1.3解直角三角形(1)


数学家华罗庚曾经说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日月之繁，无处不用数学。”这是对数学与生活的精彩描述。在我们周围处处有数学，时时会碰到数学问题。


生活中的数学问题建立数学模型
º5.5米
30
引例：在山坡上种树（从低处往高处种），要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5米，测得斜坡倾斜角是30º，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米？第二棵树离开地面的高度是多少米？（精确到0.1米）30º5.5米ABC


温故而知新 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。问题1.在直角三角形中，三边之间具有怎样的关系？即:a2+b2=c2ABCabc


直角三角形的两个锐角互余。问题2.直角三角形的两个锐角之间有什么关系?即:∠A+∠B=90°ABC温故而知新


BCBCACBtan
AB
AC
AB
BC
AC
问题3.直角三角形的角与边之间又有怎样的关系呢？ABC温故而知新（1）sinA=（2）cosA=（3）tanA==sinB=cosB


∠这五个元素之间有如下等量关系：ABCcab(1)三边之间关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理) (2)锐角之间关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间关系：请记住这些结论
�Aa的对边
正弦：sinA==
斜边c
�Ab的邻边
余弦：cosA==
斜边c
�Aa的对边
正切：tanA==
�Ab的邻边
在直角三角形中共有五个元素：边a,b,c, 锐角∠A,B.


在直角三角形中，除直角外,已知其它五个元素中的两个(至少一边),求出其余的三个元素，叫做解直角三角形。


△中，∠C=900，根据下列条件解这个直角三角形。（1）c=10，∠A=30°；CAab
∟①已知一锐角和斜边①∠B=90°- A
∠②③=60°解:
a
0
01ins30
5
由nisA得:acsinA
c
b
0
01osc3053
由oscA得:bccosA
c
例1、如图，在RtABC


∠=30°②③
∟解:①∠B=90°- A
aa
由in:si6n0得3s0=cA
23
cAsin
aa
3
由tan:得Ab
3
0
bAtan
tan60
（2）a=3，∠A=60° ；②已知一锐角和对边CAab


∠=45°②③
∟解:①∠B=90°- A
bb
20
由osAc得:c

0
202
cAcos
cos45
a
0
由tatann:得AbaA
20nta5420
b
（3）b=20，∠A=45° ；③已知一锐角和邻边CAab


22
22
bca10553
∟解:①②∠A=30°③∠B=90°- A
1
a
sinA

c
2
∠=60°
（4）a=5，c=10；④已知一直角边和斜边CAab


22
22
5(53)10
cab
∟解:①②∠A=30°③∠B=90°- A
a
taAn33355
b
∠=60°35,5)5(ba
⑤已知两直角边CAab


解决问题
º5.5米
30
引例：在山坡上种树（从低处往高处种），要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5米，测得斜坡倾斜角是30º，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米？第二棵树离开地面的高度是多少米？（精确到0.1米）30º5.5米ABC


△ABC中，∠C=90°引例：山坡上种树，要求株距（相临两树间的水平距离）是5.5米，测的斜坡倾斜角是24º，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米?第二棵树离开地面的高度是多少米？cos300 =0.866 sin300=0.5 tan300=0.57730º5.5米ABC≈6.4（米）答：斜坡上相邻两树间的坡面距离是6.4米。 第二棵树离开地面的高度是3.2米.3.2米
AC
cosA
AB
AC5.5
AB
0
cosAcos03
BC
tanA
AC
o
BCatnA.CAtan.AC
30
解：在Rt


AD
BD
例2、如图是某市“平改坡”工程中一种坡屋顶设计，已知平顶屋面的宽度L为10m，坡屋顶的设计高度h为3.5m，求斜面钢条a的长度和坡角a。（长度精确到0.1米，角度精确到1°）解:在Rt△ABD中,a＝ ( )2+(h)2l2＝ 52+3.52 ≈6.1(m).hLaAＢＣＤαtanα＝ = ＝0.7,3.55α≈350.答:斜面钢条a的长度约为6.1米,坡角约为350.


1、如图，在Rt△ABC中，C=900，∠A=500，AB=3，解这个直角三角形。（边长保留2个有效数字）参考数据sin500=0.766 cos500=0.6422、在RtΔABC中，∠B=Rt∠，AB=√3，AC=2√3，求∠A的度数和ΔABC的面积3、已知圆锥的母线长为20cm，轴截面等腰三角形的顶角为360，求圆锥的高和底面直径（精确到0.1cm）练一练


A
3
b
C
B1、如图，在Rt△ABC中，C=900，∠A=500，AB=3，解这个直角三角形。（边长保留2个有效数字）解：Rt△ABC中∠B=900-∠A=400a=AB×sinA=3×sin500≈2.3b=AB×cosA=3×cos500≈1.9有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除，取原避中。（求a，b 和∠B）参考数据sin500=0.766 cos500=0.642
a
a
sinA
AB
b
cosA
AB


AB31
csoA
AB2
23
∠A30
22
CBACBA2133
133
SABBC
ABC
22
2、在RtΔABC中，∠B=Rt∠，AB=√3，AC=2√3，求∠A的度数和ΔABC的面积BAC由勾股定理得


h
nisBisn810.903
l
hlsni1819.0mc
r
socBocs810.159
l
rlosc186.2mc
d2r12.4cm
3、已知圆锥的母线长为20cm，轴截面等腰三角形的顶角为360，求圆锥的高和底面直径（精确到0.1cm）提示：tan180=0.324,sin180=0.309,cos180=0.951.如图所示1hrlABC∠18211A


∠这五个元素之间有如下等量关系：ABCcab(1)三边之间关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理) (2)锐角之间关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间关系：请记住这些结论
A的的的a
的的的的的sinA
的的c
A的的的b
的的的的的cosA
的的c
A的的的a
的的的的的tanA
A的的的b
1，在直角三角形中共有五个元素：边a,b,c, 锐角∠A,B.


有斜用弦无斜用切取原避中2. 在直角三角形中，由已知的一些边、角求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。
（1已知两直角边已知一直角边和斜边）已知两条边已知一锐角和斜边已知一锐角和对边已知一锐角和邻边宁乘勿除
（2）已知一条边和一个锐角
3.解直角三角形类型：


∠， , 求BC的值。构造直角三角形分类讨论思想
AB32
A
A
B
HB'1.已知，在△ACC中,B=45°,AC=4,
CH
B
挑战自我


谢谢！