12.2证明12.2证明


180°三角形3个内角的和是 .探索发现你知道如何证明吗？


ABC通过以上操作，你得到了什么结论?三角形三个内角的和等于180°.结论：我们在前面学习的时候是如何发现的？探索发现


•证明与图形有关的命题，•一般步骤是：•①根据题意，画出图形•②根据命题的条件、结论，结合图形写出已知求证；已知部分是条件，求证部分是结论。•③写出证明过程。如何证明三角形内角和等于180°？试一试！探索发现


∠∠
∴∠A+B+ACB=180°两∠(两直线平行,内错角相等)(∠直线平行,同位角相等)（平角的定义）（等量代换).探索发现
证明:如图,作BC的延长线CD, 过点C作CE∥AB. 则∠1= ∠A ∠2= ∠B ABC12DE已知:△ABC求证:∠A+∠B+∠C=180°∵∠1+2+ACB=180°


三角形内角和定理 ： 三角形三个内角的和等于180°。ABC你还有什么不同的方法证明这个定理?D1探索发现


ABCED 你还有什么不同的方法?ABCPHQEBCDA123312123探索发现


关于辅助线1.辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成虚线）2.它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用.3.添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法有一定的规律，要根据需要而定,平时做题时要注意总结.


∠＋ ∠3，
∠γ ＝ ∠2 ＋ ∠3探索发现
如图，∠α是△ABC的一个外角，∠α与△ABC的内角有怎样的大小关系？由三角形内角和定理，可以知道： ∠ 1+ ∠ 2+∠3=180°又∵ ∠ α + ∠ 3=180° ∴ ∠α=∠1+∠2三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；由一个定理直接推出的正确结论，叫做这个定理的推论 αCBAγβ123同样道理：∠ β= 1


∠∠∠CAOBD证明：在△ AOB中，
∠A ＋ ∠B ＋∠AOB=180° （三角形内角和定理）
∴∠A ＋ ∠B ＝180°- AOB( ∠等式的性质)在△ COD中，同理可得∠C＋∠D=180°-COD
∠∵∠AOB=COD(
∠对顶角相等）
C∠A ＋ ∠B = ∴∠＋∠D（等量代换）
例：已知：如图，AC、BD相交于点O， 求证：∠A+B=C+D


⌒123课堂练习
∵∠1+ α∠=180° 2+∠∠β=180°
∠3+ ∠γ= 180 (平角的定义)
∠1+ ∴ ∠α++2∠∠β+ 3∠+ ∠γ=540°
1 ∠α+ ∠β+ ∠γ =540°- (∴∠+2+ 3) ∠ ∠ = 540°- 180° = 360°γβCBAα
1 . 如图，∠α、∠β、∠γ是△ABC的3个外角；猜想△ABC的3个外角的和是多少？证明你的猜想。解： ∠α+ ∠β+ ∠γ=360°


A
∵∠＋∠B＋∠C=180° (三角形的内角和定理)
∴∠A＋∠B=180°-∠C 又∵ ∠C=90°
B求证：∠CA＋∠B＝90°已知：如图，△ABC中，∠C=90° 证明:A
∴∠A＋∠B=180°- 90°= 90°课堂练习
2. 证明：直角三角形两个锐角互余。


∠∠∠证明:连接AC∵∠1+2+D=180°
⌒2
⌒
⌒134∴∠1+2+D+3+4+B=360°
∠∠
⌒
∠3+4+B=180°∠∠ABCD
∠∠∠∠∠又∵ ∠DAB=1+3 DCB=2+4
∠∠∠∠∠
∴∠DAB+ B+ DCB+D= 360°(形∠∠等量代换)即四边∠的内角和等于360°360(三角形的内角和定理)课堂练习
3、四边形的内角和等于多少度？证明你的结论.已知：四边形ABCD求证：∠A+B+C+D=360°.


通过这节课的学习,你有哪些收获？1.我们通过添加辅助线,把三角形的3个内角拼成1个平角;把三角形的3个内角拼成两平行线的同旁内角,证明了三角形内角和定理及推论.2.继续感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力.课堂小结


∠∠∠∠ABDCQ
⌒
⌒12课后练习
已知:如图，D是△ ABC内的任意一点.求证: BDC= 1+ A+ 2


备用题：已知：如图，已知AD是△ABD和 △ACD 的公共边 求证：∠BDC=∠BAC+∠B+∠CABCD


∠∠∠ABCD1234证法一： ∵在△ABD中, 1
∠＝180°－∠B－∠3 （三角形内角和定理） 在△ADC中, 2
∠＝180°－∠C－∠4 （三角形内角和定理）又∵∠BDC＝360°－∠1－∠2（周角定义）
∴∠BDC ＝360°－（ 180°－∠B－∠3 ）－（ 180°－ ∠C－∠4 ）＝ ∠B+C+3+4.
∠∠∠又 ∵ ∠BAC ＝ ∠3+4,
∠
∠BDC ＝ ∠B+C+ BAC∴∠∠（等量代换）
如图，已知AD是△ABD 和△ACD的公共边.求证： ∠BDC=BAC+B+C


∠∠∠证法二：ABCD12
即即CB0000.
即ACB即即CBABADCAD12180,
即DBC即即BDC12081(即即即即即即即即.)
12018(CABDBADCA,)
12180DCB(即即即即.)
DCBBACDABDAC即即即即即即.
即BDCCABBC.
如图，已知AD是△ABD 和△ACD的公共边.求证∠BDC=BAC+B+C


∠BDC=BAC+B+C法∠∠证∠三：延长AD ∵∠1=3+B
∠∠，∠2=4+C∴∠∠∠1+2=3+B+4+C
∠∠∠∠∠即∠BDC=BAC+B+C
∠∠∠
BDAC12343 如图，已知AD是△ABD 和△ACD的公共边.求证：


在△ABC中，以A为顶点的一个外角120°，∠B=50°，则∠C= °.ABCD70


已知，如图，AD是△ABC的高.求证：∠B+∠BAD＝∠C+∠CAD.ABDC


，在五角星图形中，求A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数。ABCDE(甲)BAEBCD(乙)AEDC(丙)（2）把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？
探索：（1）如图(甲)∠


谢谢！