第2章 对称图形——圆2.4　圆周角（1）


两地，他们争论不休，都说自己所在位置对球门AB 的张角大．如果你是教练，请评一评他们两个人，谁的位置对球门AB的张角大．ABOCD思考：如果在⊙O上再任取一点Q，看看对球门AB的张角的大小是否变化．
请你评一评 足球训练场上教练在球门前画了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图，甲、乙两名运动员分别在C、D


请你说一说定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.OABC在上面的角有什么特征？如果请你命名，你叫它什么？


判断下列各图中的角是否是圆周角？并说明理由． 请你说一说


(BC思考与探索
1．请在⊙O中画出 所对的圆心角和圆周角，你能画出多少个符合条件的圆心角和圆周角?OBC


2．BC所对的圆周角有无数个，观察你所画的图形，它们与圆心O有哪几种位置关系?O在∠BAC内O在∠BAC边上O在∠BAC外思考与探索


3．当圆心O在∠BAC的一边上时，圆周角∠BAC与圆心角∠BOC之间有怎样的数量关系？你能证明你的发现吗?思考与探索


1
4索探与考思．．=��OBCABC
2
1
�：明证�=.COBCAB
2
∵∠BOC是△AOC的外角，∴∠BOC＝∠A ＋∠C.∵OA＝OC ，∴∠C＝∠A .∴∠BOC＝2∠A .即


1
索探与考思�=� 的关系还成立吗 ?COBCAB
2
5．当圆心O在∠BAC的内部或外部时，


．
1
�=�BODBAD
2
1
�∵�=，CODCAD
2
�+�DACBAD
1
�即∴�+=．)(DDOBCO
2
1
�=�．CBACBO
2
， 证明：作直径AD


．即
1
�=�BADBOD
2
1
�=�DACDOC∵，
2
�-�DACDAB
1
=�-�()CODBOD.∴
2
1
�=�BACBOC.
2
， 证明：作直径AD


议一议同弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对圆心角的一半.


典型例题　例1　如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝150°，弧BC为70°，求∠ABD、∠AED的度数．


典型例题例2　如图，P是△ABC的外接圆上的一点，∠APC＝∠CPB＝60°．求证：△ABC是等边三角形．


∠D＝_____°，理由是_______________________；　(2)
∠BOC＝_____°，理由是__________________________________________________________ ___________________________.___________________________.同弧所对的圆周角相等同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半.3570
练一练 　 如图，点A、B、C、D在⊙O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠A＝35°.　(1)


∵∠BFC是△DFC的一个外角，
∴∠BFC >∠BDC ．
∵∠BAC＝∠BFC （同弧所对的圆周角相等）．
∴∠BAC >BDC．∠FODABCE
拓展提升如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由．解：连接CF．


请你议一议这节课你有哪些收获和困惑？开始的问题情境，你解决了吗？


2.4　圆周角（2）


板，请你找出它的圆心．
板，请你找出它的圆心．
请你画一画 有一个圆形模具，现在只有一个直角三角有一个圆形模具，现在只有一个直角三角


　　问题1　如图1，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗?BAOC图1　　问题2　如图2，圆周角∠BAC＝90º，弦BC经过圆心O吗？为什么？●OBCA图2请你想一想


请你议一议圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；用于判断某个圆周角是否是直角用于判断某条弦是否是直径90°的圆周角所对的弦是直径．．


典型例题　例1 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数．ABDCOE60°50°


((典型例题
　例　例2 2 已知：已知：BCBC是是⊙⊙OO的直径，的直径，AA是是⊙⊙OO上一上一点，点，ADAD⊥⊥BCBC，，垂足为垂足为DD，，AEAE＝＝ABAB，，BEBE交交ADAD于点于点FF．．　　（（11））∠∠ACBACB与与∠∠BADBAD相等吗？为什么？相等吗？为什么？　　（（22）判断）判断△△FABFAB的形状，并说明理由．的形状，并说明理由．


典型例题拓展：拓展：11．图中是否存在与．图中是否存在与FBFB相等的其他线段？相等的其他线段？


典型例题　　　　拓展：拓展：22．在例．在例22中，若点中，若点EE与点与点AA在直径在直径BCBC的两侧，的两侧，BEBE交交ADAD的延长线于点的延长线于点FF，其余条件不变，其余条件不变（如下图），例（如下图），例22中的结论还成立吗？中的结论还成立吗？


　　有一个圆形模具，现在只有一个直角三”
　　有一个圆形模具，现在只有一个直角三“
角板，请你找出它的圆心．你现在能解决吗？吗？
角板，请你找出它的圆心．你现在能解决”
现在你会了吗？“


巩固练习　　　　11．如图，．如图，ABAB是是⊙⊙OO的直径，的直径，∠∠AA＝＝10°10°，，则则∠∠ABCABC＝＝________________．．


是OO的直径，的直径，DD⊙是OO上的任上的任意一点（不与点意一点（不与点AA、、BB重合），延长重合），延长BDBD到点到点CC，使，使DCDC＝＝BDBD，判断，判断△△ABCABC的形状：的形状：
是⊙是⊙
．
．
巩固练习　　　　22．如图，．如图，ABAB⊙


巩固练习　　　　33．如图，．如图，AEAE是是⊙⊙OO的直径，的直径，△△ABCABC的顶点的顶点都在都在⊙⊙OO上，上，ADAD是是△△ABCABC的高，的高，△△ABEABE和和 △ △ADCADC相似吗？为什么？相似吗？为什么？


，测得圆周角CC＝＝45°45°，求，求这个人工湖的直径．这个人工湖的直径．
，测得圆周角∠
拓展提升　　一个圆形人工湖，弦　　一个圆形人工湖，弦ABAB是湖上的一座桥，已是湖上的一座桥，已知桥知桥ABAB长长100100mm∠


今天我们学习了圆中有哪些常用辅助线？
今天我们学习了圆中有哪些常用辅助线？
请你议一议这节课你有哪些收获？这节课你有哪些收获？


2.4　圆周角（3）


请你画一画　　1．过三角形的三个顶点能画一个圆吗？为什么？


请你画一画　　　　22．过四边形的四个顶点能画一个圆吗？为什么？．过四边形的四个顶点能画一个圆吗？为什么？


请你说一说　　一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆． 　　如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆．


请你想一想　　1．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD是直径时，你能发现∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？为什么？


依然成立？为什么？
请你想一想　　2．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD不是直径时，你上面发现的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC的数量关系是否


纳总归否上面的发现结你能，将结论表述
纳总归否结面的发现，上能你将结论．请你
出来的定理：圆？内接四边形的对角
出来？表述
互补．．
互补圆的内接四边形的对角
请你想一想　　　　33．请你


从中得到怎样的结论？ 　　例1　如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°，若点E在AD上，求∠E的度数． 典型例题
　　拓展：与∠DAE相等的角还有哪些？你能


典型例题　例2　如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB＝DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角．∠DAE与∠DAC相等吗？为什么？


且∠AOC＝80 °，则 ∠D＝ ，∠CBE＝ ．
巩固练习　1．已知：图中，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，


本60页习1练、2、3 ．
巩固练习　　2．圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D＝2：4：7：m ，则m＝ ，∠D＝ ．3．课


请你议一议这节课你有哪些收获？这节课你有哪些收获？开始的问题情境，你解决了吗？ 开始的问题情境，你解决了吗？