*3.7 切线长定理第三章 圆


P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？问题2 过圆外一点
P 作圆的切线，可以作几条？请欣赏小颖同学的作法(如右下图所示)！直径所对的圆周角是直角.复习引入POO.PBAAB
导入新课问题1 通过前面的学习，我们了解到如何过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点


新课讲授P1. 切线长的定义： 经过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长．AO① 切线是直线，不能度量.② 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量．2. 切线长与切线的区别在哪里？切线长的定义


、B 是切点，沿直线 OP 对折图形，你能猜测一下 PA 与 PB，∠APO 与 ∠BPO 分别有什么关系吗？猜测 PA=PB，∠APO=
∠BPO切线长定理
合作探究BPOA问题 在透明纸上画出下图，设 PA，PB 是圆 O 的两条切线，A


∠OBP=90°.
∵OA=OB，OP=OP，∴Rt
△AOP≌Rt△BOP(HL).
=PA = PB ，∠OPA∴∠OPBBPOA
推导与验证如图，连接 OA，OB.∵PA，PB 与 ⊙O 相切，点A，B是切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB 即 ∠OAP=


☉O 于A
∠OPB几何语言: 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新 的方法.注意要点归纳BPOA拓展：这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
、BPA = PB∠OPA=
切线长定理：过圆外一点引所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.PA、PB 分别切


BPOA 1. PA、PB 是 ⊙O 的两条切线，A、B 是切点，OA=3.(1) 若 AP = 4，则 OP = ；(2) 若 ∠BPA = 60°，则 OP = .56练一练


、PB 是线☉O 的两条切 ，A、B为切点，直线
OP 交 ☉O 于点 D
、E，交）AB 于C.（1 写出图中所有的垂直关系；OA⊥PA，OB
⊥PB，AB ⊥OP.（2）写出图中与∠OAC 相等的角；BPOACED∠OAC=
=OBC∠=∠CAP∠BPC.
2. PA


BOP ， △AOC ≌△△BOC， △ACP ≌
△BCP.（4）写出图中所有的等腰三角形.△ABP 、△AOB.（3）写出图中所有的全等三角形；BPOACED
△AOP ≌


☉O 的两条切线，点 A、B 是切点，在弧
点AB 上任取一 C，过点作 C ☉O 的切线，分别交
PA 、PB 于点D、E.已知 PA = 7，∠P = 40°. 则(2) ∠DOE = ____ .典例精析
△PDE 的周长是 ；例1 如图，PA、PB 是
☉O 的两条切线，点 AB 、是切点，∴PA=PB=7.
∠PAO =∠PBO = 90°. ∠AOB=360°-∠PAO -∠PBO -∠P =140°. (1)
OPABCED解析：连接 OA、OB、OC、OD 和OE.∵PA、PB 是


☉O 的两条切线，点 C、A 是切点，∴DC=DA.同理可得CE=EB.l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.OPABCED
∠DOA= OA∠C.同理可得∠COE=
∠COB.∠DOE=
∠DOC+COE∠= （∠AOC+
1
∠COB）=70°.又∵DC、DA 是
212
∵OA=OC，OD=OD，∴△AOD≌△COD，∴∠DOC=


（3）连接圆心和圆外一点.（2）连接两切点；（1）分别连接圆心和切点；方法归纳


⊙O 与BC、 CA、AB 分别相切于点
D、E、F，且，AB=13 cm BC=14 cm，CA=9 cm，求
AF、BD、CE 的长.解:设
AF = x cm，则 AE = x cm.∴CE=CD=AC
- AE= ( 9 - x ) cm， BF=BD=AB
- AF= (13 - x) cm.想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ACBEDFO
例2 △ABC 的内切圆


x = 4.ACBEDFO
由 BD+CD=BC，可得 (13 - x) + (9 - x) =14，∴ AF = 4 cm，BD = 9 cm，CE = 5 cm.方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.解得


△ABC 中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b， AB＝c，⊙O 为
Rt切ABC 的内△圆. 求：Rt
径ABC 的内切圆的半△ r.
Rt ABC△的内切圆与三边相切于
D E、、F，连接，OD、OE、OF，则OD⊥AC OE⊥BC，OF⊥AB.B·ACEDFO
∵⊙O 与 RtABC 的三边都相切∴AD△＝AF，BE＝BF，CE＝CD解：设
例3 如图，Rt


设 AD= x ， BE= y ，CE＝ r . 则有x＋r＝b ，y＋r＝a ，x＋y＝c ，解得r＝a＋b－c2B·ACEDFO


△ABC 的直角边为 a、b，斜边为 c，则 Rt
△ABC的内切圆的半径 r＝ 或 r＝ (前面课时已证明).a＋b－c2 aba＋b＋c知识拓展
设 Rt


、PB 是 ⊙O 的两条切线，切点分别是 A
、B，如果 AP=4，∠APB= 40° ，则 ∠APO= ，PB= . BPOA第1题
当堂练习20° 41. 如图，PA


O 是△ ABC 的内心，且B∠A C= 60°， ∠ACB= 80°，则
∠BOC= . ABCO
110° 2. 如图，已知点


3. 如图，PA、PB 是 ⊙O 的切线，切点分别为 A、B，点 C 在 ⊙O 上，如果 ∠ACB＝70°，那么 ∠OPA 的度数是_____°．20


A
、B，∠P= 50°，点
C 是⊙ O 上异于 A B 的点，则∠ACB=、 . 65°或115° BPOA
4. 如图，PA、PB 是 ⊙O 的两条切线，切点为


△ABC 的内切圆 ☉O 与别切于三边分 D、E、F三点，如图，已知
AF=3，BD + CE=12，则的周长△ABC 是 .ABCFEDO30
5.


5
2
☉O 保持与△ABC的边AC、BC都相切，求☉O 的半径 r 的取值范围.·ABCEDFO1
拓展提升：6.直角三角形的两直角边分别是 3 cm ，4 cm，试问：(1) 它的外接圆半径是 cm;内切圆半径是 cm？(2) 若移动点 O 的位置，使


BC、AC 的切点分别为B 、D，连接
OB、OD，则四边形OBODC 为正方形.·ABODC∴ B＝BC＝3 cm，∴半径r的取值范围为 0＜r≤3 cm.
解：设 BC=3 cm，由题意可知与 BC、AC 相切的最大圆与


abc+-
r=
2
课堂小结切线长切线长定理作用提供了证线段和角相等的新方法辅助线①分别连接圆心和切点；②连接两切点；③连接圆心和圆外一点.三角形内切圆运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.应用重要结论 只适合于直角三角形