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第3章 圆的基本性质3.7 正多边形
学习目标一理解正多边形的概念、正多边形外接圆的概念、圆 的内接正多边形的概念.会正多边形的相关计算，并能综合运用圆内接正多边形与圆的性质解决相关问题.
情境导入二这个美丽图案的主体部分由一些多边形构成.你发现这些多边形有什么特别之处吗？
新知探究三各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.它们都是根据正多边形的边数的不同，分别把它们叫做正三角形、正方形、正五边形、正六边形等.正三角形正六边形正五边形正方形
例题例1 已知一个正多边形的内角为176.4°，这个正多边形是几边形？有没有内角为100°的正多边形？解：设正多边形的边数为n，由内角为176.4°，得.解得n＝100. 所以内角为176.4°的正多边形为100边形.
设正n边形的内角为100°，则 ，解得n=4.5.因为n应是整数，所以不存在内角为100°的正多边形. 例题例1 已知一个正多边形的内角为176.4°，这个正多边形是几边形？有没有内角为100°的正多边形？
做一做如图，已知正三角形，用直尺和圆规作它的外接圆.【分析】因为正三角形的外接圆经过正三角形的每一个顶点，则外接圆的圆心到每个顶点的距离相等，故外接圆的圆心在三角形任两条边的垂直平分线的交点上，半径为圆心到正三角形任一顶点的距离.
做一做如图，已知正三角形，用直尺和圆规作它的外接圆.解：所求作正三角形的外接圆如图所示（作法步骤略）.说一说，怎样作一个已知正方形的外接圆呢？
对于任意一个正三角形和正方形都能作出它的外接圆.我们把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形也就叫做圆内接正多边形.任何正多边形都有一个外接圆.
探究用量角器画一个的圆心角∠A1OA2，再以点A2为圆心，以弦A2A1为半径在⊙O上截得点A3，然后以点A3为圆心，以弦为半径在⊙O上截得点A4， A1 A2 A3A4 A5O ………这样就得到圆周的n个等分点，顺次连结这n个点，就得到该圆的圆内接正n边形.已知⊙O ，你能设计一种画该圆的圆内接正n边形的方法吗？
例题例2 如图，已知⊙O，用直尺和圆规作⊙O的内接正六边形.【分析】如图，设AB是⊙O的内接正六边形的一条边，连结OA，OB，则∠AOB=60°，所以△AOB为等边三角形，AB与⊙O的半径相等.因此，只要以⊙O的半径为半径，从⊙O上任取一点开始，依次在⊙O上截取五次，就把⊙O六等分.也就是说，依次连结这些分点，就得到所要求作的⊙O的内接正六边形.OAB
O 上依次截取点B，C，D，E，F.(2)依次连结AB，BC，CD，DE，EF，FA.所得的六边形ABCDEF就是所求作的⊙O的内接正六边形.很明显，=====60°，所以 =360°-5×60°=60°= .所以点A，B，C，D，E，F把⊙O六等分，即六边形ABCDEF是圆内接正六边形. OABCDEF
作法：(1)如图，在⊙O上任取一点A，从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙
探究1.(1)正三角形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？正四边形、正五边形、正六边形呢？由此你能猜测正n边形有几条对称轴吗？3条4条5条6条
探究1.(2)正三角形是中心对称图形吗？正四边形、正五边形、正六边形呢？由此你能猜测正n边形是否是中心对称图形吗？不是是不是是
探究2.填写下表.正七边形正八边形正九边形正十边形中心对称轴对称对称轴条数×7√√8√×9√√10√3.用命题的形式概括正n边形的中心对称性和轴对称性，以及轴对称图形的对称轴的条数.
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心.边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的外接圆的圆心就是对称中心.
随堂练习四1.若正n边形的一个内角为140°，那么n的值为( )A.13 B.11 C.9 D.8C2.已知正六边形的边长为10，那么它的外接圆的半径为___.解析：∵边长为10的正六边形可以分成六个边长为10的正三角形，∴外接圆半径是10.10
3.已知正六边形ABCDEF (如图).(1)用直尺和圆规作它的外接圆.(2)求证：CF是它的外接圆的直径.ABCDEF(1)解：所求作正六边形的外接圆如图所示，(作法步骤略).(2)证明：如图，连结OA，OB，OC，OF，OD，OE，它们都是圆O的半径.∵AB，BC，CD，DE，EF，FA是正六边形ABCDEF的边，O
=BOC∠=∠COD∠DOE=
∠EOF=∠FOA.又∵这六个圆心角之和为360°，∴每个圆心角都为60°，∴∠COF=
+FOA∠∠AOB+180°BOC=∠，∴CF是它的外接圆的直径．
ABCDEFO∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∴=====，∴∠AOB=
课堂小结五说一说：(1)什么是正多边形？什么是正多边形的外接圆？什么是圆的内接正多边形？(2)已知一个正方形的内角，怎样计算它的边数？反过来呢？(3)怎样作一个正多边形的外接圆？(4)怎样作一个圆的内接正n边形？
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学习目标一理解正多边形的概念、正多边形外接圆的概念、圆 的内接正多边形的概念.会正多边形的相关计算，并能综合运用圆内接正多边形与圆的性质解决相关问题.
情境导入二这个美丽图案的主体部分由一些多边形构成.你发现这些多边形有什么特别之处吗？
新知探究三各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.它们都是根据正多边形的边数的不同，分别把它们叫做正三角形、正方形、正五边形、正六边形等.正三角形正六边形正五边形正方形
例题例1 已知一个正多边形的内角为176.4°，这个正多边形是几边形？有没有内角为100°的正多边形？解：设正多边形的边数为n，由内角为176.4°，得.解得n＝100. 所以内角为176.4°的正多边形为100边形.
设正n边形的内角为100°，则 ，解得n=4.5.因为n应是整数，所以不存在内角为100°的正多边形. 例题例1 已知一个正多边形的内角为176.4°，这个正多边形是几边形？有没有内角为100°的正多边形？
做一做如图，已知正三角形，用直尺和圆规作它的外接圆.【分析】因为正三角形的外接圆经过正三角形的每一个顶点，则外接圆的圆心到每个顶点的距离相等，故外接圆的圆心在三角形任两条边的垂直平分线的交点上，半径为圆心到正三角形任一顶点的距离.
做一做如图，已知正三角形，用直尺和圆规作它的外接圆.解：所求作正三角形的外接圆如图所示（作法步骤略）.说一说，怎样作一个已知正方形的外接圆呢？
对于任意一个正三角形和正方形都能作出它的外接圆.我们把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形也就叫做圆内接正多边形.任何正多边形都有一个外接圆.
探究用量角器画一个的圆心角∠A1OA2，再以点A2为圆心，以弦A2A1为半径在⊙O上截得点A3，然后以点A3为圆心，以弦为半径在⊙O上截得点A4， A1 A2 A3A4 A5O ………这样就得到圆周的n个等分点，顺次连结这n个点，就得到该圆的圆内接正n边形.已知⊙O ，你能设计一种画该圆的圆内接正n边形的方法吗？
例题例2 如图，已知⊙O，用直尺和圆规作⊙O的内接正六边形.【分析】如图，设AB是⊙O的内接正六边形的一条边，连结OA，OB，则∠AOB=60°，所以△AOB为等边三角形，AB与⊙O的半径相等.因此，只要以⊙O的半径为半径，从⊙O上任取一点开始，依次在⊙O上截取五次，就把⊙O六等分.也就是说，依次连结这些分点，就得到所要求作的⊙O的内接正六边形.OAB
O 上依次截取点B，C，D，E，F.(2)依次连结AB，BC，CD，DE，EF，FA.所得的六边形ABCDEF就是所求作的⊙O的内接正六边形.很明显，=====60°，所以 =360°-5×60°=60°= .所以点A，B，C，D，E，F把⊙O六等分，即六边形ABCDEF是圆内接正六边形. OABCDEF
作法：(1)如图，在⊙O上任取一点A，从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙
探究1.(1)正三角形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？正四边形、正五边形、正六边形呢？由此你能猜测正n边形有几条对称轴吗？3条4条5条6条
探究1.(2)正三角形是中心对称图形吗？正四边形、正五边形、正六边形呢？由此你能猜测正n边形是否是中心对称图形吗？不是是不是是
探究2.填写下表.正七边形正八边形正九边形正十边形中心对称轴对称对称轴条数×7√√8√×9√√10√3.用命题的形式概括正n边形的中心对称性和轴对称性，以及轴对称图形的对称轴的条数.
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心.边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的外接圆的圆心就是对称中心.
随堂练习四1.若正n边形的一个内角为140°，那么n的值为( )A.13 B.11 C.9 D.8C2.已知正六边形的边长为10，那么它的外接圆的半径为___.解析：∵边长为10的正六边形可以分成六个边长为10的正三角形，∴外接圆半径是10.10
3.已知正六边形ABCDEF (如图).(1)用直尺和圆规作它的外接圆.(2)求证：CF是它的外接圆的直径.ABCDEF(1)解：所求作正六边形的外接圆如图所示，(作法步骤略).(2)证明：如图，连结OA，OB，OC，OF，OD，OE，它们都是圆O的半径.∵AB，BC，CD，DE，EF，FA是正六边形ABCDEF的边，O
=BOC∠=∠COD∠DOE=
∠EOF=∠FOA.又∵这六个圆心角之和为360°，∴每个圆心角都为60°，∴∠COF=
+FOA∠∠AOB+180°BOC=∠，∴CF是它的外接圆的直径．
ABCDEFO∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∴=====，∴∠AOB=
课堂小结五说一说：(1)什么是正多边形？什么是正多边形的外接圆？什么是圆的内接正多边形？(2)已知一个正方形的内角，怎样计算它的边数？反过来呢？(3)怎样作一个正多边形的外接圆？(4)怎样作一个圆的内接正n边形？
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