在研究三角函数时，我们还常常遇到这样的问题：已知任意角α、β的三角函数值，如何求α+β、 α–β或 2α的三角函数值？下面我们先引出平面内两点间的距离公式，并从两角和的余弦公式谈起.


┃x1–x2┃，QP2=N1N2=y1–y2┃，由勾股定理，可得P1P2┃2=P1Q2+QP22=(x1–x2)2+(y1–y2)2,=
∟
..P1(x1, y1)P2(x2, y2)M1(x1, 0)M2(x2, 0)N1(0, y1)N2(0, y2)QP1Q=M1M2=
┃x1–x2┃2+┃y1–y2┃2由此得到平面内P1(x1, y1), P2(x2, y2)两点间距离公式：P1P2=
∟
∟∟
122(221x∟x)(yy).
在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2),xyO


接下来，我们继续考虑如何运用两点间的距离公式，把两角和的余弦cos(α+β)用α、β的三角函数来表示的问题.xyO 如图，在直角坐标平面xOy内作单位圆O,并作出角α、β和–β，αP1P2P3P4β–βα+βP1(1, 0),各点坐标：P2(cosα, sinα),P3(cos(α+β), sin(α+β)),P4(cos(–β), sin(–β)),


xyOαP1P2P3P4β–βα+βP1(1, 0),各点坐标：P2(cosα, sinα),P3(cos(α+β), sin(α+β)),P4(cos(–β), sin(–β)),由P1P3＝P2P4及两点间距离公式，得[cos(α+β)–1]2+sin2(α+β)=[cos(–β)–cosα]2+[sin(–β)–sinα]2,


∴ cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ，（C（α+β））
[cos(α+β)–1]2+sin2(α+β)=[cos(–β)–cosα]2+[sin(–β)–sinα]2,cos2(α+β)–2cos(α+β)+1+sin2(α+β)=cos2β–2cosα cosβ+ cos2α+ sin2α+2sinα sinβ+ sin2β，2–2cos(α+β)=2–2cosα cosβ+2sinα sinβ，


cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ（C（α+β））这个公式对于任意角α、β都成立.例如　cos(62°＝cos62°–cos59°+59°)sin62°sin59°;cos(113°＝cos113°–cos27°+27°)sin113°sin27°;cos[α＝cosα–cos(–β)+(–β)]sinαsin(–β)，


cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ.（C（α+β））cos[α＝cosα–cos(–β)+(–β)]sinαsin(–β)，cosβcos(α＝cosα+–β)sinαsinβ.（C（α–β））例如 cos(113°＝cos113°+cos27°–27°)sin113°sin27°;cos(113°＝cos113°+cos27°+27°)sin113°sin27°;


cosβcos(α＝cosα+–β)sinαsinβ.（C（α–β））+cosα–α)sinαcos(π 2＝cosπ 2sinπ 2=sinα，即–α)cos(π 2=sinα，π 2这里，等号两边的角的和为　，αcosπ 2=sin( –α)，∴


即–α)cos(π 2=sinα，π 2这里，等号两边的角的和为　，αcosπ 2=sin( –α)，∴这就是说，诱导公式–α)cos(π 2=sinα，cosα,π 2sin( –α)＝当α为任意角时仍然成立.


–α)cos(π 2=sinα，cosα,π 2sin( –α)＝cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ.运用上述公式，得sin(α+β)=cos[ –(α+β)]π 2=cos[( –α)–β]π 2=cos( –α)cosβπ 2+sin( –α)sinβπ 2=sinαcosβ+cosαsinβ,即　 sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ,


sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ,（S（α+β））在上式中用–β代替β，得sin(α–β)=sinαcosβ –cosαsinβ,（S（α–β））当　cos(α+β)≠0　时，有tan (α+β)=sin (α+β)cos (α+β)sinαcosβ+cos αsinβcos αcosβ–sin αsinβ,若 cos αcosβ≠0，得tan (α+β)= tan α+tanβ1–tan αtanβ.


∵tan (–β)== –tanβ， sin(–β) cos(–β) –sinβ cosβtan (α–β)= tan α–tanβ1+tan αtanβ.∴（T（α–β））　　公式S（α+β）、 C（α+β）、 T（α+β）给出了任意角α、β的三角函数值(这里指正弦、余弦或正切)与其和角α+β的三角函数值之间的关系. 为方便起见，我们把这三个公式都叫作和角公式.
（T（α+β））tan (α+β)= tan α+tanβ1–tan αtanβ.


∵tan (–β)== –tanβ， sin(–β) cos(–β)tan (α–β)= tan α–tanβ1+tan αtanβ.∴（T（α–β））　 类似地，公式S（α–β）、 C（α–β）、 T（α–β）都叫作差角公式.
（T（α+β））tan (α+β)= tan α+tanβ1–tan αtanβ.


sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ,（S（α+β））sin(α–β)=sinαcosβ –cosαsinβ,（S（α–β）） cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ，（C（α+β）） cos(α–β)= cosα cosβ +sinα sinβ，（C（α–β））等号右边“±”的记忆方式：在锐角范围内，正弦函数是增函数，　　　　　　　余弦函数是减函数，∴


∟
∟
∟∟
sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ,（S（α+β）） cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ，（C（α+β））记忆方式：αPQβMNEFαsin(α+β)=QM=ONsinα+QNcosα1xyO= sinαcosβ + cosαsinβ;cos(α+β)=OM=ONcosα– QNsinα= cosαcosβ – sinαsinβ.=NE+QF=OE–FN


23
2122i;426cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°–sin45°sn30°
22
21
23
;426

22
22
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、　　 余弦和正切的值.解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°


62
;32或　tan75°=tan(45°+30°)30tan45tan130tan45tan3311331sin75°cos75°
62
33
;32
33
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、　　 余弦和正切的值.tan75°=


23
2122;426
22
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、　　 余弦和正切的值.sin15°=cos75°;426或　sin15°=sin(45°–30°)=sin45°cos30°–cos45°sin30°


21
23
;426

22
22
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、　　 余弦和正切的值.;426cos15°=sin75°或　cos75°=cos(45°–30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°


62
;32或　tan15°=tan(45°–30°)30tan45tan130tan45tan3311331sin15°cos15°
62
33
;32
33
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、　　 余弦和正切的值.tan15°=


∈，34π 2cosβ= – , β(π
∈， ),3π 2求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).解：23
)sinα= ，α( , π∵∈，π 223
25
2
1()
π(∵34cosβ= – , β;
21sinα
∴cosα=
3
3
∈， ),3π 2
7
2)43(1
;
∴sinβ=β2sin1
4
例2、已知 sinα= ，α( , π)


∈，34π 2cosβ= – , β(π
∈， ),3π 2求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).23∴　sin(α–β)=sinαcosβ+cosαsinβ
57
23
6;1235(())
()
34
34
例2、已知 sinα= ，α( , π)


∈，34π 2cosβ= – , β(π
∈， ),3π 2求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).23cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
53
3527
2)47(3()()
;
34
12
例2、已知 sinα= ，α( , π)


∈，34π 2cosβ= – , β(π
∈， ),3π 2求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).23sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
2357
(),23561 (())
3434
635
325277

.
∴tan (α+β)=sin (α+β)cos (α+β)
352717
例2、已知 sinα= ，α( , π)


解：1tan15
1tan15
1tan15tan(45°+15°)=t=tanan60°54nta51

1tan151tan54tan51
例3、利用和角公式求　　　　　的值..3


tanA tanB
,
∵tan(A+B)==tan(180°–C)–tanAtanBtan(180°–C)= –tanC+tanAtanBtanC，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.tan(A+B)–tanAtanBtan(A+B)∴tanAtanB≠1.
1antAtanB
∴tanA+tanB=∵tanA、tanB、tanC　都有意义，∴△ABC中没有直角，
例3′、△ABC中，　　　 求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.证明：


本课小结：　　在这节课中，我们研究了两个角的和与差的正弦、余弦和正切公式，　　这些公式在今后有大量的应用，　　应熟练地、灵活地掌握 (例3就是反过来用公式的例子).