2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 第二章 平面向量


问题提出1.平面向量的基本定理是什么？ 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2.用坐标表示向量的基本原理是什么？设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y).


3.用坐标表示向量，使得向量具有代数特征，并且可以将向量的几何运算转化为坐标运算，为向量的运算拓展一条新的途径.我们需要研究的问题是，向量的和、差、数乘运算，如何转化为坐标运算，对于共线向量如何通过坐标来反映等.




b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa（λR
∈）如何分别用基底i、j表示？a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j， a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j， λa＝λx1i＋λy1j.
探究（一）：平面向量的坐标运算 思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a=(x1，y1),b=(x2，y2),则a＝x1i＋y1j，


思考2：根据向量的坐标表示，向量 a＋b，a－b，λa的坐标分别如何？a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2); a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1).a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j， a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j， λa＝λx1i＋λy1j.


思考3：如何用数学语言描述上述向量的坐标运算？ 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2); a－b＝(x1－x2，y1－y2); λa＝(λx1，λy1).


ABuuur任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.
oxyBAABuuur思考4：如图,已知点A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量 的坐标如何？一般地，一个任意向量的坐标如何计算？


思考5：在上图中，如何确定坐标为(x2－x1，y2－y1)的点P的位置？oxyBAP(x2-x1,y2-y1)


22
a=+xy
uuurAaxyO
22
AB(xx)(yy)=-+-
2121
思考6：若向量a=(x，y)，则|a|如何计算？若点A(x1,y1)，B(x2，y2)，则 如何计算？ ABuuur


�=xyxy
1221
探究（二）：平面向量共线的坐标表示 思考1：如果向量a，b共线（其中b≠0），那么a，b满足什么关系？思考2：设a=(x1，y1),b=(x2，y2)，若向量a，b共线（其中b≠0），则这两个向量的坐标应满足什么关系？反之成立吗？ a＝λb.向量a，b（b≠0）共线


�=xyxy
1221
kk=思考3：如何用解析几何观点得出上述结论？向量a，b（b≠0）共线
ABCD
axyObABCD


思考4：已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若点P分别是线段P1P2的中点、三等分点，如何用向量方法求点P的坐标？xyOP2P1PPP


uuuruuur
PPPP=l
12
xxyy++ll
1212
P(,)
11O1++xyP2PPll
思考5：一般地，若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，点P是直线P1P2上一点，且 ，那么点P的坐标有何计算公式？


b=(－3,4),求 a＋b，a－b，3a＋4b的坐标. a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，3a＋4b＝(－6，19).
理论迁移 例1 已知a=(2,1),


例2 如图，已知 ABCD的三个顶点的坐标分别是A（-2，1）、B（-1,3）、C(3,4)，试求顶点D的坐标.oxyABCD D（2，2）


例3 已知向量a=(4，2)，b=(6，y),且a∥b，求y的值.y＝3 例4 已知点A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A、B、C三点是否共线？，A、B、C三点共线. 2ABAC3=uuuruuur


小结作业1. 向量的坐标运算是根据向量的坐标表示和向量的线性运算律得出的结论，它符合实数的运算规律，并使得向量的运算完全代数化. 2.对于两个非零向量共线的坐标表示，可借助斜率相等来理解和记忆. 3.利用向量的坐标运算，可以求点的坐标，判断点共线等问题，这是一种向量方法，体现了向量的工具作用.