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4.3 公式法第四章 因式分解 第2课时 完全平方公式
导入新课复习引入1. 因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积的形式.2. 我们已经学过哪些因式分解的方法？(1) 提公因式法(2) 平方差公式a2 - b2 = (a + b)(a - b)
新课讲授 你能把下面 4 个图形拼成一个正方形，并求出你拼成的图形的面积吗？拼出图形为：aabbabababa²b²ab用完全平方公式分解因式
这个大正方形的面积可以怎么求？a2 + 2ab + b2 (a + b)2 =ababa²ababb² (a + b)2 a2 + 2ab + b2=将上面的等式逆过来写，能得到：
我们把 a² + 2ab + b² 和 a² - 2ab + b² 这样的式子叫做完全平方式. a2 + 2ab + b2 a2 - 2ab + b2观察这两个式子：（1）每个多项式有几项？（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项这两项都是数或式的平方，并且符号相同是第一项和第三项底数的积的 ±2 倍
22
a完全平方式：2abb
完全平方式的特点： 1. 必须是三项式 (或可以看成三项的)； 2. 有两个数或式的平方和； 3. 有两底数之积的 ±2 倍.
简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式. 将它写成完全平方的形式，便实现了因式分解.2ab+ b2±= (a ± b)²a2首2+ 尾2±2×首×尾(首±尾)2两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方.
3. a² + 4ab + 4b² = ( )² + 2· ( ) ·( ) + ( )² = ( )²2. m² - 6m + 9 = ( )² - 2· ( ) ·( ) + ( )² = ( )²1. x² + 4x + 4 = ( )² + 2·( )·( ) + ( )² = ( )²x2x + 2 aa 2ba + 2b2b对照 a²±2ab＋b² = (a±b)²，填空：mm - 33x2 m3
下列各式是不是完全平方式？（1）a2 - 4a + 4； （2）1 + 4a²；（3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2； （5）x2 + x + 0.25.是（2）因为它只有两项；不是（3）4b² 与 -1 的符号不统一；不是分析：不是是（4）因为 ab 不是 a 与 b 的积的 2 倍.
例1 如果 x2 - 6x + N 是一个完全平方式，那么 N = ( ) A . 11 B. 9 C. -11 D. -9B解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x = 2x×(-3)，故可知 N = (-3)2 = 9.变式训练 如果 x2 -mx + 16 是一个完全平方式，那么 m 的值为______.解析：由于16 = (±4)2，故 -m = 2×(±4)，m = ±8.±8典例精析
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的 2 倍的符号，避免漏解．
例2 分解因式：(1) 16x2 + 24x + 9； (2) -x2 + 4xy - 4y2.分析：(1)中 16x2 = (4x)2，9 = 3²；24x = 2×4x·3；所以16x2+24x+9 是一个完全平方式，即 16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2×4x·3 + (3)2.+2ab+ b2a2(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 - (x2 - 4xy+ 4y2 )，然后再利用公式分解因式.
解：(1) 16x2 + 24x + 9 = (4x + 3)2.= (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2(2) -x2 + 4xy - 4y2 = -(x2 - 4xy + 4y2)= -(x - 2y)2.
(2) 原式 = (a + b)2 - 2·(a + b) ·6 + 62 = (a + b - 6)2.例3 把下列各式分解因式：(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) (a + b)2 - 12(a + b) + 36.解：(1) 原式 = 3a(x2 + 2xy + y2) = 3a(x + y)2.分析：(1) 中有公因式 3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2) 中将 a + b 看成一个整体，则原式也是个完全平方式.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.概念学习
因式分解：(1) -3a2x2＋24a2x - 48a2；(2) (a2＋4)2 - 16a2.针对训练＝(a2＋4＋4a)(a2＋4 - 4a)解：(1) 原式＝-3a2(x2 - 8x＋16)＝-3a2(x - 4)2.(2) 原式＝(a2＋4)2 - (4a)2＝(a＋2)2(a - 2)2.有公因式要先提公因式要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解
例4 把下列完全平方公式分解因式：(1) 1002 - 2×100×99＋99²；(2) 342＋34×32＋162.解：(1) 原式 = (100 - 99)² (2) 原式 = (34＋16)2本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.= 1.= 2500.
例5 已知 x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求 x2y2＋2xy＋1 的值.＝112＝121.解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，∴x－2＝0，y－5＝0.∴x＝2，y＝5.∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2几个非负式的和为 0，则这几个非负式都为 0.
方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负式的和的形式，然后利用非负式性质解答问题．
∴a－b＝0，b－c＝0，∴ a＝b＝c.
例6 已知 a，b，c 分别是△ABC 三边的长，且 a2＋2b2＋c2－2b(a＋c) ＝ 0，请判断△ABC 的形状，并说明理由．∴△ABC 是等边三角形.解：由 a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即 (a－b)2＋(b－c)2＝0，
当堂练习1. 下列四个多项式中，能因式分解的是 ( ) A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y2. 把多项式 4x2y－4xy2－x3 分解因式的结果是 ( ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2 C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)3. 若 m ＝ 2n＋1，则 m2－4mn＋4n2 的值是_____．BB14. 若关于 x 的多项式 x2－8x＋m2 是完全平方式，则 m 的值为______．±4
5. 把下列多项式因式分解. (1) x2 - 12x + 36； (2) 4(2a + b)2 - 4(2a + b) + 1； (3) y2 + 2y + 1 - x2. 解：(1) 原式 = x2 - 2·x·6 + (6)2 = (x - 6)2.(3) 原式 = ( y + 1)² - x² = (y + 1 + x)( y + 1 - x).(2) 原式 = [ 2(2a + b) ]² - 2·2(2a + b)·1 + ( 1 )² = (4a + 2b - 1)2.
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(2)2024202440462023.2×38.9×48.9�+6. 计算：(1) 38.92－-＋48.92；解：(1) 原式 = (38.9－48.9)2= 100.
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式原 )2(+��-=03(2223)0242022)4202(
2
=-(202023)42
=1.
8. (1) 已知 a－b＝3，求 a(a－2b)＋b2 的值； (2) 已知 ab＝2，a＋b＝5，求 a3b＋2a2b2＋ab3 的值.原式＝2×52 ＝ 50.解：(1) 原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.当 a－b＝3 时，原式＝32＝9.(2) 原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当 ab＝2，a＋b＝5 时，
课堂小结完全平方公式分解因式公式a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2完全平方式（1）要求多项式有三项；（2）其中两项是两数(或两式)的平方和，另一项则是这两数(或式)的乘积的 2 倍，符号可正可负.
导入新课复习引入1. 因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积的形式.2. 我们已经学过哪些因式分解的方法？(1) 提公因式法(2) 平方差公式a2 - b2 = (a + b)(a - b)
新课讲授 你能把下面 4 个图形拼成一个正方形，并求出你拼成的图形的面积吗？拼出图形为：aabbabababa²b²ab用完全平方公式分解因式
这个大正方形的面积可以怎么求？a2 + 2ab + b2 (a + b)2 =ababa²ababb² (a + b)2 a2 + 2ab + b2=将上面的等式逆过来写，能得到：
我们把 a² + 2ab + b² 和 a² - 2ab + b² 这样的式子叫做完全平方式. a2 + 2ab + b2 a2 - 2ab + b2观察这两个式子：（1）每个多项式有几项？（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项这两项都是数或式的平方，并且符号相同是第一项和第三项底数的积的 ±2 倍
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a完全平方式：2abb
完全平方式的特点： 1. 必须是三项式 (或可以看成三项的)； 2. 有两个数或式的平方和； 3. 有两底数之积的 ±2 倍.
简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式. 将它写成完全平方的形式，便实现了因式分解.2ab+ b2±= (a ± b)²a2首2+ 尾2±2×首×尾(首±尾)2两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方.
3. a² + 4ab + 4b² = ( )² + 2· ( ) ·( ) + ( )² = ( )²2. m² - 6m + 9 = ( )² - 2· ( ) ·( ) + ( )² = ( )²1. x² + 4x + 4 = ( )² + 2·( )·( ) + ( )² = ( )²x2x + 2 aa 2ba + 2b2b对照 a²±2ab＋b² = (a±b)²，填空：mm - 33x2 m3
下列各式是不是完全平方式？（1）a2 - 4a + 4； （2）1 + 4a²；（3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2； （5）x2 + x + 0.25.是（2）因为它只有两项；不是（3）4b² 与 -1 的符号不统一；不是分析：不是是（4）因为 ab 不是 a 与 b 的积的 2 倍.
例1 如果 x2 - 6x + N 是一个完全平方式，那么 N = ( ) A . 11 B. 9 C. -11 D. -9B解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x = 2x×(-3)，故可知 N = (-3)2 = 9.变式训练 如果 x2 -mx + 16 是一个完全平方式，那么 m 的值为______.解析：由于16 = (±4)2，故 -m = 2×(±4)，m = ±8.±8典例精析
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的 2 倍的符号，避免漏解．
例2 分解因式：(1) 16x2 + 24x + 9； (2) -x2 + 4xy - 4y2.分析：(1)中 16x2 = (4x)2，9 = 3²；24x = 2×4x·3；所以16x2+24x+9 是一个完全平方式，即 16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2×4x·3 + (3)2.+2ab+ b2a2(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 - (x2 - 4xy+ 4y2 )，然后再利用公式分解因式.
解：(1) 16x2 + 24x + 9 = (4x + 3)2.= (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2(2) -x2 + 4xy - 4y2 = -(x2 - 4xy + 4y2)= -(x - 2y)2.
(2) 原式 = (a + b)2 - 2·(a + b) ·6 + 62 = (a + b - 6)2.例3 把下列各式分解因式：(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) (a + b)2 - 12(a + b) + 36.解：(1) 原式 = 3a(x2 + 2xy + y2) = 3a(x + y)2.分析：(1) 中有公因式 3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2) 中将 a + b 看成一个整体，则原式也是个完全平方式.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.概念学习
因式分解：(1) -3a2x2＋24a2x - 48a2；(2) (a2＋4)2 - 16a2.针对训练＝(a2＋4＋4a)(a2＋4 - 4a)解：(1) 原式＝-3a2(x2 - 8x＋16)＝-3a2(x - 4)2.(2) 原式＝(a2＋4)2 - (4a)2＝(a＋2)2(a - 2)2.有公因式要先提公因式要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解
例4 把下列完全平方公式分解因式：(1) 1002 - 2×100×99＋99²；(2) 342＋34×32＋162.解：(1) 原式 = (100 - 99)² (2) 原式 = (34＋16)2本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.= 1.= 2500.
例5 已知 x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求 x2y2＋2xy＋1 的值.＝112＝121.解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，∴x－2＝0，y－5＝0.∴x＝2，y＝5.∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2几个非负式的和为 0，则这几个非负式都为 0.
方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负式的和的形式，然后利用非负式性质解答问题．
∴a－b＝0，b－c＝0，∴ a＝b＝c.
例6 已知 a，b，c 分别是△ABC 三边的长，且 a2＋2b2＋c2－2b(a＋c) ＝ 0，请判断△ABC 的形状，并说明理由．∴△ABC 是等边三角形.解：由 a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即 (a－b)2＋(b－c)2＝0，
当堂练习1. 下列四个多项式中，能因式分解的是 ( ) A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y2. 把多项式 4x2y－4xy2－x3 分解因式的结果是 ( ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2 C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)3. 若 m ＝ 2n＋1，则 m2－4mn＋4n2 的值是_____．BB14. 若关于 x 的多项式 x2－8x＋m2 是完全平方式，则 m 的值为______．±4
5. 把下列多项式因式分解. (1) x2 - 12x + 36； (2) 4(2a + b)2 - 4(2a + b) + 1； (3) y2 + 2y + 1 - x2. 解：(1) 原式 = x2 - 2·x·6 + (6)2 = (x - 6)2.(3) 原式 = ( y + 1)² - x² = (y + 1 + x)( y + 1 - x).(2) 原式 = [ 2(2a + b) ]² - 2·2(2a + b)·1 + ( 1 )² = (4a + 2b - 1)2.
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(2)2024202440462023.2×38.9×48.9�+6. 计算：(1) 38.92－-＋48.92；解：(1) 原式 = (38.9－48.9)2= 100.
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式原 )2(+��-=03(2223)0242022)4202(
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=-(202023)42
=1.
8. (1) 已知 a－b＝3，求 a(a－2b)＋b2 的值； (2) 已知 ab＝2，a＋b＝5，求 a3b＋2a2b2＋ab3 的值.原式＝2×52 ＝ 50.解：(1) 原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.当 a－b＝3 时，原式＝32＝9.(2) 原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当 ab＝2，a＋b＝5 时，
课堂小结完全平方公式分解因式公式a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2完全平方式（1）要求多项式有三项；（2）其中两项是两数(或两式)的平方和，另一项则是这两数(或式)的乘积的 2 倍，符号可正可负.
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