小结与复习第8章 整式乘法与因式分解


要点梳理一、幂的乘法运算1. 同底数幂的乘法：底数______，指数______.aman·=_______.am+n不变相加2. 幂的乘方：底数_______，指数______.不变相乘am( )n=___________.amn3. 积的乘方：积的每一个因式分别_____，再把所得 的幂_____.乘方相乘abn( )=____________.anb n


(1) 将_____________相乘作为积的系数；二、整式的乘法1. 单项式乘单项式：单项式的系数(2) 相同字母的因式，利用_________的乘法，作为 积的一个因式；同底数幂(3) 单独出现的字母，连同它的______，作为积的 一个因式.指数注：单项式乘单项式，积为________.单项式


(1) 单项式分别______多项式的每一项；2. 单项式乘多项式：(2) 将所得的积______.注：单项式乘多项式，积为多项式，项数与原多项式的项数______.乘以相加相同3. 多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的________，再把所得的积______.每一项相加实质是转化为单项式乘单项式的运算


三、整式的除法同底数幂相除，底数_______，指数_______.1. 同底数幂的除法：aman÷=_______.am-n不变相减任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于_____.1= amam÷=_____.a01


2. 单项式除以单项式：单项式相除，把_______、____________分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的______一起作为商的一个因式. 系数同底数的幂指数3. 多项式除以单项式：多项式除以单项式，就是用多项式的 除以这个 ，再把所得的商 .单项式每一项相加


四、乘法公式1. 平方差公式两数______与这两数______的积，等于这两数的________.和差平方差(a + b)(a - b) =________.a2b2-2. 完全平方公式两个数的和（或差）的平方，等于它们的_______，加上（或减去）它们的______的 2 倍.平方和积(a + b)2=____________.a2b22ab++


五、因式分解 把一个多项式化为几个______的______的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.1. 因式分解的定义整式乘积2. 因式分解的方法(1) 提公因式法(2) 公式法① 平方差公式：____________________.② 完全平方公式：____________________.a2 - b2 = (a + b)(a - b)a2±2ab + b2 = (a±b)2步骤：1. 提公因式；2. 套用公式；3. 检查分解是否彻底.


考点讲练考点一 幂的运算例1 下列计算正确的是 ( )A．(a2)3＝a5 B．2a－a＝2 C．(2a)2＝4a D．a·a3＝a4 D例2 计算：(2a)3(b3)2÷4a3b4.解析：幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除.解：原式 = 8a3b6÷4a3b4 = 2a3-3b6-4 = 2b2.


幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法. 这四种运算性质是整式乘除及因式分解的基础. 其逆向运用可以使一些计算简便，从而培养一定的计算技巧，达到学以致用的目的.归纳总结


针对训练1. 下列计算不正确的是（ ）A. 2a3÷a = 2a2 B. (-a3)2 = a6 C. a4·a3 = a7 D. a2·a4 = a82. 计算：0.252023×(-4)2023 - 8100×0.5301.D解：原式 = [0.25×(-4)]2023 - (23)100×0.5300×0.5= -1 - (2×0.5)300×0.5 = -1 - 0.5 = -1.5.


∵m = 6，9n = 2，
∴3m+2n = 3m·32n = 3m·(32)n = 3m·9n = 6×2 = 12，
∵20 = (42)10 = 1610，
∵1610 > 1510，
∴420 > 1510.32m-4n = 32m÷34n = (3m)2÷(32n)2 = (3m)2÷(9n)2 = 62÷22 = 9.解：(1) 3
3. (1) 已知 3m = 6，9n = 2，求 3m+2n，32m-4n 的值. (2) 比较大小：420 与 1510.(2) 4


22
=原式=-当 x = 1，y = 3 时，yx.
33
224
=��-3.1
333
考点二 整式的运算例3 计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y，其中x=1，y=3.解析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则.解：原式 = (x3y2 - x2y - x2y + x3y2)÷3x2y= (2x3y2 - 2x2y)÷3x2y


单项式乘单项式是整式乘除的基础，必须熟练掌握其运算法则.整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要先算括号里的.归纳总结


1
2
xx--2
2
针对训练4. 一个长方形的面积是 a2 - 2ab + a，宽为 a，则长方形的长为 .5. 已知多项式 2x3 -4x2 - 1 除以一个多项式 A，所得商为 2x，余式为 x - 1，则这个多项式是 .a - 2b + 1


6. 计算：(1) (－2xy2)2·3x2y·(－x3y4)；(2) x(x2＋3)＋x2(x－3)－3x(x2－x－1)；(3) (－2a2)·(3ab2－5ab3)＋8a3b2；(4) (2x＋5y)(3x－2y)－2x(x－3y)； (5) [x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]÷x2y.解：（1）原式＝－12x7y9. （2）原式＝－x3＋6x. （3）原式＝2a3b2＋10a3b3. （4）原式＝4x2＋17xy－10y2. （5）原式＝2xy－2.


考点三 乘法公式的运用例4 先化简再求值：[(x－y)2 + (x + y)(x－y)]÷2x，其中 x = 3，y = 1.5.解析：运用平方差公式和完全平方公式，先计算括号内的，再计算整式的除法运算.原式 = 3－1.5 = 1.5.解：原式 = (x2－2xy + y2 + x2－y2)÷2x= (2x2－2xy)÷2x= x－y.当 x = 3，y = 1.5 时，


归纳总结整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度.


7．下列计算中，正确的是 ( )A．(a＋b)2＝a2－2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－b2C．(a＋b)(－a＋b)＝b2－a2 D．(a＋b)(－a－b)＝a2－b28．已知 (x＋m)2＝x2＋nx＋36，则 n 的值为 ( )A．±6 B．±12 C．±18 D．±729．若 a＋b＝5，ab＝3，则 2a2＋2b2＝_____．针对训练C B 38


10. 计算：(1)(x＋2y)(x2－4y2)(x－2y)； (2)(a＋b－3)(a－b＋3)；(3)(3x－2y)2(3x＋2y)2.解：(1) 原式＝(x＋2y)(x－2y)(x2－4y2)(2) 原式＝[a＋(b－3)][(a－(b－3)]＝(x2－4y2)2 = x4－8x2y2＋16y4.＝a2－(b－3)2＝a2－b2＋6b－9. (3) 原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2＝(9x2－4y2)2＝81x4－72x2y2＋16y4.


11. 用简便方法计算 (1) 2002－400×199＋1992；(2) 999×1001.解：(1) 原式 ＝ (200－199)2 ＝ 1. (2) 原式 ＝ (1000＋1)(1000－1)＝ 999999. ＝ 10002－1


考点四 因式分解及其应用例5 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( ) A．a(x－y)＝ax－ay B．x2－1＝(x＋1)(x－1)C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3 D．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1B 点拨：(1)多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；(2)判断过程从左到右要保持恒等变形.


4
xC因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止.归纳总结
例6 把多项式 2x2－8 分解因式，结果正确的是 ( )A．2(x2－8) B．2(x－2)2 C．2(x＋2)(x－2) D．2x(x－ )


针对训练12. 分解因式：x2y2－2xy＋1 的结果是________.13. 已知 x－2y＝－5，xy＝－2，则 2x2y－4xy2＝______.14. 已知a－b＝3，则 a(a－2b)＋b2 的值为______.15. 已知 x2－2(m＋3)x＋9 是一个完全平方式，则 m＝________.(xy－1)2 20 9 －6 或 0


16. 如图所示，在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可验证公式 .baaaabbbbba-ba2-b2=(a+b)(a-b)


17．把下列各式因式分解：(1) 2m(a－b)－3n(b－a)；(2) 16x2－64；(3)－4a2＋24a－36.解：(1) 原式＝(a－b)(2m＋3n).(2) 原式＝16(x＋2)(x－2). (3) 原式＝－4(a－3)2.


反变形互逆运算
幂
的
反（提公形因式分解变因式、公式法）相
运
算
性
质整式的乘法整式的除法乘法公式（平方差、完全平方公式）特殊形式相
课堂小结