a=pa+形的q式，主要是利用
(a+m)=p(a+m)的形式进行转化对于
nn−1nn−1
aa
nn−1
n+1，主要采用−=m的形式进行转化运算对于
nn−1
a=pa+p
n
pp
n−1
11
−对于求和问题的形式进行转化运算.=p裂项求和形如
a-a=paaaa
nn-1nn-1 一般采用转化成nn-1
1
111
a=
a=(−)的形式，注意前面的
n
n
(2n−1)(2n+1)的形式一般采用裂项
22n−12n+1
1
此系数，是由22-n1与2n+1和只差确定.错位相减求和问题，本专题题目中有出现.分组求和问题，分为两种，一种是绝对值分组求系数问题，另外一种是两种不同数列的分组求和问题. 【常见题型限时检测】（建议用时：35分钟）1．（2020·吉林市教育学院高三期中（文））等差数列
{a中，}aaa++=，则30
n
51015
aa1-的值为（ ）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2
2216
重难点01 数列【高考考试趋势】高考中考查数列难度不大，知识点考查比较简单，也是高考中务必拿分题目，对于大部分人来说，数列这一知识点是不容失分的.本重点专题是通过对高考中常见高考题型对应知识点的研究而总结出来的一些题目，通过本专题的学习补充巩固，让你对高考中数列题目更加熟练，做高考数列题目更加得心应手.【高考常见题型分类总结】 通项公式的求法


．-B010-C．1D．20【答案】A【分析】由20
aaaaa所以，++=�=�=1030330
510151010
aadaaad已知幂函数河南郑州··高三月考（文））-=+-+=-=2.故选：A2．（20-02012216()
2216101010
1
2
m
mxmfx函数，令是非奇非偶=-+352
()()
1
a=
n
*
a的前
fnfn（++1{}S，则S）（ =A．20201+B．20201-C．
()()
n
n�N），记数列n项和为n2020
20211+D．20211-【答案】D【分析】由题意得：
2
2531mm-+=，解得
1
m=，而当
m=或2
2
1
m=时，2
fxx=为偶函数，不合题意；当
()
2
1
2
fxx=为非奇非偶函数，符合题意，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2
()
m=时，2
A．


11
ann===+-1
n
fnfn++1
()()nn则++，1
S+�+-+-=��2132020221021202-=-．故选：D．【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，1
2020
naann+-1
()()
1n
Snad②等比数列=+=的前n项和公式
n1
22
naq,1=
�
1
�
n
S=aq1-
�()
n1
,1q�
�
1-q
�；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．3．（2020·河南南阳·高三期中（文））已知：数列
a为等差数列，
{}S为其前
n
nn项和．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3
则


SS
20202019
-=，则3
a=，且2024S （= ）A．
1
202020192021
2222
12021�B．22021�C．32021．D�42021【答案】�D【分析】因为数列
SS
20202019
所以数列-=，3
a为等差数列，
{}S为其前a，=4220
nn项和，
n120202019
��S
S为首项，3为公差的等差数列，所以
n
1
��=2024
n
�是以
1
SS
20211
所以，���=024+20203=420212=30202+
20211
2
S已知等比数列=�，故选：D4．（2020·全国高三月考（文））20214
2021
a的前
{}
T，若
n
n项和的乘积记为
n
TT=，则=512
T的最大值为（ ）A．
29n
15141312
2【答案】A【分析】设等比数列
B．2．2C2D．
a的公比为
{}
q，由
n
7
TT=得：a=，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！41
296
若


5
a=，即1qa=.又1
61
2
aaaq==，所以512
121
1
9
q=，故
512
1
q=，所以
2
2
nn-11
nn-1
()
2
1
n��
2
aqaTaaaa===...
()
nn23411��
2
��,所以
15
的最大值为TTT5==.故选：A.．（2020·内蒙古呼和浩特·高三月考（文））已知数列2
n65
a是公差不为零的等差数列，且
{}
n
aaa++���+
129
=（ ）A．
aaa+=，则
a
110910
275
8B．DC．32．4【答案】A【分析】因为
aaa+=，所以
1109
298adad+=+，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5
11
故


ad=-，所以
1
9a+4d
aaaa�++��+9()2772d
1
1295
====
aada已知数列全国高三月考（文））+.故选：A6．（2020·9d88
10101
3
a=，且满足
1
a中，
{}
n
2
11l
*
Naann，若对于任意=+��2,�成立，则实数a
()
nn-1n
n*
22nN�，都有n的最小值是（ ）A．2lB．4C．8D．16【答案】A【分析】因为
11
aa=+，所以1
nn-1
nn-1
n
212aa，而=+23a=所以数列
n�时，222nn-11
n+2
n
a=.又因为
n
n
2是首项为3a公差为1的等差数列，故n
{}22an=+，从而
n
n
2
��nn+2
()
lnn+2
()
l�
��
n
�恒a成立，即l�恒成立，所以
n
n
2
��.由
max
n2
�nnnn+++213
()()()
�
�
nn+1
�
22
*
nnγ得N,2
�()
nnnn+-+211
()()()
�
�
nn-1
�
�22
n！=原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究62
即


��nn+�+2222
()()
==2
��
n2
22
��，所以
maxl�，即实数2的最小值是2故选：lA7．（2020·全国高三月考）已知
a是公差为2的等差数列，且
{}a，a，a成等比数列，则12
n
11113
a（ ）=A．1B．
等差数列-C．25D．49【答案】B【分析】3
a的公差为2，由
{}a，a，a成等比数列，则
n
11113
2
2
(a��=�+，解得+212210)a(a)
aaa=�，即
a =-所以25
111
111131
ann-�-+-==，则7222152
()a故选：120·=�-=-B8．（2甘肃省民乐县第721223
n
12
a中，若满足
{}
n
一中学高三期中（文））定义：在数列
aa
nn++21
-=（d
+
。为“等差比数列”a已知在“等差比数列”
aa{}
n
nn+1nN�，d为常数），称
a
2015
=（ ）A．
a中，
{}aaa则===13,
a
n
123
2013
22
420151�-B．120144�-原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7
所以


22
420131�-D．32014�【答案】C【分析】
，Qaa==1a=，3
123
aa
32
\-=，2
aa
21
��
a
n+1
\
��
a
�是以1为首项，2为公差的等差数列，n
a
n+1
， \=-21n
a
n
aaa
201520152014
�=-�-�=�=\(31402740252021142021)()
aaa
201320142013
22
-【点睛】.C故选：．=+-=-=�数列的12013414026)14026)(14026(
递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由
递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想
出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用
累加法、累乘法、迭代法求通项．9．已知
1
b=，数列
n
an，设=+12aa{}b的前T=______.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8
nnn+1nn项和n
C．


11111
��
b===-
n
��
an，=+21
annnna()2212332()12++++
��，所以数列{
nnn+1
b}前
nn项和为
1111111��
������
Tbbb=+++=-+-++-LL
nn12��������
235572123nn++
������
��
11n
=-=
6463(23)nn3+.故答案为：+(23)nn+.【点睛】结
论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型
��
1111
=-
��
aadaaa是公差为dd(（�的等差数列；2）0)
{}
nnnn++11��，其中n
1nkn+-
=
无理型
k
nnk；++（3）
nnn+1
aaaa）对数型-=-；（41
()
指数型
a
n+1
logloglog9=-.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！aa
aanan+1
a
n
【答案】3(23)nn+【分析】由


a中，a的前
{}aaa==41，．记S为{}S=，63
nn
153nn项和.若m_=_m______．【答案】6【分析】设
a的公比
{}，由53q4aa=可得
q=�，当2
n
m
12--
()
m
S==，即63
m没有正整数解；当
-，此时方程-882=1
q=-时，所以2
()
3
m
12-
m
S-===6321
m
m，解得
q=时，所以2
21，即-=264m=.故答案为：6.11．（2020·河南南阳·高三期中（文））已知：等比数列6
n
a的前
{}Sa=，�-则32
n
n项和n
a．______=【答案】48【分析】由题意
5
nnn--11
aaaaSS�-=�，=-=�--又2)32(32
n�时，2nnn-1
aSa=-=，23
11
a2aa
23
===2
{}a是等比数列，所以aaa32-．解得
na所以=．3
22
4
a01=�=．故答案为：48．【点睛】原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8423
5
10．等比数列


S求a时，要注意aSS=-中有a，而
项和nnnnnn-1n�，不21
错点睛：由前包括
aS=，解题时要注意，
11
否则易．（12出错．2020·云
a的前n项和为b的前n项和为
{}S，数列{}
nn
n
南高三一模（文））已知数列
1
ab=．若对
nn
*
a=，13()()RnmSma=+�，且l>恒
T，满足
成立，则实数
n"�，TnN
n1nn5
l的最小值为____________．【答案】
2
5【分析】当
an+1
n
=
333aSS=-化简得an-，利用1
n=时，解得1m=，当2n�时，由2nnn-1n-1
211
��
nn(1)+
b=-
a=，进而得
n��
n
累乘法求得
51nn+
��，利用裂项求和法得
2
212
��
T=-恒
515n+
��，因此利用对�n"，TNn
详解】解析：当
3(1)3aSam==+，解得
n=时，1111m当=．2
3S(2)=+na
�
nnan+1
n
=
�
3S(12)=-+na
na1-．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11
nn--11
n�时，由2�，得
n-1
易


nn(1)+
a=．由
n
乘法（累乘法）可得
2
2211
��
1
b==-
ab=，得
n��
nn
5(1)51nnnn++
��，于是
5
211111��
������
T+=-+-+-1LL
n������
��
52231nn+
������
��
212
��
=-恒
成立，25
n"�，TnN
2
l的最小值为5．故答案为：
2
513．（2020·大
n
a中，
{}a，=1aa（=+.1）设33
n
1nn+1
荔县大荔中学高三月考（文））在数列
a
n
b=，
n
n-1
b是等差数列；（2）求
{}
证明数列n
3
a的前
{}【答案】.S（1）
n
n项和n
211n-
n
2�+.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13
证明见解析；（2）
44
依据叠


aa
nn+1
=+，1
n
n，得nn-1
aa两=+33
将边同除以
nn+1333
aa
nn+1
，\-=即11nnbb+-=1
nn-1
33
b=所以1
1
b是
{