4.1 因式分解第四章 因式分解


导入新课复习引入问题1：21 能被哪些数整除？1，3，7，21.问题2：你是怎样想到的？因为 21 = 1×21 = 3×7.思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？可以.


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念概的解分式一=��想因想： 993 -99 入还能被哪些整数整除?探究引9019980
新课讲授问题：993 - 99 能被 100 整除吗？所以，993 - 99 能被 100 整除.322


问题探究如图，一块草坪被分成三部分，你能用不同的方式表示草坪的总面积吗？abcm方法一：m(a+b+c)方法二：ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mc整式乘法?


完成下列题目：x(x - 2) =_______(x + y)(x - y) =_______(x + 1)2 =__________x2 - 2xx2 - y2x2 + 2x + 1根据左空，解决下列问题：x2 - 2x = ( )( )x2 - y2 = ( )( )x2 + 2x + 1 = ( )2xx - 2x + yx - yx + 1做一做


联系：等号左右两边是同一多项式的不同表现形式.区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？


总结归纳 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.


﹣y2 = (x1)(1x + ﹣) + y2 C. y21 = (
﹣y + 1)(y1)﹣ D. ax + by + c = x(a + b) + c E. 2a3b = a2•2ab F. (x + 3)(x3) =
﹣x29﹣√×××××提示：判定一个等式是因式分解的条件：(1)左边是多项式；(2)右边是积的形式；(3)右边的因式全是整式.
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：辩一辩 A. x(a﹣b) = ax﹣bx B. x21 +


做一做根据左边的算式填空:(1) 3x2-3x =_________(2)ma+mb+mc =_________(3) m2-16 =__________(4) x2-6x+9 =________ (5) a3-a =___________计算下列各式:(1) 3x(x - 1) = __(2) m(a+b+c) = _______ (3)(m+4)(m-4) = _____(4)(x-3)2 = _____ (5)a(a+1)(a-1) = __3x2 - 3xma+mb+mcm2 -16x2-6x+9a3-a3x(x-1)m(a+b+c)(m+4)(m-4)(x-3)2a(a+1)(a-1)


想一想：由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是什么运算? 由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与它有什么不同?由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是整式乘法，由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与上面的变形互为逆过程.因式分解与整式乘法的关系


x2 - 1 (x + 1)(x - 1)因式分解整式乘法x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？是互为相反的变形，即


﹣)(x + 3)，求 a，b 的值.解：∵ x2 + ax + b = a(x2
﹣)(x + 3) = ax2 + ax - 6a，
6a = 1，b =∴﹣a =6.，掌典例精析方法归纳：对于此类问题﹣握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果展开，再与原多项式各项对应的系数比较，使其分别相等即可.
例 若多项式 x2 + ax + b 分解因式的结果为a(x2


．x2 + y2 D．﹣x2﹣y2B练一练
下列多项式中，分解因式的结果为 -(x + y)(x - y)的是（　　）A．x2﹣y2 B．﹣x2 + y2C


1
x2. 下列从左到右的变形中，是因式分解的有______ .　
24x2y = 4x·6xy ① (x + 5)(x5) =②﹣x25 2 ﹣
(x2 + 2x3 ③= ﹣x + 3)(x1) 9﹣④x26 x + 1﹣ 3x(x2) + 1 =﹣⑤x2 + 1 = x(x + )
1
⑥3xn+2 + 27xn = 3xn(x2 + 9)
xC
当堂练习③⑥1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是 ( )A. a(a + b - 1) = a2 + ab - a B. a2 - a - 2 = a(a - 1) - 2C. -4a2 + 9b2 = (-2a + 3b)(2a + 3b) D.2x +1 = x(2 + )


5
2
∴5n = 5，4m = n + 5. 解得 n = 1，m = .
3
2
35
∴m + n = 1 + = .
2
2
3. 把多项式 x2 + 4mx + 5 因式分解得 (x + 5)(x + n)，则 m + n 的值为 　 ．　解析：由题意可得 x2 + 4mx + 5 = (x + 5)(x + n) = x2 + (n + 5)x + 5n.


∴20242 + 2024 能被 2025 整除.
4. 20242 + 2024 能被 2025 整除吗? 解：∵ 20242 + 2024 = 2024(2024 + 1) = 2024×2025，


﹣和 (x﹣1)， 求 mn 的值.解：∵ x4 + mx3 + nx - 16 的最高次数是 4，∴可设 x4 + mx3 + nx -16 = (x - 1)(x - 2)(x2 + ax + b)，则 x4+mx3+nx - 16 = x4 +(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b比较系数得 2b = -16，b - 3a + 2 = 0，a - 3= m，2a-3b=n， 解得 a = -2，b = -8，m = -5，n = 20.∴mn = -5×20 = -100．
5. 若多项式 x4 + mx3 + nx -16 含有因式 (x2)


∴a = 6. 同理，乙看错了 a，但 b 是正确的， 分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9，
6. 甲、乙两个同学分解因式 x2 + ax + b 时，甲看错了 b，分解结果为 (x + 2)(x + 4)；乙看错了 a，分解结果为 (x + 1)(x + 9)，求 a + b 的值.解：甲分解因式看错了 b，但 a 是正确的， 其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8，
∴b = 9.
∴a + b = 15．


课堂小结因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的_____的形式，叫做因式分解，也可称为___________其中，每个整式叫做这个多项式的______与多项式乘法运算的关系 的变形过程前者是把一个多项式化为几个整式的_____，后者是把几个整式的______化为一个_______积 分解因式 因式 相反 多项式 乘积 乘积