3.5 确定圆的条件第三章 圆


木马旋转p4.m
导入新课情境引入 假如旋转木马真如短片所说，是中国发明的，你能将旋转木马破碎的圆形底座还原，以帮助考古学家画进行深入的研究吗？要确定一个圆必须满足几个条件?想一想


问题 1 构成圆的基本要素有那些?复习与思考or 两个条件:圆心半径那么我们又该如何画圆呢?


问题 2 过一点可以作几条直线？问题 3 过几点可以确定一条直线？那么过几点可以确定一个圆呢？


新课讲授问题 1 如何过一个点 A 作一个圆？过点 A 可以作多少个圆？ 合作探究····· 以不与 A 点重合的任意一点为圆心，以这个点到 A 点的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.A探索确定圆的条件


回顾线段垂直平分线的尺规作图的方法1. 分别以点 A 和 B 为圆心，以大于二分之一 AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N ； 2. 作直线 MN.NMAB


问题 2 如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？ ····AB作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可;可作无数个圆.


D
EGF●O经过 B，C 两点的圆的圆心在线段 BC 的垂直平分线上.经过 A，B，C 三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点 O 的位置.经过 A，B 两点的圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线上.
问题 3 过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？ABC


ABC问题 4 过同一直线上三点能不能作圆? 不能.


D
EGF●o归纳总结CA
不在同一直线上的三个点确定一个 圆.有且只有位置关系B


例1 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（　　）典例精析A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块B


、BC 三点的圆.AB、CO三角形的外接圆及外心
试一试：已知 △ABC，用直尺与圆规作出过 A


1. 外接圆 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作这个三角形的外接圆. 这个三角形叫作这个圆的内接三角形.●OABC概念学习三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.2. 三角形的外心：定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.作图：三角形三条边的垂直平分线的交点.性质：


判一判：下列说法是否正确(1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆( )(2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形( )(3) 经过三点一定可以确定一个圆( )(4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )√××√


分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. ABC●OABCCAB┐●O●O画一画


锐角三角形的外心位于三角形内；直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心位于三角形外.要点归纳


∵∠ADO＝∠ABO＝60°，∠DOA＝90°，∴∠DAO＝30°；典例精析
例：如图，将 △AOB 置于平面直角坐标系中，O 为原点，∠ABO＝60°，若 △AOB 的外接圆与y轴交于点 D(0，3)．(1) 求 ∠DAO 的度数；(2) 求点 A 的坐标和 △AOB 外接圆的面积．解：(1)


∵点 D 的坐标是(0，3)，∴OD＝3.在 Rt
△AOD 中，OA＝OD·tan ADO＝ ，AD＝2OD＝6，∴点∠A 的坐标是( ，0)．∵∠AOD＝90°，∴AD 是圆的直径，∴△AOB 外接圆的面积是 9π.
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33方法总结：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度．
(2) 求点 A 的坐标和 △AOB 外接圆的面积．(2)


当堂练习 1. 判断：（1）经过三点一定可以作圆 （ ）（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点 （ ）（3）三角形的外心到三边的距离相等 （ ）（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内 （ ）√×××2. 三角形的外心具有的性质是（ ）A. 到三边的距离相等. B. 到三个顶点的距离相等.C. 外心在三角形的外. D. 外心在三角形内.B


、C；2. 作线段 AB
、BC 的垂直平分线，其交点 O 即为圆心；3. 以点 O 为圆心，OC 长为半径作圆，⊙O 即为所求.
3.如图，是一块圆形镜片破碎后的部分残片， 试找出它的圆心.ABCO方法:1. 在圆弧上任取三点 A、B


格，一条圆弧经过 A中，B，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（　　）A．点 P B．点 Q C．点 R D．点 MB
4. 如图，在 5×5 正方形网


则__∠C的度数是 ______．70°
5. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，若∠OAB＝20°，


∵ O 为点△ABC 的外心，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC.∵∠OAC＋
∠OCA＋∠OCB＋BCO∠＝180°，∴∠OCA＋
∠OCB＝90°，即∠ACB＝90°.
6. 如图，在 △ABC 中，点 O 在边 AB 上，且点O 为 △ABC 的外心，求 ∠ACB 的度数．解：


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7. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 外接圆的圆心坐标是_________，半径是______．（5，2）


够完全覆盖这个正 △ABC 的
最_的半径是_______小圆．解析：如图，能
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够完全覆盖正 △这个ABC 的最圆小的半径就是 △ABC 外接圆的半径，设
⊙O 是 △ABC 的外接圆，连BOB，OC.作 OE⊥接 C 于 E，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=60°，∠BOC=2
∠A=120°.
8. 已知正 △ABC 的边长为 6，那么能


BE
OB
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故答案为 ．
∵OB = OC，OE⊥BC，∴∠BOE =60°，BE = EC =3，∴sin60°= ，∴OB= ，


意：同一直线上的三个点不能作圆三角形外接圆概念性质三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆外心外接圆的圆心叫三角形的外心
课堂小结作圆过一点可以作无数个圆过两点可以作无数个圆不在同一直线上的三个点确定一个圆注