¿
a−a=f(n)(n∈N)，则称数列
aaa
{}满足{}为“变差数列”，求变差数列{时的通项}，利用恒等式
nn+1nnn
a=a+(a−a)+(a−a)+¿⋅¿+(a−a)=a+f(1)+f(2)+f(3)+¿⋅¿+f(n−1)(n≥2式的方法称为累加法。求通项公列)2、累乘法（叠乘法）若数
n12132nn−11
a
n+1¿
=f(n)(n∈N)，则称数列
aaa
a
{}满足{列为“变比数列”，}变比数求{}的通项时，利用
nnn
n
aaaa
234n
a=a⋅⋅⋅⋅¿⋅¿=a⋅f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅¿⋅¿f(n−1)(n≥2公求通项)式的方法称为累乘法。3、由数列的前n项和
n11
aaaa
123n−1
Sa
n与n的关系求通项公式原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1
重难点 01 数列【高考考试趋势】新高考中考查数列难度不大，但解答题中作为了必考内容，一般是解答题的前两题，会考察开放式的题型。知识点考查比较简单，也是高考中务必拿分题目，对于大部分人来说，数列这一知识点是不容失分的。本重点专题是通过对高考中常见高考题型对应知识点的研究而总结出来的一些题目，通过本专题的学习补充巩固，让你对高考中数列题目更加熟练，做高考数列题目更加得心应手。【高考常见题型分类总结】通项公式的求法1、累加法（叠加法）若数列


aa
S=f(n)，则不论数列
{}的前n项和{是}否为等差数列或等比数列，当
nn
n
S，n=1
1
S−S,n≥2
nn−1
¿
{
a=¿¿¿¿
n
S=f(n−1)，可利用公式
n≥2时，都有
n-1
¿求通项。4、构造新数列对于
a=pa+q的形式，主要是利用(a+m)=p(a+m)的形式进行转化；对于
nn−1
nn−1
aa
nn−1
n+1，主要采用
−=m的形式进行转化运算；对于
nn−1
a=pa+p
n
pp
n−1
11
−题的形式进行转化运算。对于求和问=p1、裂项求和形如
a-a=paaaa
nn-1
nn-1nn-1 一般采用转化成
1
111
a=
a=(−形的)式，注意前面的
n
n
(2n−1)(2n+1项的形)一般采用裂式22n−12n+1
1
此系数，是由22n-1与2n+1只差确定。2、错位相减求和问题，本专题题目中有出现。3、分组求和问题，分为两种，一种是绝对值分组求和问题，另外一种是两种不同数列的分组求和问题。系数【限时检测】（建议用时：50分钟）一、单选题1．（2021·全国高三其他模拟（理））等比数列
a中
{}a=，且14a，12a，成等差数列，则a原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2
n
123
若已知数列


a
n*
nN 的最小值为（ � ）A．
()
n
164
1
25B．9C．D2．1【答案】D【分析】首先设等比数列
a的公比为
{}2a，a成等差数列，列出等量关系式，求得
qq(0)，，根据1�a4q比较=，2
n
23
a
*
n
nN�相邻两项的大小，求得其最小值.【详解】在等比数列
()
n
a中，设公比
{}
qq(0)�，当
n
a成等差数列，所以
a，=时，有14a12a，
123
2
44aaa=+，即
44qq=+，解得q所以=，2
213
n-1
aa=，所以12nnnn-=，12111nnannann++=�+，当且仅当2
n
n所以当=时取等号，1
a
*
n
nN取得最小值1�，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3
()
n=时，2
n=或1n


2
a的前
{} 的值为（ a ）A．4B．6C．8D．10【答案】C【分析】利用
Snn=+，则
n
n项和4
n
aSS=-计算．【详解】由已知
443
22
SSa{·120全国高三专题练习（理））已知等比数列2=-=+-+=．（故选：C．3．(8)3()443
443
an项和为SS3=7，S6=63，则数列{
n}的前n，若
na）项和为（ nA．-3+(
n}的前
nB．3+(nC．1+(
n+1)×2n+1)×2
nD．1+(n【答案】D【分析】利用已知条件列出方程组求解即可得1
n+1)×2n-1)×2
{aq，求出数列,
a
n}的通项公式，再利用错位相减法求和即可.【详解】原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4
故选：D.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目.2．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列


aq，易知q≠1，所以由题设得
n}的公比为
3
�
aq1-
()
1
�
S==7
3
1-q
�
�
6
aq1-
�()
1
S==63
�6
1-q
�，两式相除得1+
q3=9，解得q=2，进而可得
a1=1，所以
n-1=2n-1，所以
aa1q
n=
n-1.设数列{
nan×2
n=
nan项和为T
n}的前n，则
n-1，2
Tn×2
n=1×20+2×21+3×22+…+
n，两式作差得-
Tn×2
n=1×21+2×22+3×23+…+
n
12-
n-1-n=-n1+(1=-n，故
Tn×2n×2n)×2
n=1+2+22+…+2
12--
n.故选：D.【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题.4．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列
Tn-1)×2
n=1+(
a
n
a=
n+1
a满足aa
{}a=，1{}
21a+，则数列
nnn+的前1
1
n
T）（ =原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5
n项和n
设等比数列{


nn2nn
21n-B．21n+C．21n+D．42n+【答案】B【分析】利用倒数法求出数列
a的通项公式，进而利用裂项相消法可求得
{}
T.【详解】已知数列
n
n
a
n
a=
n+1
a满足
{}a=，1
21a+，在等式
n
1
n
a
1112+a11
n
n
a===+，2所以，数列\-=，2
n+1
21a+两边同时取倒数得
aaaaa
nnnn+1nn+1
��
1
1
1
1
=，公差为1=-=-+，12121nn
��()
\=a
n
a
aa
n
�是等差数列，且首项为n21n-，
12，则
1111
��
\==-aa
nn+1��
112122122nnnn-+-+
()()��，因此，
1111111111111
����������
n
T=-=-+-+-++-11L
=
n����������
1323525722121222nnn-++
����������
21n.故选：B.【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被+消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．5．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列
a的前
{}S，a=，且满足原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！65
n
n项和为n1
A．


aa
nn+1
-=2
*
SS 的最小值为（ - ）A．
p，q�N，pq>，则
pq
2527nn--，若
．-B．2-C6
转化条件为-D．0【答案】A【分析】1
aa
nn+1
-=2
nan=--，求得满足2327
()()
n
2527nn--，由等差数列的定义及通项公式可得
a.�的项后即可得解【详解】因为0
n
aaaa
nn+1nn+1
-=2-=2
2527nn--，所以7225nn--，又
a
��
a
n
1
=-1��
27n-
�是以
27-，所以数列-为首项，公差为2的等差数列，所以1
a
n
--+-==13212nn
()
ann令，=--7232
()()
n
27n-，所以
37
所以��，n
nna�--=，解得07232
()()
n
22
aa1)，则
{a的公比为}aaq==8
n31
�，整
理可得：22520qq-+=，
，Q数列的通项公式为：qqa==>2,2,1
1
nn-1
a由于：)=�=.(2222
n
n-1nn--11
nnn++121
61！，故：-原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究1aa�-=�-=22121
()()()
nn+1
三、解答题13．（2020·海南


n-1
aaaaaa-�+-+)1(
12231nn+
3579121nn-+
=-+�+-+-�2)1(2222
n
32
��
212--
23n+
()
82
��
��n
-==-1)(
2
55
12--.【点睛】等比数列
()
基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式
并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的．（.14基础2020·天津
a为等差数列，b为等比数列，
{}{}
nn
高考真题）已知
abbbaaba=-．===-（4,5,1
()()
11543543
a和b的通项公式；（
{}{}
nn
Ⅰ）求
2*
SSSn，且0bbb+=，求6
123
Ⅰ）若数列{bq与{a
n}为等比数列，且公比n}的通项公式；（
1
ccc+++，0
d
n-1
142+
qa；（==II）,.
n
证明见解析.【分析】（I）根据
23
c的通项公式，利用累加法求得数列.的通项公式a（II）利用累乘法求得数列
{}{}
q，进而求得数列
bbb+=，求得6
nn
123
c的
{}
n
表达式，结合裂项求和法证得不等式成.立【详解】（I）
1
q=，所以
2
2
qqbbb，而===,,1
bbb+=，即616，由于=+qqq>，所以解得0
依题意1232
123
1
b=.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20
n
n-1
2
所以，数列


1
n-1
2
ccc==��，所以数列4
nnn+1
11
b=，故
n+2
n+1n+1
c是首项为
{}
n
22
1，公比为4的等比数列，所以
n-1
c所以=.4
n
n-1
caa所以.-（*2,nnN��）==4
nnn+1
n-1
42+
n-2
aa，==+++���+441
n1
a=符合1
又，故
3n=，11
n-1
42+
a.（II）=
n
3
cb
nn+1
=，所以
dddnbn，由于-=+-=+111
依题意设()cb
n
nn+2
cb
nn-1
=
*
nnN��，故2,
()
cb
nn-+11
ccccbbbbb
nn-312nnn---21312
cc=�����L�=����Lc
n11
ccccbbbbb
nn--2121nnn-+3411
����
bb111111+d
��
12
=+-==-�12n
()
������
bbdbbdbb
��
nnnnnn+++111
����.又
��
11111dddd++
��
1=1+-�=�=
��
��
c=，而1bdddbdbb11�+
()
��
1，故��1212
��
111
��
cn-�=+11
()
��
n��
dbb
��
12��原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！nn+1
所以


��
������
1111111
��
ccc-+++=+-+-++LL1
��
12n��������
dbbbbbb
��
��22311����nn+
��
11��
��
=+-11
����
db
��
，所以=��.由于10,1db>n+1
��
111
��
111+-，所以0
��
.即��n+1
n+1
1
ccc�+++，0
n
n项和为nn
资阳市·高三一模（理））已知数列
2
b为等比数列，且
423Saa=+-；数列{}
b）求=，516b=．（12
n
nnn2
a，b；（2）求数列
nn
��
a
n
��
b
T．【答案】（1）
�的前nn项和
n
25n+
n-1T.=-【分析】（1）由10
n
n-1
an．=+12b）=；（22
nn
2
aaaa--+=，结20
()()，利用等比数列的通项公式求a原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22
nnnn--11
n
递推式可得合已知条件即可求
所以


b，
q，写出通项公式即可.（2）由（1）结
1
��a
n
��
合错位相减法求
b
T．【详解】（1）
�的前nn项和
n
2222
234Saa得=+-423Saa，所以+=-422aaaaa=-+-，整
n�时，由2nnnnnn---111nnnnn--11
aaaa--+=，20ana又-=�，22
()()a>，所以0()
nnnn--11nn-1
n
理得又
22
a=-（1
234Saa=+-，即有aa或=--=，得13a230
111111
舍去），所以
a是以13a=为首项，公差为2的等差数列，则有
{}an．=+设等比数列21
n
n
4n-1
b公比为
{}bq=，解得61b=，1b）知=．（2）由（12
，，则12bq=qq=，�