1.2.3 空间几何体的直观图


上图是浙江省台州的斑马线披上的“立体彩装”. 画在地面上的斑马线怎么会产生出了立体感觉？ 如何把立体图形画在纸上？


这些图形给人以立体的感觉，怎么才能画出呢？


三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法，但三视图的直观性较差，如何绘制空间图形的直观图呢？


1．体会平面图形和空间几何体的直观图的含义.2．会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图. （重点）3．会用斜二测画法画柱、锥、台、球及其简单组合体等空间几何体的直观图.（难点）


在中心投影中，水平线(或垂直线)仍保持水平(或垂直)，但斜的平行线则会相交，交点称为消点．作图较复杂，又不易度量．


立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的直观图，这种画法叫做斜二测画法．1.平行性不变，但形状、长度、夹角会改变. 2.平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变. 3.在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投影长不变．投影规律


（一）水平放置的平面图形的画法思考1:把一个矩形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图.比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？


思考2:把一个直角梯形水平放置，得其直观图如图，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？我们通过下面的例题一起来分析.


y
y注意：画水平放置的平面图形的关键是确定多边形顶点的位置．画法：(1)在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点O．画相应的x′轴，y′轴，两轴相交于点O′，使∠ x′o y′=45°.建系时要尽量考虑图形的对称性
M
EF
�
O'
D
O
x
x'
N
例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.ABC


1
''
NMNM．注意：水平放置的线段长不变，竖直放置的线段长变为原来的一半.
2
∥轴，并且等于BC；再以M′为中点，画E′F′x′
∥轴，并且等于EF.
EFM
�N�ABC
M
D
�
A
�y�
x
�
O
�D�E�F�
�
BC
NOyx(2)以O′为中点，在x′轴上取A′D′=AD，在y′轴上取以点N′为中点，画B′C′x′


''''''''
.骤步ABCDDEFA请你总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法,,,,
''''''
接ABCDEF(3)连.
�
y
EFM
�N�ABC
M
D
�B�
A
�
x
�
O
�D�E�F�
C
NOyx 并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图


斜二测画法的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′o′y′=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．【提升总结】


思考3:斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，如果把一个圆水平放置，看起来像什么图形？在实际画图时用什么方法？斜二测画法


(二) 空间几何体的直观图的画法思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观图，可用斜二测画法或椭圆模板画出一个底面，我们能否再用一个坐标确定底面外的点的位置？xoy


例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.D′ABCDA′B′C′


yz
DM
C
O
NPQ41.5
x
A
B
画法：（1）画轴.画x轴、y轴、z轴，三轴交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.（2）画底面.以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN=____cm；在y轴上取线段PQ，使PQ=_____cm，分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.


Z
y
�
A
�C�D�(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′,BB′，CC′,DD′.
B
�
B
�C�D�
A
C
D
C
D
O
M
Nx
B
AB
A
PQ


思考2:怎样画底面是正三角形，且顶点在底面上的投影是底面中心的三棱锥？MzB CASy OxBCA SABC


思考3:画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤进行？画轴→画底面成图→画侧棱→


分析：由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体.它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合.我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥.例3 如图已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.正视图侧视图俯视图


画法：（1）画轴.画x轴，z轴，使∠z90°O=x.
（2）画圆柱的下底面.在x轴上取A,B两点，使AB的长度
等于俯视图中圆的直径，且.O=OBA选择椭圆模板中适
当的椭圆过A,B两点，使它为圆柱的下底面.（3
ZABA′B′相应的P·
）在Oz上轴截取点O''，OO使等于正视图中OO'
'长度，过点O的作平行于轴Ox
�
O
�
x
的轴O'x'类似圆柱下底面，的作法作出圆柱的上底面.
O
x
�
（4）画圆锥的顶点.在Oz轴上截取点P，使PO等于
正视图中相应的高度.


（'PA'PB.AA'BB'5）成图连接，，，，整理得到三
视图表示的几何体的直观′图PABA′B.
O′
O


A


2．AB＝2CD，AB∥x，轴CD∥y轴，已知在直观图中，
AB的直观图是A′B′，CD是的观图直C′D′，则( )
A．A′B′＝2C′D′ B．A′B′＝C′D′
1
C．A′B′＝4C′D′ D．A′B′＝C′D′
2
C


3．观方形的直长图可能是下列图形中的哪一个 ( )

A．①② B．①②③
C．①④⑤ D．②⑤
D


腰两形，它的底角为4梯，5°腰和上底边长
均为1，求这个平面图形面的积.ABCD
x′′ySA′（O′）B′C′D′22
4．如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等


特1:点. 保持平行关系和竖直关系不变．2. 保持水平长度和竖直长度不变
；3. 纵向
长度取其一半．
空间几何体的直观图的


三视图与直观图的异同系两种视图 相同点与联 不同点 三视图 都是空间几何体的表现形式，已知一种形式可转化为另一种形式．三视图需有一定的空间想象能力才能看懂，供较专业的人们使用. 从三个不同位置观察得出的是三视图，它能体现各部分的准确比例． 直观图 从一个位置观察而得出的是直观图，它能直观地体现几何体的形状，但某些方向上的尺寸失真.



论做什么事，相信自己，别让别人的一句话将你击倒。
不