3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离


想一想：我们上体育课时，用的体育器材中，有哪些涉及两条直线的位置关系呢？


1.理解两直线的交点与方程组的解之间的关系，会 求两条相交直线的交点坐标.(重点)2.能够根据方程组解的个数来判断两直线的位置 关系.(难点)3.能够推导两点间距离公式.(重点)4.会应用两点间距离公式证明几何问题.(难点)


已知两条直线
:Ax+By+C=0l
1111
0 : Ax+By+C= l1. 两条直线的交点
2222
相交,如何求这两条直线交点的坐标?


l:Ax+By+C=0
l满Aa+Bb+C=0M的坐标:足方程M的坐标是方程组的解
Aa+Bb+C=0,
�
�
Aa+Bb+C=0
�111222
两条直线的交点几何元素及关系代数表示点M直线l点M在直线l上直线l1与l2的交点是MM(a,b)


AxByC++=0
1110AxByC++=和222
xByCA=++0,
�
111
�
AxByC如果两条直线 =++0
�222
相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们的方程组成的方程组 的解.探究1：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什么关系？


Ax+By+C=0,
�
111
�
Ax+By+C=0有解，那么以这个解为坐标的点就是直线的交点.
�222
CAxBy2++=和220
111
CAxBy解++=交点坐标即是方程组的0
如果方程组


2lM1l得所yxlxylxy�以l1与l2的交点为M（-2=2）.(如图所示)2,2,=-��，:3420,.022:+=++=-
12
3420,xy+-=
�
�
220,y方解x程解：组=++
�
例1 求下列两条直线的交点坐标：


表示何图形?图形有何特点？探究2：λ=0时，方程为l1：3x+4y-2=0λ=1时，方程为l2：5x+5y=0λ=-1时，方程为l3：x+3y-4=0解：先以特殊值引路：当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0


0l1l3作出相应的直线所以当λ变化时，方程表示直线，所有的直线都过点（-2,2）.
xyl2


(1)若方程组有且只有一个解, 11122200,AxByCAxByC++=��++=�(2)若方程组无解, (3)若方程组有无数个解, 则l1与l2平行.则l1与l2相交.则l1与l2重合.2．两条直线的位置关系探究3：两直线位置关系与两直线的方程组成的方程组的解的情况有何关系？


xy+=+10,
�
x=0
�
�
�
xy=--01
�y=-1
�相交重合平行（1）（2）（3）
　xy-+=10,
�
�
-=-+xy10
�
xy+=-10，
�
�
xy=--01
�无数组解无解一组解
讨论下列二元一次方程组解的情况:


1111
222200:lAxByClAxByC:++=++=111222
AB
11
�
ll与相交
12
AB
22
ABC
=�
ll与平行
12
ABC
111
222ABCABC ==12ll与重合【提升总结】
如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？


(1):0,:33100.lxlyxy=-+=-
12
.2):340,:6210(yxlyxl=--=+-
12
.3):3450,:68100(yxyxll=+=--+
12
5
�
x=，
�
�
3
xy-=0，
�
�
�
5
33100xy+-=，
�
�
y=.
�
3
�
55
(,).
33 解:（1）解方程组得 所以l1与l2相交，交点坐标为
例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标：


①得②�-2
90,解矛盾，方程组无=，所以两直线无公共点，故
：ll平行.方法二,
12
：ll平行.由于314621-=�--，解方程组方法一,
12
340,6210,-+=��--=�xyxy①②（2）故


68100,xy成-=因此，可以化+同一个方程，表示同一直线，方法二：
③得�2
③④,
ll重合.,
12
345-
==程解方，组方法一：
6810-
ll重合.,
12
（3）3450,68100,+-=��+-=�xyxy③④ 所以由于


y
（0，）0Dy（，）探究4：那么|AB|，|CD|怎样求？x（1）如果A，B是 轴上两点，C，D是 轴上两点，(2)已知，试求两点间的距离.y
（x，0B0）x（，）
AC
AB=x-x,CD=y-y
ABCD
， P，Pxy xy它们的坐标分别是 ， ， ()(,),,
111222
3.两点间的距离公式


yy=x
12
Pxy(,)
111(,)Pxy222
Oy
x1x
2
PPxx=-
1221
若


xx=x
12
y
2
Oy1221
yy222(,)Px1Pxy(,)
111
PPyy=-
若


xxyy��,
1212
PyxPyx若),(,),(
111222
PN与PM
1122
N0，y，x0.M直线相交于点Q.
()()
PN与角M在平面直P坐标系中，从点
1122，
1122
分别向y轴和x轴作垂线 ，垂足分别为


Py
2
N1
2
M
1
O
MQ
2
x
P
1
N
如图Rt△P1P2Q中，|P1P2|2= |P1Q|2+|QP2|2，为了计算|P1Q|和|QP2|长度，过点P1向x轴作垂线，垂足为M1（x1,0），过点P2向y轴作垂线，垂足为N2（0，y2），


11221
21221,==-==-PQMMxxQPNNyy，222122121
xyyxPP=-+-，所以
y原，地别特PxyPx点),(,),(
111222
22
PyxxPy=--+.)()(
122121
O（0，0）与任一点P（x,y）的距离22.=+OPxy
所以两点 间的距离为于是有


AB(2),(2,7),,1-
x即P
||||PPAB点||PA例3 已知=在轴上求一点 ，使，并求的值.
2
222
APAPB由 得22(11)(02)22.=++-=P=
xx--+-=++7022011解得x=1.所以，所求点为P（，，0），且 解：设所求点为P（x,0），于是
()()()
()
22
xxxx+++=-21145，


证明：如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系.例4 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.则A(0，0).设B(ａ，0)，D(ｂ，ｃ)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(ａ+ｂ，ｃ).ABCDxy(ｂ,ｃ)(a+ｂ,ｃ)(a,0)(0,0)


2222
222
CcbDADABaCB=+===,，
22
2222
AcabDbaCBc+-++==()(,)，所以
2222
222
BcCBDADCAba+=++++2()，
22
222
bcBDaAC++=+2()，所以
2222
22
ABCDADBC+++=
ACBD+的因此，平行四边形四条边.平方和等于两条对角线的平方和.
因为


2
2
-
-23-C
3
3
1.若直线l1:y=kx+k+2与l2:y=-2x+4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是 ( )A.k＞ B.k＜2C. ＜k＜2 D.k＜ 或k＞2


.4(1):2x+3y=12, :x-2y=ll
12
.0(2):x=2, :3x+2y-12=ll
12
364
(2)(2,3)
(1)(,)
77
2.求下列各对直线的交点坐标，并画出图形：答案：


(1):2312,:421.xxlyly=+=-
12
22
(2):2640,:.lyxyxl+==+-
12
33
2.3):(21)3,:(21)(xlyxly++=+=-
12
3.判断下列各对直线的位置关系.答案：(1) 相交，(2) 相交，(3) 平行.


.(1)A(6,0),B(-2,0)(2)C(0,-4),D(0,-1).
.(3)P(6,0),Q(0,-2)(4)M(2,1),N(5,-1).
(1)8
(2)3
(4)13
(3)210
4.求下列两点间的距离：答案：


△ABC
A(1,-1)，)(-B,31，C(3,0).
△ABC
△ABC
△ABC
22
因为，[B=(-1-1)+A3-(-1)]=20=25
5.已知 的三个顶点坐标是 （1）判断 的形状. （2）求 的面积.解：（1）如图， 为直角三角形，以下来进行验证，


+=52AC=(3-1)=[0-(-1)]=5，322BC=[3-(-1)]+(0-)522，
所以，222AB+AC=BC
△BC△ABC1AS=ABAC=5.2
△ABC
即 是以A为顶点的直角三角形.（2）由于 是以A为顶点的直角三角形，所以


1.直线l1：A1x+B1y+C1=0直线l2：A2x+B2y+C2=0直线l1与l2之间的位置关系：时，两条直线相交，交点坐标为当1122ABAB�1221211212211221BC-BCAC-AC(,)AB-ABAB-AB


ABC
111
=�时，两条直线平行；当 时，两条直线重合.
ABC
222
ABC
111
==2.两点间的距离为
ABC
222
22
PyxxPy=--+.)()(
122121
当


不为失败找理由，要为成功找方法。