4.3 公式法第四章 因式分解 第1课时 平方差公式


导入新课如图，在边长为 a 米的正方形上剪掉一个边长为 b 米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？a 米b 米b米a 米(a - b)米情境引入a2 - b2 = (a + b)(a - b)


新课讲授想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？是 a，b 两数的平方差的形式))((baba-+=22ba-))((22bababa-+=-整式乘法因式分解两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：用平方差公式进行因式分解


√√××辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？√√★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成：( )2-( )2的形式.（1）x2 + y2（2）x2 - y2（3）-x2 - y2-(x2 + y2)y2 - x2（4）-x2 + y2（5）x2 - 25y2(x + 5y)(x - 5y)（6）m2 - 1(m + 1)(m - 1)


22
)2)()(.(xxpq -+aabb( +)(-)a2+ - b2 =解：(1) 原式 =2x32x2x33
22
-=+((23))32xx;
(2)3x-
22
()()xpxq+-+ab典例精析
=原 )2(+-++++式))()()((xpxqxpxq
[][]
=-++().2)(qpqxp
2(1)49x-；例1 分解因式：


方法总结：公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.


分解因式：(1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2.针对训练＝(2m＋4n)(4m＋2n)解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b).(2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)＝4(m＋2n)(2m＋n)．若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式继续分解.


当场编题，考考你！))((22bababa-+=-20232 － 20222 = (2mn)2 - ( 3xy)2 =(x + z)2 - (y + p)2 =


443
(1)(2).xyabab--解：(1) 原式＝；( x2 )2 - ( y2 )2＝( x2 + y2 )( x2 - y2)分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解＝(x2 + y2)(x + y)(x - y).(2) 原式＝ab(a2 - 1)分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查＝ab(a + 1)(a - 1).
例2 分解因式：


方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．


分解因式：(1) 5m2a4 －5m2b4； (2) a2－4b2－a－2b.针对训练＝ (a＋2b)(a－2b－1).＝ 5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b).解：(1)原式 ＝ 5m2(a4－b4)＝ 5m2(a2＋b2)(a2－b2) (2)原式 ＝ (a2－4b2)－(a＋2b)＝ (a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)


∴x - y ＝ -2②.解：∵ x2 - y2 ＝ (x＋y)(x - y)＝ -2，x＋y ＝ 1①，联立①②组成二元一次方程组，解得
1
�
x=-，
�
�
2
�
3
�
y=.
�
�2
例3 已知 x2 - y2 ＝ －2，x＋y ＝ 1，求 x - y，x，y 的值.


方法总结：在与 x2－y2，x±y 有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.


例4 计算下列各题：(1) 1012 - 992； (2) 53.52×4 - 46.52×4.解：(1) 原式＝(101＋99)(101－99)＝400.(2) 原式＝4(53.52－46.52)＝4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)＝4×100×7＝2800.方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.


∵n 为整数，
∴8n 被 8 整除.方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除.
例5 求证：当 n 为整数时，多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2一定能被 8 整除．即多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2 一定能被 8 整除.证明：原式 = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 4n • 2 = 8n，


当堂练习1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是 (　　)A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mnC．－x2－y2 D．－x2＋9D2. 分解因式 (2x + 3)2 - x2 的结果是 (　　)A．3(x2 + 4x + 3) B．3(x2 + 2x + 3)C．(3x + 3)(x + 3) D．3(x + 1)(x + 3) D3. 若 a + b = 3，a - b = 7，则 b2 - a2 的值为 (　　)A．-21 B．21 C．-10 D．10A


4. 把下列各式分解因式：(1) 16a2 - 9b2 = _________________ ；(2) (a + b)2 - (a - b)2 = _____； (3) 9xy3 - 36x3y =_________________；(4) -a4 + 16 =_________________ .(4a + 3b)(4a - 3b)4ab9xy(y + 2x)(y - 2x)(4 + a2)(2 + a)(2 - a)5. 若将 ( 2x )n - 81 分解成 (4x2 + 9)(2x + 3)(2x - 3)，则 n 的值是_____.4


6. 已知 4m + n = 40，2m - 3n = 5，求(m + 2n)2 - (3m - n)2 的值．原式 = -40×5 = -200.解：原式 = (m + 2n + 3m - n)(m + 2n - 3m + n)= (4m + n)(3n - 2m)= -(4m + n)(2m - 3n)，当 4m + n = 40，2m - 3n = 5 时，


7. 如图，在边长为 6.8 cm 正方形钢板上，挖去 4 个边长 为 1.6 cm 的小正方形，求剩余部分的面积．解：根据题意，得 6.82－4×1.62＝ 6.82－ (2×1.6)2＝ 6.82－3.22＝ (6.8＋3.2)(6.8－3.2)＝ 10×3.6＝ 36 (cm2).答：剩余部分的面积为 36 cm2.


∵2 - 1 = ( 99 + 1 )( 99 - 1 ) = 100×98，
∴992 - 1 能被 100 整除.(2) 原式 = ( 2n + 1 + 5 )( 2n + 1 - 5 )= ( 2n + 6 )( 2n - 4 )= 2( n + 3 )×2( n - 2 ) = 4( n + 3 )( n - 2 ).
∵n 为整数，
∴( 2n + 1 )2 - 25 能被 4 整除.(2) n 为整数，(2n + 1)2 - 25 能否被 4 整除？
8. (1) 992 - 1 能被 100 整除吗？解：(1) 99


课堂小结平方差公式分解因式公式a2 - b2 = (a + b)(a - b)步骤一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.