事件A包含的基本事件数
PA()=
试验的基本事件总版块二：几何概型．数几何概型事件A理解为区域W的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型．几何概型中，事件A的概率定义为
m
A
PA()=，其中
mW表示区域W的几何度量， A[表示区域A的几何度量．典例分析题型一：一维情形【例1】在区间m010]，中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是______．【例2】在长为18cm的线段AB上任取一点
m
W
M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于
36cm2与81cm2之间的概率为（ ）A．56B．12C．13D．16【例3】两根相距3m的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于
1m的概率为（ ）- 1 -板块二.几何概型
淮河两岸www.552a.cn知识内容版块一：古典概型1．古典概型：如果一个试验有以下两个特征：⑴有限性：一次试验出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；⑵等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的．称这样的试验为古典概型．2．概率的古典定义：随机事件A的概率定义为


ABCD内任取一点P，则点P到点A的距离小于1的概率为 ．【例6】（2010丰台二模）一个正三角形的外接圆的半径为
1，向该圆内随机投一点P，点P恰好落在正三角形外的概率是_________．【例7】（2010东城二模）在直角坐标系xOy中，设集合
W=,)1,01(0xyxy≤≤≤点，≤区域W内任取一在，P则满足yx(,)
{}
xy+ ≤的概率等于 ． 【例8】（2010丰台二模）已知1
+=Wxyyxxy,,00,6|≤≥≥，xyxyxyA-=2,0,4),0(≤≥_．若向区域W上随机投一点P，则点P落入区域A的概率是≥________．【例9】（2010崇文二模）在平面直角坐标系xOy中，平面区域W中的点的坐标(,)xy满足
{()}{}
22
xy+-≤，从区域W中随机- 2 5
淮河两岸www.552a.cnA．12B．13C．14D．23题型二：二维情形【例4】（2010东城一模）某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为（ ）A．113 B．19 C．14 D．12【例5】（2010西城一模）在边长为1的正方形


线直知Mxy．⑴若x�Z，y�Z，求点M位于第四象限的概率；⑵已),(
22
xbbly):(0=-+>与圆yxb设≥的概率．【例10】（2010丰台二模）集合-+
Oxy:5截=相交所+得的弦长为15，求
P=和,3,21Q别从b和a组成=-，分集合P和Q中随机取一个数作为数对,3,2,1,14
{}{}
2
(，并构成函数,ab)xbxaxf()+=-． 14
(,ab，并计算2a)≥，且3b≤的概率；
⑴写出所有可能的数对
1,�上是增函数的概率．【例+11】（2010宣武二模）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5．甲先摸出一个球，记下编号为a，放回袋中后，乙再摸一个球，记下编号为b．
[)
⑵求函数()fx在区间
⑴求“ab”的事件发生的概率；+= 6
22
⑵若点(,)ab落在圆yx- +=内，则甲赢，否则算乙赢，这个游戏规则公平吗？试说明理由．- 321
淮河两岸www.552a.cn取点


22
xy
积面部内及+=>>为)0(1babSa两=，12AA，是长轴的，个顶点，12BB，是短轴的两个顶点，点P是椭圆及内部的点则π
22
ab
_，D为钝角三角形概率为____的PAA形的_D为钝角三角概率为_____，BPB
1212
__D为锐角三角形的概率为______，PBB为直知D集角三角形的概率为_____．【例13】已合BPB
1212
A--=453102，，，，，，在平面直角坐标系中，点Mxy的坐标xA�，，yA�．计算：
{}()
⑴点M正好在第二象限的概率；
⑵点M不在x轴上的概率；
�xy0
⑶点M正好落在区域
�
�
y>0
�上的概率．【例14】如右下图，在一个长为π，
xyx=0sinπ≤≤与x轴
宽为2的矩形OABC内，曲线()围成如图所示的
影阴向部分，矩BCOA形内随机投一点（该点在落矩一OABC内任何形点是等可能的），则所投的点落在
阴影 部分的概率是（ ） y=sinx2CBAOyx- 4 -
淮河两岸www.552a.cn【例12】已知椭圆


．1πB2πC．3πD．． π4【例15】如图，在边长为25的正方形中
挖去边长为23的两个等腰均直角形，现有三角匀的粒子散落在正方形，
问粒子落在中间带形区域的概率是多少【例16】？在圆心角为150°的
扇形中AOB，过圆心O作射线交同AB弧于P，则︵时满：足�AOP≥且°45
�BOP≥福建°的概率为 ．【例17】（200957
文）点A为
周长等于3的圆周圆的一个定点，若在该上周上随机取一点B，则弧︵AB劣的长度小于1的概率为 ．【例18】设A为圆
周上一定点，在圆周连P与上等可能的任取一点A结，求弦长超过半径的3倍的概率．【例19】（08江苏
）在平面直角坐标系xOy中，设D是
横坐标与纵坐标的绝对值2不大于均的点构成的区域，E是到
原于的距离不大点1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落入E中的概率是．【例20】取一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内
抛一粒豆子，则豆 子落入正方形外的概率（ ）A．2π B．π2π- C．2π D．π4- 5 -
淮河两岸www.552a.cnA


多少？【例22】如图，
�=AOB06，°OA=，2BO，试求：=，在线段OB上任取一点C5
A⑴AOCD为钝角三角形的概率；⑵
ODEB
C
把】D为锐角三角形的概率．【例23COA
一根长度为6的铁丝截成3段．⑴若三段的长度均为
整【例⑵若截成任意长度的三段，求能构成三角形的概率．数，求能构成三角形的概率；24】小明的
爸爸下班驾车经过小明学校门口，时间是下午，小明放:0066:30到学后到学校门口的候车
点候车，能乘上公交车的时间为明的:50到6510，如果小:爸爸到学校门口时明，小还没乘上车
，就正好坐他爸爸的车回家，问小明能乘到他爸的车的概率．- 6 -
淮河两岸www.552a.cn【例21】向面积为S的ABCD内任投一点P，则随机事件“PBCD的面积小于3S”的概率为


约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即离去
，求两人能会面的概率．【例26】在区间[11]-，上任取两
22
实数ab，，求二次方程实7【例2数的概率．】（2010海淀一模）某
xaxb++=的两根都为20
商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额元每满001可转动如图所示的转盘
一次，并获得相应金额的券返，假定指针等可能地停若在一位置． 任指针停在A区域元券60返
；停区域在B返券元30；停在C区域不返券如：．例 消费218元，可动转，所盘2次转得的获
返券金额是两次金额之和．⑴若某位
顾客消费128元，求返券金额不低元于30的概率；⑵若某位
客顾恰好元消280费，并按规则参与了活动他，获得返券的额金（记为X元机．求随）
变量X的分布列和数学期望【例28】（．2010石景山一模）如图，两个圆形
个盘,AB，每转转盘阴影部分各占转盘某积面12和14．的“幸运转盘积分动活
”规定，当指针指,到AB转盘阴影部分时，分别赢．积分1000分和2000分得先转哪个转盘由
参与者选择可若第一次赢得积分，，继续转另一个转盘，此时活动结束次；第一若未分，则赢得积
终止活动．- 7 -
淮河两岸www.552a.cn【例25】甲、乙两人


转A转盘最终所得积分为随机变的取X，则量X值分别是多少？⑵如果
你参加此活动，为了赢得更多的积分，你将选择先转哪个转盘？请题型三：三维情形【例说明理由．29】（2010朝阳一模）一只小
蜜蜂在一个棱体长为30的正方玻璃容器内随机飞行． 若蜜蜂在程行过飞中与正方体玻璃容
器6个表面中至少个一有的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安若；全始终保持与正方体
玻璃容6器个表面的距离均大于10，则行飞是安全的，假设蜜蜂正在方体玻璃容器内飞行
到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安 全的概率是（）A．18 B．116 C．127 D．38【例30】设正四面体
ABCD的体积为V，P是正四面体ABCD的内部的点．- 8 -
淮河两岸www.552a.cn⑴记先


1
VV(”的事件为X，求概率≥)PX；②设“
PABC-
4
11
VV≥且VV”的事件为Y，≥求概率()PY．- 9 -
PABC-PBCD-
44
淮河两岸www.552a.cn①设“