重难点 02 三角函数与解三角形 【高考考试趋势】 新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个热点参与到高考试题中，其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出，三角试题每年都考。1、题目分布："一大一小",或"三小"，或"二小"("小"指选择题或填空题，"大"指解答题)，解答题以简单题或中档题为主，选择题或填空题比较灵活，有简单题，有中档题，也有对学生能力和素养要求较高的题。2、考察的知识内容：（1）三角函数的概念；（2）同角三角函数基本关系式与诱导公式及其综合应用；（3）三角函数的图像和性质及综合应用；（4）三角恒等变换及其 综合应用；（5）利用正、余弦定理求解三角形；（6）与三角形面积有关的问题；（7）判断三角形的形状；（8）正余弦定理的应用。3、新题型的考察：（1）以数学文化和实际为背景的题型；（2）多选题的题型；（3）多条件的解答题题型。4、与其它知识交汇的考察：（1）与函数、导数的结合；（2）与平面向量的结合；（3）与不等式的结合；（4）与几何的结合。【知识点分析及满分技巧】1、夯实基础，全面系统复习，深刻理解知识本质从三角函数的定义出发，利用同角三角函数关系式、诱导公式进行简单的三角函数化简、求值，结合三角函数的图像，准确掌握三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性等性质，并能正确地描述三角函数图像的变换规律。要重视对三角函数图像和性质的深入研究，三角函数 ，是高考考查知识的重要载体，是三角函数的基础。“五点法”画正弦函数图像是求解三角函数中的参数及正确理解图像变换的关键，因此复习时应精选典型例题(选择题、填空题、解答题)加以训练和巩固，把解决问题的方法技巧进行归纳、 整理，达到举一反三、触类旁通。原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1


回归课本，掌握正余弦定理与三角形中的边出从正余弦定理的公式角关系及应用发，结合三角形的面积公式，精选
课题中的例、习本进行解答推广加并以应用，灵活求解三角形中的
边中角题以及三角问形边角互化，得公面积出式的不同表达式，判断三角形的形状等间
题，同时注意三角形中隐含条件的挖掘利用.4、
注意在三角函数和解三角形中渗透思想方法的应用复习三角函数是特
殊的函数，其思想多方法多种样，复习时要重视想思法的方渗透数。形结合在想思三有函数中角
广泛着，的应用如数角函三在闭区间上可最值问题的以利用三角函数的图像和性质，三角函数的零
点问题、对称中心、对称轴的及三角函数以平移变换、伸缩变换等都渗透数形结合思想。在三角函把求值中，数
所为求的量作未通数，其知的量余过三角函数转化为未知数的表达式，列方出程，就把能问题转化为
含有未知数的方程问题加以解决。【
限时检测】（建议分时：用60钟）一、单选题1．
pp7
����
coscosaa-+=-
����
（2020·四川成都高三其·市他模拟（理））已知满足
pa且�(),04418
����，则
cos2a （ = ）A．
7777
-B．-D．
1818C．99【答
案】C【分析】原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2
2、切实掌握两角差的余弦公式的推导及其相应公式的变换规律以两角差的余弦公式为基础，掌握两角和与两角差的正余弦公式、正切公式、二倍角公式，特别是用一种三角函数表示二倍角的余弦，掌握公式的正用、逆用、变形应用，迅速正确应用这些公式进行化简、求值与证明，即以两角差的余弦公式为基础.推出三角恒等变换的相应公式，掌握公式的来龙去脉。3、


和与差的余弦公式以及二倍角公式化简即可求出.【
详解】
pppppp
��������
Qncoscoscossinsincoscososinsiscaaaaaa-+=+-
��������
444444
��������
1117
22
+-=-==-，=cossnncosisoscnisosi2caaaaaaa
()()
()
22218
7
-.\=故cos2a
9
选：C.2．
22pp
n3cossiaa，-=sin()cos()aa（ ++=+ ）A．
高三一2020·四川宜宾市·（模（理））已知则
536
422
-B．-C．
550D．5【答
案】B【分析】利用两角和的正弦和余弦公式化简
后可得所求的值．【
详解】因为
p1
��
2
sina-=
sin3cosaa-=，
��
所以
35
��，而
5
21331pp
sin()cos()sincoscossinaaaaaa+++=-++-原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3
362222
由


2
=，-=-故c3nsisoaa
5
选：B．3．
1
（2020·全国高三其他模拟（文））将函数象上各点横坐标变为原来的纵坐标不变，
fxx=的图sin
()
2，
p个单
gx的图 x的解析式为（ g ）A．
()()
再将所得图象向左平移位，得到函数象，则函数
3
1p12p
����
xxg()=+nsigxx()=+nis
����
2323
��B．��C．
p2p
����
gxx=+2insxgx+=2nis
()()
��
��
33
��D．��【答
案】D【分析】先根据
gx的函数解析式.【
()
周期变换求解出第一步变换后的函数解析式，然后根据平移变换得到
详解】将
1
象上各点横坐标变为原来的得
fxx=图sin
()xy，再=sn2i
2，
��pp2
����
p个单
gxxx=+=+2nis2nis
()
����
��
向左平移位后得：
33
����
��．故
3
选：D．4．
高三一2020·河南开封市·（模（理））中国传统扇文化有着极其深厚的按如底蕴.下方法如剪裁(图4原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！


OAB，OAB的面积与
R的
扇面形状较为美观.从半径为圆面中剪下扇形使扇形圆面中剩余部分的面积比值为
51-，
再从扇形剪下扇环形作扇面，使扇环形扇形
OAB中OAB的面积比值为
2ABDC制ABDC的面积与
51-.若
为一个按上述方法制作的扇面装饰品如(装裱边框图2)，则需要边框的长度 为（ ） A．
2
51+51-
(35)(．B-+π1)R(35)(C．++π1)R
22
51)(D-．πR(51)+【答πR
案】A【分析】设扇
51-
rR=，
形圆心角为长为意利用扇形的面积公式即可求出再利用
OAB的a，OC的a及2
r，依题
弧长公式计算可得；【
详解】原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5
1)，


OAB的a，OC的
r，由
设扇形圆心角为长为
1
2
aR
51-
2
=
题意可知得
1
2
2
2pa-，解R
()
ap=-
()35
2
11
22
aaRr-
51-
22
=，解
得
51-
1
2
2
aRrR=，
22
�ABR�
ACBDRr==-，，=aCDr=故边框a
的长度
��
5151--
��
RRRRrRrACDBABCD+=-+-+-++-=++�5312532ppaa
()
��()()
��
22
��
��
51+
-+=135pR
��
()
��
2
��故
选：A5．
V中，ABCCB的中点，N是
M是BM的中点.若
高三一2020·河南开封市·（模（理））在边线段
p
uuuuruuur取
�=，A
6，3V的面积为CBA则AMAN�最小值时，BC（ ）=A．2B．4C．8312-D．
163
-【答4
3
案】A原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6
解：


uuuuruuur的最小值，以及
ABAC�，AMAN�
题中条件，先得到再由向量数量积的运算，结合基本不等式，得到
uuur的值，最
AC
取得与最小值时BuuuAr后根据余弦定理，即可求出结果.【
详解】因为
p
�=，A
在V中，ABC所，V的面积为3BAC
6
1p
3sin，=�ACAB
以则BAAC又�=，34
26
BC的中点，N是
M是BM的中点，所
边线段
uuuruuuruuur，
1
AMABAC=+
()
以
2
uuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuuruuur，则
111131
��
CNABAMABABACABAA=+=++=+
()
��
222244
��
uuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
22
131311��
CMANABACABACABABACAA�=+�+=+�+
()
��
244828
��
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，当且仅当3ABAC=uuuruuur，即
22
311333p
==+�++=CACACABABABACABACABA6soc
8268442
uuuv
�
AB=2
�
�uuuv时，等
号成立，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7
AC=23
�
�
【分析】根据


由V中，CAB
以在
3
222
BACABACABAC-�=+-���=，=+则43222214soc2
余弦定理可得：
2
BC=.故2
选：A.【点
睛】关键点点
睛：求解本题的关键
uuuuruuur取得
AMAN�
在于根据平面向量数量积以及平面向量基本定理，确定最小值的条件，根据
三角形面积公式，以及余弦定理，求解即可.6．
fxAx()2os(c)=+j)0,0(A图>��pj
（2020·江西高三其他模拟（理））如图是函数象的一部分，对不同的
fxfx=，有
()()xxf(，+=)3
abxx,],[�，
1212
12
若则（ ）A．
pp5pp5
����
-,-,
����
是增函数B．是减函数原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8
fx在区间() 1212在区间fx() 1212
��上��上
所


pp2pp2
����
,,
����
是增函数D．是减函数【答
fx在区间() fx在区间()
6363
��上��上
案】B【分析】（1）
ab+xx+π
12
=，从j，即=
fxx+=解3
()
ab+=-，j
12
根据题意可，得2A=且22而可得再由得6
p
��
fxx(os2)2c=+
��
再利用余弦函数的性质即可求解.【
6
��，
详解】解析：
A>��图0,0pj
()
fxAx()2os(c)=+j
由函数象的一部分，可
ab+xx+
12
x==对称，∴
得2A=，函数的图象关于直线
22
abxx+=+.由
12
pp
2a+=-，j2b∴+=，j
五点法作图可得
22
ab+=-.再根据j
3
cosj=，∴
xxfabf-=+=+=-=+，可3)(os)2cc2)2(so(jjj
()得
12
2
p
π��
fxxcos2()2=+
j，=
��
6
��.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9
6
C．


pp5
��
p
-,
2(0,)x故+�，p
��
，
1212
��上6
pp5
��
-,
��
fx在
()是减函数，故
1212
��上
选：B.7．
13
2
yxx+=在osc2nis
（2020·全国福建省漳州市教师进修学校高三二模（文））若曲线
42
，Axy(,)x两点yB(,)xx 的最小值为（ - ）A．
112212
处的切线互相垂直，则
pB．pC．
2pD．
323p【答
案】B【分析】化简可
13p
��
yx=++2sin
��
得得切线斜率在内，即可得出切线斜率必须是一个1，一个是-1，即可求出.【
[1,1]-范围
234
��，求出导