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第1章 二次函数1.3 二次函数的性质
学习目标一能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值和增减性.能根据二次函数的解析式画出函数的图象，并能从图象上看出函数的一些性质.
温故知新二二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是___________，它的对称轴是直线_______，顶点是______________.当a＞0时，抛物线的开口向____，顶点是抛物线上的最___点；当a＜0时，抛物线的开口向____，顶点是抛物线上的最___点.低高一条抛物线x=- (- ，) 上下根据二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象性质填空：
图1新知探究三观察下列图中二次函数的图象，并填空：对于函数y=2x2+4x-6的图象，y随x的增大而先______后_______；对于函数y=x2-3x的图象，y随x的增大而先______后_______. 减小增大减小增大
新知探究三观察下列图中二次函数的图象，并填空：图2对于函数y= -x2+x-6的图象，y随x的增大而先______后______；对于函数y=-x2+2x-的图象，y随x的增大而先______后______. 减小增大减小增大
图1图2当________时，y随x的增大而先减小后增大；当________时，y随x的增大而先增大后减小.a＞0a＜0
对于函数y=2x2+4x-6的图象，当x______时，y随x的增大而减小；当x______时，y随x的增大而增大.图1＜-1＞-1对于函数y=x2-3x的图象，当x______时，y随x的增大而减小；当x______时，y随x的增大而增大. ＜2＞2直线x = -1是图象的________.对称轴直线x =2是图象的________.对称轴顶点是图象的最___点.低
图2对于函数y= -x2+2x- 的图象，当x______时，y随x的增大而减小；当x______时，y随x的增大而增大. ＞2＜2对于函数y= -x2+x-6的图象，当x______时，y随x的增大而减小；当x______时，y随x的增大而增大. ＞3＜3直线x =2是图象的________.对称轴直线x =3是图象的________.对称轴顶点是图象的最___点.高
图1图2当________时，函数有最大值；当________时，函数有最小值.a＜0a＞0
对于函数y=ax2+bx+c (a≠0) ，当b2 -4ac＞0时，函数最小值____0； ＜当b2 -4ac=0时，函数最小值____0；=当b2 -4ac＜0时，函数最小值____0.＞(2)当a＜0时，最大值为_______.当b2 -4ac＞0时，函数最大值____0； ＞当b2 -4ac=0时，函数最大值____0；=当b2 -4ac＜0时，函数最大值____0.＜(1)当a＞0时，最小值为_______.
＜0 a＜0 当x≤时，y随x的增大而减小；当x≥时，y随x的增大而增大. 当x时，y达到最小值：；无最大值. 当x≤时，y随x的增大而增大；当x≥时，y随x的增大而减小. 当x时，y达到最大值：；无最小值. 图象与x轴的交点个数有什么规律？2个交点1个交点0个交点
归纳总结四条件图象增减性最大(小)值a＞0b2 -4ac＞0b2 -4ac=0b2 -4ac
在实际应用时，我们往往只要根据二次函数的表达式画出大致图象(包括顶点、对称轴、与x轴的交点)，就能得到这个二次函数的有关性质.
例题讲解五例 已知函数．(1)求函数图象的顶点坐标、对称轴，以及图象与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象.(2)当自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？何时y随x的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值.
∵∴.所以函数的顶点坐标是(7，32)，对称轴是直线x=7.由x=0，得y=，所以图象与y轴的交点是(0，).由y=0，得，解得x1= 15，x2=1.所以图象与x轴的交点是(15，0) ，(1，0).
解：(1),
函数的大致图象如右图. (2)由图象可知，当x≤7时，y随x的增大而增大；当x≥7时，y随x的增大而减小.当x=7时，函数y有最大值32.
随堂练习六xyO1-3-21.填空：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴：直线x=____，顶点坐标:______.当x=_____时，y有最_____值是____.函数值y0时，对应x的取值范围是___________.函数值y=0时，对应x的取值范围是__________.当x______时， y随x的增大而增大.x1x=-3或x= 1≥-1
y1 C. y2＞y1＞y3 D. y2＞y3＞y1解析：抛物线y=-2x2-8x+m的对称轴为直线x=-2，开口向下，则当x=-2时，
y值最大，即y2值最大.|-1-(-2)|=1，|-4-(-2)|=2，故y1＞y3，即 y2＞y1＞y3.C
2.已知(-1，y1)，(-2，y2)，(-4，y3)是抛物线y=-2x2-8x+m上的点，则( )A. y1＜ y2＜y3 B. y3＜y2＜
x2=9.所以图象与x轴的交点是(0，0) ，(9，0).(2)由y=0，得-2x2-3x+2=0，解得x1=-2，
x2= .所以图象与x轴的交点是(-2，0)，(，0).
3.求下列二次函数的图象与x轴交点的坐标.(1) y=x2-6x. (2) y=-2x2-3x+2. 解： (1)由y=0，得x2-6x =0，解得x1=0，
课后思考七想一想，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)与函数y=ax2+bx+c有什么关系？
学习目标一能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值和增减性.能根据二次函数的解析式画出函数的图象，并能从图象上看出函数的一些性质.
温故知新二二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是___________，它的对称轴是直线_______，顶点是______________.当a＞0时，抛物线的开口向____，顶点是抛物线上的最___点；当a＜0时，抛物线的开口向____，顶点是抛物线上的最___点.低高一条抛物线x=- (- ，) 上下根据二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象性质填空：
图1新知探究三观察下列图中二次函数的图象，并填空：对于函数y=2x2+4x-6的图象，y随x的增大而先______后_______；对于函数y=x2-3x的图象，y随x的增大而先______后_______. 减小增大减小增大
新知探究三观察下列图中二次函数的图象，并填空：图2对于函数y= -x2+x-6的图象，y随x的增大而先______后______；对于函数y=-x2+2x-的图象，y随x的增大而先______后______. 减小增大减小增大
图1图2当________时，y随x的增大而先减小后增大；当________时，y随x的增大而先增大后减小.a＞0a＜0
对于函数y=2x2+4x-6的图象，当x______时，y随x的增大而减小；当x______时，y随x的增大而增大.图1＜-1＞-1对于函数y=x2-3x的图象，当x______时，y随x的增大而减小；当x______时，y随x的增大而增大. ＜2＞2直线x = -1是图象的________.对称轴直线x =2是图象的________.对称轴顶点是图象的最___点.低
图2对于函数y= -x2+2x- 的图象，当x______时，y随x的增大而减小；当x______时，y随x的增大而增大. ＞2＜2对于函数y= -x2+x-6的图象，当x______时，y随x的增大而减小；当x______时，y随x的增大而增大. ＞3＜3直线x =2是图象的________.对称轴直线x =3是图象的________.对称轴顶点是图象的最___点.高
图1图2当________时，函数有最大值；当________时，函数有最小值.a＜0a＞0
对于函数y=ax2+bx+c (a≠0) ，当b2 -4ac＞0时，函数最小值____0； ＜当b2 -4ac=0时，函数最小值____0；=当b2 -4ac＜0时，函数最小值____0.＞(2)当a＜0时，最大值为_______.当b2 -4ac＞0时，函数最大值____0； ＞当b2 -4ac=0时，函数最大值____0；=当b2 -4ac＜0时，函数最大值____0.＜(1)当a＞0时，最小值为_______.
＜0 a＜0 当x≤时，y随x的增大而减小；当x≥时，y随x的增大而增大. 当x时，y达到最小值：；无最大值. 当x≤时，y随x的增大而增大；当x≥时，y随x的增大而减小. 当x时，y达到最大值：；无最小值. 图象与x轴的交点个数有什么规律？2个交点1个交点0个交点
归纳总结四条件图象增减性最大(小)值a＞0b2 -4ac＞0b2 -4ac=0b2 -4ac
在实际应用时，我们往往只要根据二次函数的表达式画出大致图象(包括顶点、对称轴、与x轴的交点)，就能得到这个二次函数的有关性质.
例题讲解五例 已知函数．(1)求函数图象的顶点坐标、对称轴，以及图象与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象.(2)当自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？何时y随x的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值.
∵∴.所以函数的顶点坐标是(7，32)，对称轴是直线x=7.由x=0，得y=，所以图象与y轴的交点是(0，).由y=0，得，解得x1= 15，x2=1.所以图象与x轴的交点是(15，0) ，(1，0).
解：(1),
函数的大致图象如右图. (2)由图象可知，当x≤7时，y随x的增大而增大；当x≥7时，y随x的增大而减小.当x=7时，函数y有最大值32.
随堂练习六xyO1-3-21.填空：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴：直线x=____，顶点坐标:______.当x=_____时，y有最_____值是____.函数值y0时，对应x的取值范围是___________.函数值y=0时，对应x的取值范围是__________.当x______时， y随x的增大而增大.x1x=-3或x= 1≥-1
y1 C. y2＞y1＞y3 D. y2＞y3＞y1解析：抛物线y=-2x2-8x+m的对称轴为直线x=-2，开口向下，则当x=-2时，
y值最大，即y2值最大.|-1-(-2)|=1，|-4-(-2)|=2，故y1＞y3，即 y2＞y1＞y3.C
2.已知(-1，y1)，(-2，y2)，(-4，y3)是抛物线y=-2x2-8x+m上的点，则( )A. y1＜ y2＜y3 B. y3＜y2＜
x2=9.所以图象与x轴的交点是(0，0) ，(9，0).(2)由y=0，得-2x2-3x+2=0，解得x1=-2，
x2= .所以图象与x轴的交点是(-2，0)，(，0).
3.求下列二次函数的图象与x轴交点的坐标.(1) y=x2-6x. (2) y=-2x2-3x+2. 解： (1)由y=0，得x2-6x =0，解得x1=0，
课后思考七想一想，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)与函数y=ax2+bx+c有什么关系？
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