5.2 分式的乘除法第五章 分 式


mVab
n
Vm
�.水高为
abn
导入新课情境引入问题1 一个长方体容器的容积为 V，底面的长为 a，宽为 b，当容器内的水占容积的 时，水高多少?长方体容器的高为 ，


a
m
b
n
ab
�
mn
问题2 大拖拉机 m 天耕地 a 公顷，小拖拉机 n 天耕地 b 公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍? 大拖拉机的工作效率是 公顷/天，小拖拉机的工作效率是 公顷/天，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的( )倍.


25
24�
2424�
（12）　＝��　，（）　＝ .
34
35�
3535　
()(12??acac)bdbd�=�=分式的乘除
新课讲授 想一想： 类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？填空：类比探究


bdbcbc
bdbd
�=g归纳法则=
g=
acadad
acac
类似于分数，分式有：乘法法则： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.　　除法法则： 两个分式相乘，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.　上述法则用式子表示为：


��
2yx
-�-；
��
34xxy
��
23
322
2xy
2yxy
=
=�=;
4
3
2
12xy
34xxy6x
22
22=.4xy
3xyx
=�
33=12xyy
2
26yy
.62322xyyxy解：（1）原式（2）原式（1）（2）做一做323


方法归纳 分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算．


2
aaa-+-441
(1)�；解：原式 =
22
aaa-+-214
2
(2)1aa--
�
2
(1)(2)2)(aaa-+-22
(2)(1)aa--
=
)1)(2)(2(aaa--+
(2)a-
=.
(1)(2)aa分母是+ 分子、-多项式时，先分解因式 便于约分.约分
例2 计算：


2211(2)497mmm�--.解：原式 =
2
17mm-
�
2
491-m
1(7)mm-
=�
(7)(7)1+-mm
mm(7)-
=
(7)(7)+-mm
m
=- .先把除法转化为乘法. 整式与分式 运算时，可以把整式看成分母是1 的分式．负号怎么得来的？
7+m


2
xx--29
�；解：原式做一做
2
xx+-34
xxx-+-)3()3(2
=�
)3)(2)(2(xxx++-
)2)(3)(3(xxx-+-
=
)3)(2)(2(xxx++-
x-3
=
x+2
(1)


22
2224.693aaaaaaa+-�-+-(2)
22
aaaa+-23
=(2·2)(3)(3)(2)(2)aaaaaaa+-=-+-·22
22
aaa-+-694
aaa(3)(2)+-
=
)3)(2)(2(aaa-+-2
a
=
(3)(2)aa--
解：原式


1. 分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，可先约去分子、分母的公因式，再按照法则进行计算.2. 分子或分母是多项式的按以下方法进行：①将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂)排列；在乘除过程中遇到整式则视其为分母为 1，分子为这个整式的分式；要点归纳分式乘除法的解题步骤


②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；③应用分式乘除法法则进行运算．(注意：结果为最简分式或整式)


22
yxxyyx++-2
�
2
xxyxy-+
2()()xyxyxxyxy+-=-+解：原式·2
(+)()xyxy·-
=
yxyxx)()(-+·
(+)()()yxxyxy-·+
=
()()xyxyx+-·
xy+
=.
x
yx-+202312202
==-.
x20220222
例2 若 x = 2022，y = - 2023，求分式 的值.当 x = 2022，y = -2023 时，得


22
xxxx+++21
先化简，再求值：，其中=�x.2
2
xx--11
2+111=.+11+1xxxxxxx-=-解：原式·思考：本题中，x的取值不能为哪些数？
()
()()()
1
当时x2=.=，原式
x
做一做方法总结：根据分式乘除法法则将代数式先进行计算化简，再代入求值.同时注意字母的取值要使分数有意义！


4
3=333381���=2
2
224
��
=
�=4
��
3
339
��
2
222216
��
=
���=根据乘方的意义计算下列各式：分式的乘方
��
3
��333381


a
aa
��
=
�22ab=3
��
b
bb
��
a
aaa
��
=
��33ab=10ab��=����
��
b
bbb
��
10
a
aaa
=
gggggg
10
b10 个
bbb
类比分数的乘方运算，你能计算下列各式吗？2


a
().n，这就是说=分式乘方要把分子，分母分别乘方.
b
n 是正整数时，
nn
aa
aaa������
aaaa
.
==
()n
=ggggggn 个
nn
b
bb
bbb������n 个n个
bbb
想一想：一般地，当


n
n
aa
��
5.=
()
��
n
bb
��
想一想：目前为止，正整数指数幂的运算法则都有什么？(1) am·an ＝am+n ；(2) am÷an＝am-n；(3) (am)n＝amn； (4) (ab)n ＝ anbn；


n
n
aa
��
=.
��
n
bb
��理解要点：（1）分式乘方时，一定要把分子，分母分别乘方，不要把 写成 .
n
n
n
n
aa
aa
��

=

n��
bb
bb
�（2�）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）含有乘方的分式乘除混合运算，先算分式的乘方，再算乘除.×√
知识要点分式的乘方法则


a 米的正方形减去一个边长为
1 米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a - 1)米的正方形，两块试验田的小麦都收获了
500 千克.（1）哪种小麦的单位面积产量高？（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？a m1 m(a-1)m分式的乘除法的应用
例4 “丰收 1 号”小麦的试验田是边长为


500
a-1
500
2
(1)a-
a m1 m(a－1)m解：(1)“丰收 1 号”小麦的试验田面积是(a2－1)m2，单位面积产量是 kg/m2；“丰收 2 号”小麦的试验田面积是(a－1)2 m2，单位面积产量是 kg/m2. 2


500
500
<
22
(1)a-
a-1
2
50050050011aa-+
�=�=.
222
(1)1(1)5001aaaa--- 所以 “丰收-2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的 倍.
a+1
a-∵a＞1， (a－1)2＞0， a2－1＞0，由图可得 (a－1)2＜ a2－1.∴1
(2)


流的速度是每船在 2 小时m，k静水中的速度是每
， x km(x＞2)小时那么船在往返一次过程中，顺流航
x-2
行的时间与
x+2
逆流航行的时间比是______.【
10010010022xx--
解析】由题意得顺流速度， (x + 2) km/为h逆流速度为 (x - 2) km/h，则有
�=�=.
xxxx++-一做+做2001222
一条船往返于水路相距 100 km 的 A，B 两地之间，已知水


堂练习1. 计算
2
等 ）A. B. 于（ C. D.
abax-3
�
24cdcd
2
2
2b2b
3
-222238abxcd-C2. 化简 的结果是（ ）B
bx
23x23x
aa--11
�
aa
11
A.B.C.1D.aa-
aa-21
当


对吗？若不对，要怎样改正？
b
bab
11�=；
2�=ab；对
()
()
2
abaa
42xa
-xbb63
4.�=
()
3�=；
()
2
323ax
2bxx
2
8x
3
-
2
3a
x
3. 下列计算


种植两块正方形土b边长分别为 a 米和 地， 米(a≠b)，
老李家种植一块长方形土a ，长为 2地米，宽为 b 米．
他们种的都是花生，并且总产量相同，试问
老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？解：
设花生的总产量是 1，则
2222112.2abababab�=++4. 老王家


析：利用分式的乘法法则先进行计算化简，然后代入求值．6. 先化简，再求值：
解


2
xxx-
231.�=+，其中x
()
xx++11
析：将除法转化为乘法后约分化简，然后代入求值．
解


堂结分式乘小除运算乘除法运算注意(1)分子分母是单项式的，先按法则进行，再约分化成最简分式或整式除法先转化成乘法，再按照乘法法则进行运算(2)分子分母是多项式的，
通常先分解因式再按法则进行要(3)运用法则时要注意符号的
变化
课