足条件的奇数是18 个. 第二类：再从0，2中选2，可以排在首位和第二位，有2种方法；再从1，3，5中任选2个数排剩下的两个位置，有 种方法；分步用乘法，共有 种方法.


夯实基础总结:解决排列问题的基本方法: 1.理清完成这件事的策略 2.特殊元素、特殊位置优先排列


25
AA=�402
25
夯实基础例2.张李两位老师和甲乙丙丁四位同学排成一排准备照相：（1）若老师必须相邻，则共有多少种不同的排法；解：把两位老师看成一个元素，加上4名同学共5个元素去排序，且两位老师之间可以交换顺序，共有 种不同排法.


4
A
4
42
AA44A
45
夯实基础例2.张李两位老师和甲乙丙丁四位同学排成一排准备照相：（2）若两位老师不相邻，共有多少种不同的排法；解：先排好4位学生，共有 种可能，4位学生共形成5个空，再把两位老师排在5个空里，就可以保证老师不相邻，因此共有 =480种不同的排法.


夯实基础例2.张李两位老师和甲乙丙丁四位同学排成一排准备照相：（3）又来了两个同学加入，如果保持原来6人的相对顺序不变，则不同的加入方法有多少种？ 解：原来6人的相对顺序保持不变，相当于8个人排序，其中6人定序.


2
A
8
2
A�1
8
6
C
8
62
2
CA�=56
A
82
2
夯实基础方法1：共8个位置，可以让后来的同学先选，共有 种方法，剩下6个位置，让原来的6个人保持顺序排进去，所以总共是 =56种不同的加入方法.方法2：因为要保持之前的顺序，可以让之前的6人只选不排，所以是 种情况，接下来让后来的两人占剩下的两个位置有 种情况 ，共有 种不同的方法.


夯实基础总结:排列中的常见问题及解决策略: 1.相邻问题——捆绑 2.不相邻问题——插空 3.定序问题——只选不排


2
C=15
6
夯实基础例3．从3名男生4名女生中，选出3人参加某课外小组.（1）A必须当选的选法种数；解：A必须当选，实际上只需要从剩下的6人中还选出2人，因为是只选不排，所以是 种.


3
C=10
5
夯实基础例3．从3名男生4名女生中，选出3人参加某课外小组.（2）A、B都不当选的选法种数；解：A、B都不当选，需要从剩下的5人中选出3人，所以是 种.


法分析：先选出一个男生 ,再选出一个女生 ,最后随便选出一个,总共是 种 .男甲某女男乙男乙某女男甲
1
1
解
C
C
4
3
误
错
111
型
CCC�=�60
345
典
111111
CCC��CCC��
345345
夯实基础例3．从3名男生4名女生中，选出3人参加某课外小组.（3）男、女生至少各1人的选法种数．


1221
CCCC�+�=30
3434
333
CCC-=-30
734
夯实基础例3．从3名男生4名女生中，选出3人参加某课外小组.（3）男、女生至少各1人的选法种数．解法1：男、女生至少各1人，即1男2女，2男1女共两种情况，所以一共有 种. 解法2：用不带限制条件的组合减去全是男生和全是女生的情况即 种 .


夯实基础总结:带限制条件的组合问题: 1.必含有 2.必不含 3.至多……，至少……


1
3n
()x-
x
012nn
QLCCCC+++=+2
nnnn
n
\=2512
\=n9
夯实基础例4．已知 的展开式中，各项二项式系数和是512，（1）求n的值;解：


1
3n
()x-
x
111
390390013811
Q)()(1)()()(1)()(xCxCx-=-+-
99
333
xxx
1
93090
-++LxC)()1()(
9
3
x
夯实基础例4．已知 的展开式中，各项二项式系数和是512，（2）求各项系数的和；解:


390390013811
99
333
93090
9
3111()()(1)()()(1)()1()(1)()xCxCxxxxCxx-=-+-++-QL
001199
令x=1
得(1)(1)(1)0++=-+--CCCL
999
夯实基础即各项系数的和为0；


1
3n
()x-
x
1
x
1
kkkkkk39274--
QTxCxC=-=-())1()(
k+199
x
=-=-\\277,14kk
1
77
C(1)36-=-
9
x
夯实基础例4．已知 的展开式中，各项二项式系数和是512，（3）求含 项的系数；解:含 项的系数


1
3n
()x-
x
1
kkkkkk34729--
QTxCxC=-=-())1()(
k+199
x
444
TCC=-=(1)
599
夯实基础例4．已知 的展开式中，各项二项式系数和是512，（4）系数最大的项是第几项？解： 故系数最大的项是第5项.


knkk-
TCab=
kn+1
夯实基础总结:二项式定理常见问题及解决策略: 1.某一项的问题—— 2.和的问题—— 恰当赋值


意只有3个球放到里，盒子可先选球后放球，即种.
333
CAA==�24
434
难点辨析例5.标号为1，2，3，4的4个球和3个不同的盒子，(1)盒子不空且每个盒子只能放一个球，一共有几种方法？解:依题


部解盒子，一共有多少种方法？放入:4个球全
部可放入盒子以从两个，度角来看，一个是从球的
角度，一个从盒子的角度.
难点辨析例5.标号为1，2，3，4的4个球和3个不同的盒子，(2)4个球全


角度来看，把球放到，子里盒这件事就完成了.依
次球球，放第一个放有3种方法，第2个球有3种方法，第3个球有3种方法，第4个球有3种方法，因此是 种.
4
3=81
难点辨析解法1:从球的


角度可看，来分成3类，即1个盒子得球，2个盒子得球和3个盒子得球：第一类，4个球全
部个1放入盒子，有3种.第二类，4个球放入2个盒子，有两种情况，把球按照
或者
1+32+2
放到盒个两子里，前者是不均匀分组问题，而后者是均匀
分组问题.
难点辨析解法2:从盒子的


3+1：选出个盒子的情况.第一步要放的盒子即 ，第二步：按照2到
2
C
3
13
非均匀 分成两组即 分组，第三步：把分好CC
43
2
堆的球放到 好的盒子里即 ，总共是 选 种; A
2
2132
CCCA=24
3432
难点辨析先看按 把球放


2+2.2个盒子的情况甲：还是先选出盒子 ，再把球分成两到
222
C堆 ，最后把分好 CC堆球放的
342
2222
CCCA=63
到好的盒子里，因此选,总共是 种.乙：先选出盒子 ，再把球分成两
3422
2
22
C
堆好 ，最后把 分CC堆球的除堆
3
42
22
CC
22
42
确
CA=18
的顺序后放到的盒子里，因此选好,共 种.错误AC,BD;BD,ACAB,CD;CD,ABBC,AD;AD,BC正
32
2
A
2
难点辨析再看按 把球放


211++
部分均匀题.分组问方法2：
11
CC
23
21
CA=36
仍 先分组后分盒子的策略. 即 用 ;
43
2
A
2
采捆绑的策略用.就是把2个球捆在一起做一个球，加上剩下的当2个球共3个球放入3个盒子里，即 .方法1：
23
CA=36
43
难点辨析第三类：4个球放入3个盒子，只有1种情况，即按 放入盒子.这是


部 子，一共有多少种方法？放入盒 三类共有 种.
3+(24+18)+36=81
难点辨析例5.标号为1，2，3，4的4个球和3个不同的盒子，（2）4个球全


区分数量，用插板 .有 法 种.
2
C=6
4
难点辨析例6.相同的5个小球，放入3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，有多少种不同的方法？解：相同元素的分组，只需要


化 策略 解题2.不同元素不
均匀 组问题 分 3.不同元素
均匀分组问题要注意除 序 4.相同元素分组——插
板
难点辨析总结:1.优


形成体系2.整合
突破难点
课堂小结1.归纳


作业1.书架
上有4本不同的数学书的5，不同本物理书，3本不同的
化学书，将这些书全部竖起成一排来排；（1）如果同类
书 分