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第4章 相似三角形4.3 相似三角形
学习目标了解相似三角形的概念，会表示两个三角形相似.能运用相似三角形的概念判断两个三角形是否相似.理解相似三角形“对应角相等，对应边成比例”的性质.
问题导入有些奇妙的曲线与相似三角形有着密切的联系.你知道什么是相似三角形吗？
新知探究量一量图中△ABC与△A′B′C′各内角的度数，这两个三角形各内角之间有什么关系？再算一算△ABC与△A′B′C′各条边的长，这两个三角形的边之间有什么关系？对应角相等，对应边成比例.
一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. 相似三角形对应边的比叫做相似比.相似用符号“∽”表示，读做“相似于”.相似比的顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，如△ABC和△A′B'C′的相似比是k，则△A'B′C′和△ABC的相似比为.
∠A，∠B′=∠B，∠C′=
∠C，.所以△A′B′C′与△ABC相似，记做“△A′B′C′
∽△ABC”.△A′B′C′与△ABC的相似比是（或）.
如右图，∠A′=
根据相似三角形的定义，可得到下面的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.（1）相似三角形的对应性：相似三角形在书写时，对应顶点的字母要写在对应位置上.（2）定义的双重性：相似三角形的定义既可以作为性质，也可以作为三角形相似的判定条件.
如图，D，E分别是△ABC的两条边上的点，△ADE与△ABC相似. 根据以下两个不同的图形，分别写出△ADE与△ABC的对应角，以及对应边成比例的比例式.巩固练习ADBCEADBCE（1）（2）
ADBCEADBCE（1）（2）（1）对应角为∠A和∠A，∠ADE和∠B，∠AED和∠C.对应边的比例式为.（2）对应角为∠A和∠A，∠ADE和∠B，∠AED和∠C.对应边的比例式为.
确定相似三角形的对应边与对应角的四种方法：①有公共角的，公共角是对应角；②有对顶角的，对顶角是对应角；③相似三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；④相似三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.
两个全等三角形是不是相似三角形？如果是，那么它们的相似比是多少？思考两个全等三角形是相似三角形，相似比是1.全等三角形是相似比为1的相似三角形，是相似三角形的一种特殊情况.
∠B，∠AED=C.在△∠ADE和△ABC中，∠ADE=
=B，∠AED∠∠C，∠A=A △ADE∠∽△ABC（相似三角形的定义）. ADBCE
典例精讲例1 已知：如图，D，E分别是AB，AC边的中点. 求证：△ADE∽△ABC.证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC.∴∠ADE=
∶，BC=9 cm，求DE的长.解：∵△ABC∽△ADE，∴（相似三角形的对应边成比例）.∵，∴，∴，即，∴（cm）.答：DE的长为3 cm. ADBCE
例2 如图，D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，ABC∽△ADE. 已知AD∶DB=12
课堂小结相似三角形、相似比相似三角形的性质确定对应边与对应角的方法全等三角形与相似三角形的关系相似三角形
∶，∠ADC=65°，∠B=37°.（1）求∠ACB，∠ACD的度数.解：（1）∵△ABC∽△ACD，∴∠ACB=
∠ADC=65°，∠ACD=
∠B=37°.ABCD
当堂检测1.如图，D是AB上的一点，△ABC∽△ACD，且AD∶AC=23
∶，∠ADC=65°，∠B=37°.（2）写出△ABC与△ACD的对应边成比例的比例式，并说出相似比.（2）∵△ABC∽△ACD，∴.∵AD∶AC=23
∶，∴AC∶AD=32.
∶即△ABC与△ACD的相似比是. ABCD
1.如图，D是AB上的一点，△ABC∽△ACD，且AD∶AC=23
∶，AC=5，求BD的长.（2）如果∠A=35°，∠AOC=100°，求∠D的度数.解：（1）∵△AOC∽△BOD，∴.∵，∴，即.∴BD=5×2=10. ABCDO
2.如图，AB，CD相交于点O，△AOC∽△BOD.（1）如果OC∶OD=12
∶，AC=5，求BD的长.（2）如果∠A=35°，∠AOC=100°，求∠D的度数.（2）∵∠A=35°，∠AOC=100°，∴∠C=180°-
∠A-AOC=45°.∵△∠AOC∽△BOD，∴∠D=
∠C=45°.ABCDO
2.如图，AB，CD相交于点O，△AOC∽△BOD.（1）如果OC∶OD=12
∠A1，∠B=∠B1，∠C=
∠C1，.由△A1B1C1∽△A2B2C2，得∠A1=
∠A2，∠B1=
=B2，∠C1∠∠C2，.
3.如果两个三角形都与第三个三角形相似，那么这两个三角形相似吗？为什么？解：相似. 理由如下：设△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2.由△ABC∽△A1B1C1，得∠A=
∠A2，∠B=∠B2，∠C=.C2，由两比例式，得∠这样根据相似三角形的定义可知，△ABC∽△A2B2C2.
3.如果两个三角形都与第三个三角形相似，那么这两个三角形相似吗？为什么？由角相等，得∠A=
感谢观看！
学习目标了解相似三角形的概念，会表示两个三角形相似.能运用相似三角形的概念判断两个三角形是否相似.理解相似三角形“对应角相等，对应边成比例”的性质.
问题导入有些奇妙的曲线与相似三角形有着密切的联系.你知道什么是相似三角形吗？
新知探究量一量图中△ABC与△A′B′C′各内角的度数，这两个三角形各内角之间有什么关系？再算一算△ABC与△A′B′C′各条边的长，这两个三角形的边之间有什么关系？对应角相等，对应边成比例.
一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. 相似三角形对应边的比叫做相似比.相似用符号“∽”表示，读做“相似于”.相似比的顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，如△ABC和△A′B'C′的相似比是k，则△A'B′C′和△ABC的相似比为.
∠A，∠B′=∠B，∠C′=
∠C，.所以△A′B′C′与△ABC相似，记做“△A′B′C′
∽△ABC”.△A′B′C′与△ABC的相似比是（或）.
如右图，∠A′=
根据相似三角形的定义，可得到下面的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.（1）相似三角形的对应性：相似三角形在书写时，对应顶点的字母要写在对应位置上.（2）定义的双重性：相似三角形的定义既可以作为性质，也可以作为三角形相似的判定条件.
如图，D，E分别是△ABC的两条边上的点，△ADE与△ABC相似. 根据以下两个不同的图形，分别写出△ADE与△ABC的对应角，以及对应边成比例的比例式.巩固练习ADBCEADBCE（1）（2）
ADBCEADBCE（1）（2）（1）对应角为∠A和∠A，∠ADE和∠B，∠AED和∠C.对应边的比例式为.（2）对应角为∠A和∠A，∠ADE和∠B，∠AED和∠C.对应边的比例式为.
确定相似三角形的对应边与对应角的四种方法：①有公共角的，公共角是对应角；②有对顶角的，对顶角是对应角；③相似三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；④相似三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.
两个全等三角形是不是相似三角形？如果是，那么它们的相似比是多少？思考两个全等三角形是相似三角形，相似比是1.全等三角形是相似比为1的相似三角形，是相似三角形的一种特殊情况.
∠B，∠AED=C.在△∠ADE和△ABC中，∠ADE=
=B，∠AED∠∠C，∠A=A △ADE∠∽△ABC（相似三角形的定义）. ADBCE
典例精讲例1 已知：如图，D，E分别是AB，AC边的中点. 求证：△ADE∽△ABC.证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC.∴∠ADE=
∶，BC=9 cm，求DE的长.解：∵△ABC∽△ADE，∴（相似三角形的对应边成比例）.∵，∴，∴，即，∴（cm）.答：DE的长为3 cm. ADBCE
例2 如图，D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，ABC∽△ADE. 已知AD∶DB=12
课堂小结相似三角形、相似比相似三角形的性质确定对应边与对应角的方法全等三角形与相似三角形的关系相似三角形
∶，∠ADC=65°，∠B=37°.（1）求∠ACB，∠ACD的度数.解：（1）∵△ABC∽△ACD，∴∠ACB=
∠ADC=65°，∠ACD=
∠B=37°.ABCD
当堂检测1.如图，D是AB上的一点，△ABC∽△ACD，且AD∶AC=23
∶，∠ADC=65°，∠B=37°.（2）写出△ABC与△ACD的对应边成比例的比例式，并说出相似比.（2）∵△ABC∽△ACD，∴.∵AD∶AC=23
∶，∴AC∶AD=32.
∶即△ABC与△ACD的相似比是. ABCD
1.如图，D是AB上的一点，△ABC∽△ACD，且AD∶AC=23
∶，AC=5，求BD的长.（2）如果∠A=35°，∠AOC=100°，求∠D的度数.解：（1）∵△AOC∽△BOD，∴.∵，∴，即.∴BD=5×2=10. ABCDO
2.如图，AB，CD相交于点O，△AOC∽△BOD.（1）如果OC∶OD=12
∶，AC=5，求BD的长.（2）如果∠A=35°，∠AOC=100°，求∠D的度数.（2）∵∠A=35°，∠AOC=100°，∴∠C=180°-
∠A-AOC=45°.∵△∠AOC∽△BOD，∴∠D=
∠C=45°.ABCDO
2.如图，AB，CD相交于点O，△AOC∽△BOD.（1）如果OC∶OD=12
∠A1，∠B=∠B1，∠C=
∠C1，.由△A1B1C1∽△A2B2C2，得∠A1=
∠A2，∠B1=
=B2，∠C1∠∠C2，.
3.如果两个三角形都与第三个三角形相似，那么这两个三角形相似吗？为什么？解：相似. 理由如下：设△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2.由△ABC∽△A1B1C1，得∠A=
∠A2，∠B=∠B2，∠C=.C2，由两比例式，得∠这样根据相似三角形的定义可知，△ABC∽△A2B2C2.
3.如果两个三角形都与第三个三角形相似，那么这两个三角形相似吗？为什么？由角相等，得∠A=
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