3.1.2 两角和与差的正弦、 余弦、正切公式


cso()osccsoisnins
scoc([so)]cos()cso(ins)nis
osc[(soc)]cos()soc(nis)nis
22
2coscos)(sinsin)(abab+++-
cos()ab-=
2
22
2([ocscos)(isnsni)]
cos()
2
问题提出1.两角差的余弦公式是什么？它有哪些基本变式？


2.利用两角差的余弦公式固然能解决一些问题，但范围太窄，我们希望在此基础上获取一系列有应用价值的公式，实现资源利用和可持续发展战略. 3.有了两角差的余弦公式，自然想得到两角差的正弦、正切公式，以及两角和的正弦、余弦、正切公式，对此，我们将逐个进行探究，让希望成为现实.





C
()ab+
探究（一）：两角和与差的基本三角公式 思考1：注意到α＋β＝α―(―β)，结合两角差的余弦公式及诱导公式，cos(α＋β)等于什么？cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，记作 ，该公式有什么特点？如何记忆？


p
si()cosn�=aa
2
C
()ab+
C
()ab-
S
S
()ab 思考3：-诱导公式 可以实现由正弦到余弦的转化，结合 和 你能推导出sin(α＋β)，sin(α－β)分别等于什么吗？
()ab+
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβsin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ思考4：上述公式就是两角和与差的正弦公式，分别记作 ， ，这两个公式有什么特点？如何记忆？


S
C
()ab�()
ab�
tantanab+
tan(),ab+=
1tantan-ab
tantanab-
tan().ab-=
1tantan什+么思考6：上述公式就是两角和与差的正切公式，分别记作 ， ，这两个公式有什么特点？如何记忆？公式成立的条件是？ba
T
T
()ab思考5：-正切函数与正弦、余弦函数之间存在商数关系，从 、 出发，tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、tanβ有什么关系
()ab+



C,
S
()ab+
(),ab+
T
C,
S,
()ab+
()ab-ab-C(α－β)C(α＋β)S(α－β)S(α＋β)T(α＋β)T(α－β)
T
()ab-
思考7：为方便起见，公式 称为和角公式，公式 称为差角公式.怎样理解这6个公式的逻辑联系？


ab
ab+-+=222sin()2
ab
ab+-+=
探究（二）：两角和与差三角公式的变通 思考1：若cosα＋cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cos(α＋β)等于什么？思考2：若sinα＋cosβ＝a，cosα＋sinβ＝b，则sin(α＋β)等于什么？222cos()2


Ttanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

p
)incos2sin(sxxx+=+
4
思考4：在△ABC中，tanA，tanB，tanC三者有什么关系？ 思考5：sinx＋cosx能用一个三角函数表示吗？ 思考3：根据公式 ，tanα＋tanβ可变形为什么？


3
sin
5

p
cos()
sin()
tan()a-
4
4
4
理论迁移例1 已知 ，α是第四象限角，求 ， ， 的值.


o
1tan15+
o
1tan15-
sin(2)sinabb+
82nat-+=例2 求下列各式的值：（1）cos75°； ° （2 )sin20°cos50°-sin10°cos40°；（3） ； （4）tan17°＋tan28°+tan77°2c)(soab
sinsinaa
例3 求证： .


C2.公式 与 ， 与 与 的结构相同，但运算符号不同，必须准确记忆，防止混淆.

S
SC.3C公式都是有灵性的，应用时不能生搬硬套，要注意整体代换和适当变形.
)(ab-()ab+
ab+

T
T
()ab+()
()ab-
小结作业1.两角差的余弦公式 是两角和与差的三角系列公式的基础，明确了各公式的内在联系，就自然掌握了公式的形成过程.


作业：P131练习：3，4，5，6.