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第一章测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是()A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．非钝角三角形解析 最大边AC所对角为B，则cosB＝＝－B>C B．B>A>CC．C>B>A D．C>A>B解析 由正弦定理＝，∴sinB＝＝.∵B为锐角，∴B＝60°，则C＝90°，故C>B>A.答案 C3．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )A．4 B．4C．4 D.解析 由A＋B＋C＝180°，可求得A＝45°，由正弦定理，得b＝＝＝＝4.答案 C4．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则BA·BC的值为()A．5 B．－51新课标A版·数学·必修5 高中同步学习方略
C．15 D．－15解析 在△ABC中，由余弦定理得cosB＝＝＝.∴BA·BC＝|BA|·|BC|cosB＝5×7×＝5.答案 A5．若三角形三边长之比是1：：2，则其所对角之比是( )A．1：2：3 B．1：：2C．1：： D.：：2解析 设三边长分别为a，a,2a，设最大角为A，则cosA＝＝0，∴A＝90°.设最小角为B，则cosB＝＝，∴B＝30°，∴C＝60°.因此三角之比为1：2：3.答案 A6．在△ABC中，若a＝6，b＝9，A＝45°，则此三角形有( )A．无解 B．一解C．两解 D．解的个数不确定解析 由＝，得sinB＝＝＝>1.∴此三角形无解．答案 A7．已知△ABC的外接圆半径为R，且2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB(其中a，b分别为A，B的对边)，那么角C的大小为( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析 根据正弦定理，原式可化为2R＝(a－b)·，∴a2－c2＝(a－b)b，∴a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝，∴C＝45°.2新课标A版·数学·必修5 高中同步学习方略
答案 B8．在△ABC中，已知sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为( )A．1 B．2C. D.解析 由＝＝＝2R，又sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，可得a2＋b2－ab＝c2.∴cosC＝＝，∴C＝60°，sinC＝.∴S△ABC＝absinC＝.答案 D9．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为( )A. B.C. D.解析 由余弦定理，得cosA＝，解得AC＝3.由正弦定理＝＝.答案 D10.在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为( )A. B.C. D.解析 由余弦定理，得cos∠BAC＝＝＝－，∴∠BAC＝.答案 A11．有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( )A．0.5 km B．1 kmC．1.5 km D. km3新课标A版·数学·必修5 高中同步学习方略
解析 如图，AC＝AB·sin20°＝sin20°，BC＝AB·cos20°＝cos20°，DC＝＝2cos210°，∴DB＝DC－BC＝2cos210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且A＝75°，则b为( )A．2 B．4＋2C．4－2 D.－解析 在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，∵a＝c，∴0＝b2－2bccosA＝b2－2b(＋)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝＝(－)，∴b2－2b(＋)cos75°＝b2－2b(＋)·(－)＝b2－2b＝0，解得b＝2，或b＝0(舍去)．故选A.答案 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在△ABC中，A＝60°，C＝45°，b＝4，则此三角形的最小边是____________．解析 由A＋B＋C＝180°，得B＝75°，∴c为最小边，由正弦定理，知c＝＝＝4(－1)．答案 4(－1)14．在△ABC中，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.解析 由B＝A＋60°，得sinB＝sin(A＋60°)＝sinA＋cosA.又由b＝2a，知sinB＝2sinA.4新课标A版·数学·必修5 高中同步学习方略
∴2sinA＝sinA＋cosA.即sinA＝cosA.∵cosA≠0，∴tanA＝.∵0°0，C>0，得0
∴y＝4sinx＋4sin＋2.(2)y＝4(sinx＋cosx＋sinx)＋2＝4sin(x＋)＋2.∵
C．15 D．－15解析 在△ABC中，由余弦定理得cosB＝＝＝.∴BA·BC＝|BA|·|BC|cosB＝5×7×＝5.答案 A5．若三角形三边长之比是1：：2，则其所对角之比是( )A．1：2：3 B．1：：2C．1：： D.：：2解析 设三边长分别为a，a,2a，设最大角为A，则cosA＝＝0，∴A＝90°.设最小角为B，则cosB＝＝，∴B＝30°，∴C＝60°.因此三角之比为1：2：3.答案 A6．在△ABC中，若a＝6，b＝9，A＝45°，则此三角形有( )A．无解 B．一解C．两解 D．解的个数不确定解析 由＝，得sinB＝＝＝>1.∴此三角形无解．答案 A7．已知△ABC的外接圆半径为R，且2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB(其中a，b分别为A，B的对边)，那么角C的大小为( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析 根据正弦定理，原式可化为2R＝(a－b)·，∴a2－c2＝(a－b)b，∴a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝，∴C＝45°.2新课标A版·数学·必修5 高中同步学习方略
答案 B8．在△ABC中，已知sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为( )A．1 B．2C. D.解析 由＝＝＝2R，又sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，可得a2＋b2－ab＝c2.∴cosC＝＝，∴C＝60°，sinC＝.∴S△ABC＝absinC＝.答案 D9．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为( )A. B.C. D.解析 由余弦定理，得cosA＝，解得AC＝3.由正弦定理＝＝.答案 D10.在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为( )A. B.C. D.解析 由余弦定理，得cos∠BAC＝＝＝－，∴∠BAC＝.答案 A11．有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( )A．0.5 km B．1 kmC．1.5 km D. km3新课标A版·数学·必修5 高中同步学习方略
解析 如图，AC＝AB·sin20°＝sin20°，BC＝AB·cos20°＝cos20°，DC＝＝2cos210°，∴DB＝DC－BC＝2cos210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且A＝75°，则b为( )A．2 B．4＋2C．4－2 D.－解析 在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，∵a＝c，∴0＝b2－2bccosA＝b2－2b(＋)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝＝(－)，∴b2－2b(＋)cos75°＝b2－2b(＋)·(－)＝b2－2b＝0，解得b＝2，或b＝0(舍去)．故选A.答案 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在△ABC中，A＝60°，C＝45°，b＝4，则此三角形的最小边是____________．解析 由A＋B＋C＝180°，得B＝75°，∴c为最小边，由正弦定理，知c＝＝＝4(－1)．答案 4(－1)14．在△ABC中，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.解析 由B＝A＋60°，得sinB＝sin(A＋60°)＝sinA＋cosA.又由b＝2a，知sinB＝2sinA.4新课标A版·数学·必修5 高中同步学习方略
∴2sinA＝sinA＋cosA.即sinA＝cosA.∵cosA≠0，∴tanA＝.∵0°0，C>0，得0
∴y＝4sinx＋4sin＋2.(2)y＝4(sinx＋cosx＋sinx)＋2＝4sin(x＋)＋2.∵
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