4.6 反证法


在中国古代有一个叫“路边苦李”的故事：王戎7岁时，与小伙伴一起外出游玩，看到路边的李树上结满了果子。小伙伴们纷纷去摘果子，只有王戎站着不动。有人问为什么，王戎回答“树在道边而多子，此必苦李。”小伙伴摘取李子尝一下，果然是苦李。王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了怎样的推理方法？ 他运用了怎样的推理方法？


一则两位同学的对话小张：小李，传达室里有你一封信。小李：你老骗人，我不信。小张：··· ····骗你不是人。


定义: 在证明一个命题时,有时先假设命题的结论不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾, 从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。


例 求证：在同一平面内,如果一条直线 和两条平行直线中的一条相交,那么 和另一条也相交。


反证法的一般步骤:先假设命题不成立从假设出发矛 盾假设是错误的即所求证的命题正确


c
a
1
∠求证：a与b不平行
b
2∴a与b不平行
∥．　　　∴∠1=2
∠（两直线平行，同位角相等）　　　这与已知的∠1≠2
∠矛盾　　　∴假设不成立练一练已知：如图，直线a，b被直线c所截， ∠1 ≠ 2
证明：假设结论不成立，即ab


A
B即证明：假设结论不成立，C：∠A___ 60°, B ___
∠60°,C ___ ∠60°,则∠A+B+C
∠∠＜180 °.这与____________________________相矛盾.所以______不成立，所求证的结论成立.＜＜＜三角形三个内角的和等于180 °假设
课内练习：P 87 第1题


⊥2. d是正数3. a≥04. ab
∥a不垂直于bd不是正数，即d ≤0a＜0 a 、b不平行
你能说出下列结论的反面吗?1.ab


5．“a＜b”的反面应是（ ）　A．a≠b　　B．a＞b C．a＝b　D．a＝b或a＞b6．用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，　 应假设__________________________________．D三角形中有两个或三个角是直角


证明真命题 的方法直接证法间接证法 反证法归纳、小结：


小结求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条　　　直线平行，那么这两条直线也互相平行．你会选择哪一种方法证明？


德国数学家希尔伯特说： 禁止数学家使用反证法，就象禁止拳击手使用拳头． 同学们，学了这节课，你有何体会？ 反思与收获 　 你能谈谈举反例与反证法的联系和区别吗？


应用反证法证明的命题:  （1）以否定性判断作为结论的命题； （2）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式 陈述的命题； （3）关于“唯一性”结论的命题；


常用的互为否定的表述方式：•是——不是；存在——不存在•平行——不平行；垂直——不垂直•等于——不等于；都是——不都是•大于——不大于；小于——不小于•至少有一个——一个也没有•至少有三个——至多有两个•至少有n个——至多有(n-1)个


B
C
A
角直角∠B+C= 180°
∠钝
②_当∠B是___ _时，则________________， 这与____________________________矛盾； 综
角∠B+C
∠＞180°三角形的三个内角和等于180°三角形的三个内角和等于180°
上所述，假设不成立.
∴∠B一定是锐角.直角钝
1．已知：如图，△ABC中，若∠C是直角，　 求证：∠B一定是锐角.延伸拓展证明：假设结论不成立，则∠B是_____或______． ① 当∠B是_____时，则_______________， 这与____________________________矛盾；


来当警察
站我
驿
乐
快
里有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供：Ａ
说：这里有１个人说谎．Ｂ
说：这里有２个人说谎．Ｃ
说：这里有３个人说谎．Ｄ
说：这里有４个人说谎．Ｅ
：这里有说５说个人谎．　　
聪，明的同学假如你是们察警，你觉得谁说了真话？
警察局


谢谢！