第1章 二次函数1.1 二次函数


学习目标一结合具体情境，通过用解析法表示简单实际问题中变量之间的二次函数关系，体会二次函数的意义.经历二次函数概念的形成过程，体会二次函数也是一种数学模型.分清二次项系数、一次项系数和常数项，掌握二次函数的一般形式.


情境导入二一个长方形温室的占地面积为 y (m2)，周长为120 m，一边长为 x (m).你能得出 y 关于 x 的函数关系吗？长：宽：面积：y=60-x60x-x2xy______(是/不是) x 的函数.是


合作探究三用适当的函数表达式表示下列问题中两个变量y与x之间的关系.(1)圆的面积 y (cm2)与圆的半径 x (cm).(2)王师傅存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后将本息转存为又一个一年定期.设年利率均为x，两年后王师傅共得本息y元.y=πx2y=2(1+x)2，化简为 y=2x2+4x+2.


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3x通道化简为y= -x2+58x-112观察上面三个问题中的函数表达式：y=πx2，y= 2x2+4x+2，y= -x2+58x-112.它们具有什么共同特征？
(3)一个温室连同外围通道的矩形平面图如图所示.这个矩形的周长为120m，设一条边长为x (m)，种植用地面积为y (m2).y= (x-1-1) (60-x-1-3)种植用地11


y=πx2，y= 2x2+4x+2，y=- x2+58x-112.上述三个函数表达式均可化简为y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式.概念我们把形如y=ax2+bx+c(其中a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数.称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.


表达式二次项系数一次项系数常数项y=πx2y=2x2+4x+2y=-x2+58x-112π00242-158-1121.分别指出下列函数的二次项系数、一次项系数和常数项.概念巩固


2.下列函数中哪些是二次函数？(1) y=x2. (2) y=-. (3) y=2x2-x-1.(4) y=x(1-x). (5) y=(x-1)2- (x+1) (x-1). 解：(1) (3) (4) 是二次函数.(2) (5)不是二次函数.


y= (m+3)xm2-7 . (1)m取什么值时，此函数是正比例函数？(2)m取什么值时，此函数是反比例函数？(3)m取什么值时，此函数是二次函数？ (1) 由正比例函数的定义，得 解得m =±2. 解：
3.已知函数


y= (m+3)xm2-7 . (1)m取什么值时，此函数是正比例函数？(2)m取什么值时，此函数是反比例函数？(3)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2) 由反比例函数的定义，得 解得m =±. 解：
3.已知函数


y= (m+3)xm2-7 . (1)m取什么值时，此函数是正比例函数？(2)m取什么值时，此函数是反比例函数？(3)m取什么值时，此函数是二次函数？ (3)由二次函数的定义，得 解得m =3. 解：
3.已知函数


例题讲解四例1 如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）.设AE=BF=CG=DH= x (cm).四边形EFGH的面积为y(cm2).(1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.(2)当x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时，求对应的四边形EFGH的面积，并列表表示.ABCDEFGH


ABCDEFGH解：(1) 由题意，0＜x＜2，y=22-4××x(2-x)=2x2-4x+4.即所求函数表达式为y=2x2-4x+4.x的取值范围为0＜x＜2.(2)当x=0.25cm时，y=2×0.252-4×0.25+4=3.125 (cm2).依次计算可得， 


当x=0.5cm时，y=2.5 (cm2)；当x=1cm时，y=2(cm2)；当x=1.5cm时，y=2.5 (cm2)；当x=1.75cm时，y=3.125(cm2).列表如下：x (cm)0.250.511.51.75y(cm2)3.1252.522.53.125ABCDEFGH


x=2，y=-5分别代入函数式y=x2+bx+c，得方程组解这个方程组，得所以所求二次函数的表达式是y= x2-12x+15. 
例2 已知二次函数 y=x2+bx+c，当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5. 求这个二次函数的表达式.解：把(1) x=1，y=4；


归纳总结五y=ax2+bx+c中，系数a≠0，但是b，c都可以为0.二次函数的几种不同表示形式:（1）y=ax2（a≠0，b=0，c=0）.（2） y=ax2+c（a≠0，b=0，c≠0）.（3） y=ax2+bx（a≠0，b≠0，c=0）.（4）一般形式：y=ax2+bx+c （a≠0，b≠0，c≠0）.二次函数的表示形式


二次函数y=ax2+bx+c的自变量x可以取值的范围是全体实数，但在具体问题中，还要结合实际背景确定自变量的取值范围. 自变量的取值范围


　　) A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c C.s=2t2-2t+1 D.y=x2+ 解析：A、y=3x-1是一次函数，故A错误; B、y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数，故B错误; C、s=2t2-2t+1是二次函数，故C正确; D、y=x2+右边不是整式，故D错误. C
随堂练习六1.下列函数关系式中，一定为二次函数的是 (


2.若函数y=(m+1)xm2−3m−2是二次函数，则m=______.解析：因为函数y=(m+1)xm2−3m−2是二次函数，所以 m2-3m-2=2且m+1≠0,所以 m=4.3.二次函数y=-3x2-2x+1中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为__________.解析：-3+(-2)+1=-4.4-4


4. 如图，从半径为15的圆形铁片上，挖去一个半径为x的圆.写出剩余部分的面积y与x之间的函数表达式，并指出自变量x可以取值的范围.解：原圆形铁片的面积为S=π×152=225π，挖去部分的面积为πx2.则剩余部分的面积y与x之间的函数表达式为y=225π-πx2=-πx2+225π.因为小圆在大圆的内部，所以自变量x可以取值的范围是0＜x＜15.