重难点 06 函数与导数 【高考考试趋势】在新高考全国卷的考点中，导数板块常常作为压轴题的形式出现，这块部分的试题难度呈现非减的态势，因此若想高考中数学拿高分的同学，都必须拿下导数这块的内容 。函数单调性的讨论、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不 等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的。对于导数内容，其关键在于把握好导数，其关键在于把握好导数的几何意义即切线的斜率，这一基本概念和关系，在此基础上，引申出函数的单调性与导函数的关系，以及函数极值的概念求解和极值与最值的关系以及最值的求解。本专题选取了有代表性的选择，填空题与解答题，通过本专题的学习熟悉常规导数题目的思路解析与解题套路，从而在以后的导数题目中能够快速得到导数问题的得分技巧。【知识点分析及满分技巧】对于导数的各类题型都是万变不离其宗，要掌握住导数的集中核心题型，即函数的极值问题，函数的单调性的判定。因为函数零点问题可转化为极值点问题，函数恒成立与存在性问题可以转化为函数的最值问题，函数不等式证明一般转化为函数单调性和最值求解，而函数的极值和最值是由函数的单调性来确定的。所以函数导数部分的重点核心就是函数的单调性。对于函数零点问题贴别是分段函数零点问题是常考题型，数形结合是最快捷的方法，在此方法中应学会用导数的大小去判断原函数的单调区间，进而去求出对应的极值点与最值。恒成立与存在性问题也是伴随着导数经典题型，对于选择题来说，恒成立选择小题可以采用排除法与特殊值法相结合的验证方法能够比较快捷准确得到答案，对于填空以及大题则采用对函数进行求导，从而判定出函数的最值。函数的极值类问题是解答题中的一个重难点，对于非常规函数，超出一般解方程的范畴类题目则采用特殊值验证法，特殊值一般情况下是0,1等特殊数字进行验证求解。对于比较复杂的导数题目，一般需要二次求导，但是要注意导数大小与原函数之间的关系，搞清楚导数与原函数的关系是解决此类题目的关键所在。含参不等式证明问题也是一种重难点题型，对于此类题型应采取的方法是：原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1


→寻找两变量的等量关系；2、转化为构造新函数；二、含参不等式常见解题思路：1、参数分离
通过2、；运算化简消参（化简或不等关系）将；3、参数看成未知数，通过它的单调关系来进行
消参。【
限时检测】（建议用时分：90钟）一、单选题1．
高2021·湖南株洲市·（三一模）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于在区块许多领域.链技术中，若
2种可能2次
密码的长度设2定为56比特，则密码一共有256；因此，为了破解密码，最坏情况需要进行256
11
2.510�次
运算.现在有一台机器，每秒能进行运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下这台机器破译密码
0g20.301l�）A．
所需时间大约为（ ）（参考数据：
8365177
4.510�秒B．04.15�秒C．4.510�秒D．2.810�秒根据B【分析】【答案】
11256
x��=，2.5102x.【
题目意思得到根据对数运算求出
详解】解：
x秒
设这台机器破译所需时间大约为，则
11256
x��=，2.5102
两边同时取底01数为的对数原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2
一、双变量常见解题思路：1、双变量化为单变量


11256
lg(x，�所以2gl)2015.=�
11
lglglgx+5.0226lg215+，所以=
lgx+所以llgg25=-+11l256g2
lgx，=所以0.3010588l2g21225��-=-6512658.
65.658650.658
x=�，=而101010
9
3g4.5lg2lg3lg20.65l==-�，所以
2
0.65365
004.5,4.511.�\��故x
选：B.【点
睛】对数
运算的一般思路:（1）
拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数
运算性质化简合并；（2）合：
将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积
、商、幂的运算.2．
-0.3
1
��
13
a=
b=， logc=，则lg
��
天津2019·（高三其他模拟）设2
．abc的大小关系为（ ）A,,
3
�� ，
32
acbB=，
33\>，a1
Q
1
， Qb=，则1a的取值范围是
实数
故，-�-�+�,13,
()()
选：A．4．
（2020·河南开封市·高三一模（理））某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A．
xx-xx-
exefx．B=-socexefx．C=-soc
()()()()
xx-
xx-
fxeex()D=+．socexefx根据【分析】=+【答案】Ansi
()()()
函数图象，由函数基本性质，逐项判断，即可得出结果.【
详解】原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5
【答案】A【分析】应用零点存在定


xx-
exefx则，=-soc
()
()
项，
--xxxx
xxfxeefxee-=-，-=--=所以-socsoc
()()()()()
xx-
exfxe=-是定义在cos
()
()
R上的奇函数，其图象关于原点对称，满足题中图象；又当
3
p
p；可得0
()
500cos0x>，解得22由
p3
0
项，当，足题意；除排B；C选
xx-xx-
exfxe=+得cosexefx不过原点，不满+=soc
()()f0==，即oc220s()()
()
项，由足题意
；排除C；D选
3
55-
pp，所以4,0
�
fx()=
�
（2019·天津高三其他模拟）已知函数递增
1log1,0+-�xx
�a
�（
a>且0a�）在R上单调1
|()|3fxx=+恰
x的方程 的取值范围是（ a ）A．
，且关于有两个不相等的实数解，则
13131313
33313
[,]{}UB．},){[UC．
(,)(0,){}�【答案】A【分析】由题意可知
44164416416D．416
fx在)(x在f)((0,)+�上大于f，作出0()|()|和fxyx的=+3
两段上均为增函数，且或等于
4a与3的大小关系，以及
图象，根据交点个数判断直线和抛物线相切的条件，列出不等式组解出．【
详解】解：
是Qfx)(
R上的单调
递增函数，
在，�-(\=+-xy1|1|gol0]上单调
a
递增，可得
01且+-
()()()()
1212122
��恒成立，则
实数 的最大值是（ k ）A．
首先-B．0C．1D．2【答案】B【分析】1
x
k
1
t=(
代入1221ln1x函数，变形为xxx>-k，再通过换元设利用参变分离转化为
lnt>
x
2t，则>)1t-，1
tgtt()-(=(nl1)tg的最小值.【
()
ttk)1
设
详解】设
xx>，因为
12
222
fxfxxxkxxx-->+
��()()
()()
1212122
��，变形为
xkx
12
ln>
lnlnxxxxxxxxxk-+->+，即
()()()()xxx-，等
121212212
212
价x1221ln1于kxxx>-，因为
x
1k
t=(
lnt>
令
xx，>>0x
ktt！1)1t-，即1
7．


tgtt=-(1ln
()()ktg当)1min
1
�
ttgln10)(=+->恒成立，
gt在
()1,+�上单调
()gtg1)0()(>=.所以
t>时1t故递增，
k�，0
k的最大值为0.故
B.【点
选：
睛】关键点点
xkx
12
ln>
睛：本题的关键是将条件变形为并进一步，1221ln1xk变形为xxx>-再通过换元，．.8参变分离后转化为求函数的最值
xxx-，
212
fx是定义()
江西2020·（高三其他模拟（文））已知函数域为R的奇函数，且当x时0a的范围
的性质，由奇函数得的性质，然后可确定出．【
详解】
axfxfxF))(0)(1)(()(==--，fx()1=或fxa()=，
x�x
efxx)11(=+，fx递增()
x时0e
11
����
a�---,1,111U．故
����
上有
ee
����
选：C．【点
睛】关键点点
fx)1(=或afx()=，然
睛：本题考查函数的奇偶性与函数的零点，考查导数的应用．首先方程化为
fx的性()xf的性)(fx()1=无解，
x廛0
后用导数研究质，同理由奇函数性质得出质，从而得出
fxa()=有
a范围
两解时．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12
得


多选题9．
fx的导函数，
()
扬州2020·（大学附属中学东部分校高三月考）�()设fx为函数已知
1
f(1)=，则下
2
�
fxxfxxx(nl)()+=，
2列结论不正 确的是（ ）A．
xfx在xfx在
()()
(1,)+�单调
(0,)+�单调
递增B．递增C．
11
xfx在xfx在
()()
(0,)+�上有极大值(0,)+�上有极小值
2D．【答案】2AC【分析】首先根据
lnx
�
gx()=
xfxgx()，得到=()gx的单调性和极值即可得到答案.【
()
题意设x，再求出
详解】由
lnx
�
fxfxx()()+=即
2
�
fxxfxxx(nl)()+=得
x>，则0
x
lnx
�
[()]xfx=
gxxfx=
()()
设
x，
lnx
�
xgx)01(=>�>，
�
xgx)001(0在fx0,+上单调�
()()()
当时递增，不满
a�，则0aex->，此0
x
fx的单调性，得出最小值，()
a>，讨论出0
足条件，当根据条件可得出答案.【
详解】由
x
1xea-
x
�
xfxexxa+�+==+-，1(1)1
()()()
xxaxfx=+-，得)nl(e
()
且
xxx由> 0
x
x>，则0exx>>+001，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17
则


x
fx�，>0在fx0,+上单调�
()()()
a�，则0aex->，此0
时递增，至多有一个零点，不满足题意.若
xx
hxxea=-，则xehx�，所以=+>10在hx0,+上单调�
()()()()()
a>，0
设递增由
x
0
x
h00=，所以
()xea=则
x，即
xea=有0
0
唯一实数根，设为
x�
fx，则0在fxx，单调+�
xx>时()()()
0
0xea>，
，递增，所以
x
0
xxfxfxxea由==-+nl
xx=时()()()
0000
0
min
当，
x
x0x
00
lnlnxea=，即
xea=可得()lnlnlnxea+=，即lnlnxxa+=所以
0
0000
aafxfxa，-==nla又当> 0
()()()
0
min
fx�+�，当
()
x�时0
，
fx()�+�所以函数
x�+�，
指数函数增加的速度比对数函数增加的速度快得多，可得
x
faaaxfx()==-，则0在gx()()
，有递增.当
�
x+时��(,1)gx，则，0xg时
当，当，
ae> 故
aaa时0
min
，分析出函数先递减再递增，记
4
��
4
gxka>+max,
()
��ka>+不恒成立判断
0
利用④错误，同理得知当，命题④也不成立，从而得出
a
�，
aa==02
����
域为
xx�且0
gx的定义{xa�，22a
()}
����，
a�，则函数0
aaa232aa
������
g>-=+++0gg-�-
������
显然
2223aa22
��，����.综
yfxfxa=+-都不是
()()
aR�，函数
上所述，对任意的奇函数；原创精品资源学科网独家享��