2.1 二次函数第二章 二次函数


导入新课下面来看某运动员在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包.情景引入点击视频开始播放


通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？ “数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”------中科院数学与系统科学研究院 李邦河如果变量 y 随着 x 而变化，并且对于 x 取的每一个值，y总有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数.问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？


函

数一次函数反比例函数y=kx+b (k≠0)(正比例函数) y=kx (k≠0)问题2 我们学过哪些函数？
k

为 对，y思考 一个边长x 的正方形的面积 y 为多少？y 是 x的函数吗？是我们学过的函数吗？y = x2于k0
x
x 的每一个值，y 都有唯一的一个对应值，即
y 是不是x 的函数.这个函数 我们学过的函数.思考：这种函数叫什么？这节课我们一起来学习吧.


新课讲授问题1：某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子.(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ 合作探究二次函数的定义


xx.的函数==对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x6.1,4
(2) 假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3) 如果要使得果园橙子的总产量为 60320 个，那么应该增种多少棵橙子树？(4) 如果果园橙子的总产量为 y 个，那么请你写出 y 与 x之间的关系式.果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子. y = (100+x)(600-5x) = -5x²+100x+60000. (100+x)(600-5x) = 60320 解得，12


棱长y 与正方体 x 之间的关系，对于
x 的每一个值，y 都有唯一的一个对应值，即
y 是 x 的函数.
问题2 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 . y = 6x2 此式表示了正方体表面积


2
Sxx=-20
()
xxS=-+此式表示了边长数x与围网的面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即 S是x的函.20
问题3 某水产养殖户用长40 m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.你能列出矩形水面的面积关于矩形水面的边长的关系式吗？ 设围成的矩形水面的一边长为 x m，那么，矩形水面的另一边长应为（20-x）m.若它的面积是 S m2，则有


前面求出的三个函数有什么共同点?函数都是用自变量的二次整式表示的 y = 6x2 y = -5x²+100x+60000.220.Sxx=-+


x，y 之间的对应关系可以表示成y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数.归纳总结a为二次项系数，ax2叫做二次项；b为一次项系数，bx叫做一次项；c为常数项.
二次函数的定义： 一般地，若两个自变量


y，右边是关于自变量x的整式；（2）a，b，c 为常数，且a≠ 0；（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
温馨提示：（1）等号左边是变量


2
m-7
例精析注意
ymx+=.3
()
2
�
m-=71,
m=22;（�2）由题可知解得m=3. 第( 2 )问易忽略二次项系数 a≠0 这一限
�
m+�30,
�
272,30,mm�-=�+��典
制条件，
从3得出m=而或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
例1 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2）m取什么值时，此函数是二次函数？解：（1）由题可知解得


一练是不是是不是
化简后判断练
1.下列函数中,哪些是二次函数?2222)1()4()1()3(1)2()1(xxyxxyxyxy先


下列函数化成二次函数的一般式.(1)y = (x-2)(x-3); (2)y = (x+2)(x-2)-2(x-1)2;(3)y = -2(x+3)2.解：(1) y = (x-2)(x-3) = x2-5x+6; (2) y = (x+2)(x-2)-2(x-1)2 = -x2+4x-6; (3) y = -2(x+3)2 = -2x2-12x-18.
2.把


范围
述问题中的三个函数的自变量的取值范围是什么？
①y = (100+x)(600-5x) = -5x²+100x+60000.
②y = 6x2 ①∵600-5x＞0，x＞0，
∴0≤x＜120，且 x 为整数.
②x＞0.③∵20-x＞0，
∴0＜x＜20.③S = x(20-x) = -x²+20x二次函数的自变量取值
问题4：上


范围是所有实数，但在
实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限
制.
归纳总结 二次函数的自变量的取值


从中挖去2长为一个x cm，
宽的(x为+1) cm小长方形．剩余部分为面积的y cm2.写出 y与 x之间的函数关系式，并
指y是x出的什么函数？解：由题意得y＝122－2x(x+1)， 又∵x+1<2x≤12，
：本题中的数量关系是： 剩余
面积=正方形面积-长方形面积.列二次函数关系式
∴1∴y是x的二次函数.分析
例3一个正方形的边长是12 cm，若


习2.函数 y= (m-n)x2+ mx+n 是二次函数的
条件m( )A.是,n是常数,且m≠0 B.m,n是常数,且n≠0C.m,n是常数,且m≠n D.m,n为
任何实C1.把y数=(2-3x)(6+x)变成y=ax²+bx+c的形式，二次项为 _____，一次项系数为_____，常数项为 .3．
下列函数是二次函数的是 ( )A．
1
2
y=+1
y=
B．C．y＝2x＋1 D．y＝3x2＋12 D-3x2-161 2
x
x
当堂练


知函数 y = 3x2m-1－5
① 当m =＿＿y 时，是关于 x 的一次函数；
② 当 m =＿＿y 时，是关于 x 的二次函数.1
3
2
4. 已


球队参加比赛，每两个队之间进行一场
比 赛，比赛的场次数 m 与球队数n 有什么关系？ 21122mnn=-（2）假设人
民币一年定期储蓄的年利率 是x,一年到期
后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果
存款是 10（万元）,那么请你写出两年
后的本息的表 y和(万元)达式(不考息税)虑利.y =10(x+1)² = 10x²+20x+10.
5.（1)n 个


周m16c长为,它的一边长为x cm,面积为y cm2.求（1）y与x之间的函数解
析式及自变量x的取值
范围； （2）
当x=3时矩形的面积.解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 (cm2 ).
6.矩形的


堂小二次函数结定 义y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数)一般形式右边是整式；自变量的
指次项是2；二数系数a ≠0.特
殊ax式y=形2；y=ax2+bx；y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数).
课