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作者很懒没有写任何内容
a、b、c和实数，下列命题中的真命题是λ( )A．若
a·b＝0，则或a0＝b＝0B．若λa＝0，则或＝λ0a．若0C＝
2＝a，则b2a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝：解析c 对于A，可举反例：当
⊥a时b，a·b＝0；对于C，a2＝推2只能b得||a|＝
b|，而不能推出a＝±，；对于bDa·b＝a·可以移项整理推得ca⊥(b－)c．故选B.答案： B2．正方体
ABCD－A′B′C′′中，向量AB′与BC′的夹角是( )DA．30° B．45°C．60° D．90°解析：
BC′∥AD′，△AD′B′为正三角形，∴∠
D′BA′＝60°，∴〈AB′，BC′〉＝60°.答案： C3．设
，AB，C，满是空间D共面的四点，且不足AB·A，C0＝AC·AD＝0，A·BAD△＝0，则
BCD是( )A．钝角三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．不确定解析： 如右图所示，设
AB＝a，AC＝，bAD＝c，∵
CB·CD＝(a－b)·(c－b)＝
a·c－b·c－a·b＋b2＝
b2>0.同理
B·CB，D>0DB·D>0.C故选B.答案： B4.如图，平行六面体
BCD－A1AB1C1，1D中AB＝1，AD＝2，
∠A1＝3，ABAD＝90°，∠BAA1＝∠AAD1＝60则，°AC1的长为( )A. B.C. D.解析： ∵AC1＝
AB＋A∴＋AA1，D|AC1|＝＝∵
，B＝1AAD＝2，AA1＝3，1
第3章 3.1.3一、选择题(每小题5分，共20分)1．对于向量
BAD＝90°，∠
BAA1＝∠1AAD＝60°，∴〈
AB，AD〉＝90°，〈A〉＝〈，AAB1A〉＝，AA1D60°.∴|
A二、填空题|＝＝.故选D.答案： DC(每小题5分，共10分)5．在空间四边形
ABCD中，AB·CD＋BC·AD＋CA·B_＝_D______.解析： 设
AB＝b，AC＝，cAD＝d，则
CD＝－dc，BD＝d－b，BC＝c－.原式＝0.b答案： 06．已知|
a|＝3，|b|＝4，a与，的夹角为13b°5＝ma＋，bn＝a＋λb，则⊥m则n，
λ＝________.解析：
m·n＝(a＋b()·a＋λb)＝|
＋|2aλ·ab＋a·＋bλ|2|b＝18＋
＋×3×4×cos 135°＋3×4×cos 135°λλ×16＝6－12
λ＋164＝λ＋6λ，∵
m⊥4，∴6n＋λ＝0，∴
λ＝－.答案： －三、解答题(每小题10分，共20分)7.如图所示，已知正三棱锥
A－是CD的侧棱长和底面边B都长a，点E，F，G是
B，ADA，DC上的点，且∶EAEB＝AF∶＝DFCG∶1D＝G∶2，求下列向量的数量积：(1)
AD·D)B；(2AD·B)；(3CGF·AC；(4)
EF·BC.解析： (1)|
AD|＝，a|BD|＝a，〈AD，D〉＝B120°，所以
AD·D＝B|AD||D＝－|Bos 120°ca2.(2)因为
BC＝AC－AB，所以
AD·B＝CA(D·AC－AB)＝AD·AC－A·DAB|，又因为
A＝D|，|aBC|＝a，〈A，DAC〉＝〈AD，AB〉＝60°，所以
AD·B＝C－a2a2＝0.2
∠
，FG是，ADDC上的点，所以
G＝－＝CAFAC，所以
GF·A2＝－ACC，因为AC2＝
a2，所以
GF·AC＝－a2.(4)因为点
E，F分别是AB，AD上的点，所以EF＝BD，所以
EF·BC＝B·DBC，结合图形可知〈
BD，B〉＝C60°，所以
EF·B＝CB·DBC＝×a×＝aos 60°×ca2.8．在正四面体
，BCD中棱长为A，aM，N分别是棱，BA|D上的点，且CMB|＝2|
AM|，|CN|＝||D|，求NMN|.解析： ∵
MN＝MB＋BC＋CN＝
AB＋(AC－A()B＋AD－AC)＝－
AB＋AD＋AC.∴
MN·MN＝(－
AB＋AA＋DC)·(－AB＋AD＋A)C＝AB2－
AD·AB－A·BAC＋AC·A2＋ADD＋AC2＝
a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2.故|
MN|＝＝a.即|
MN|＝☆☆☆.尖子生题库a9．(10分)已知正方体
BCD－A1AB1C1D1的棱长为a.(1)用向量法求
A1B和B1C的夹角；(2)用向量法证明
A1B⊥CA1；(3)用向量法求
AC1的长度．解析： (1)因为正方体
BCD－AA11BC1D1的棱长为，a所以|A1B|＝|B1C|＝
a.因为A1B＝
A－AA1，BB1C＝A1D＝
A－AA1，所以DA1B·B1C＝(
AB－AA1)·(AD－AA1)＝a2，所以cos〈A1B，B1C〉＝＝，即
A1B和B10的夹角为6C°；(2)证明：因为AC1＝
AB＋AA1＋AD，A1B＝
AC－AA1，所以AB1·A1B＝0，
A1B⊥)C1；(3A由(2)知，AC1＝
A＋B＋AA1AD，3
(3)因为点
AB＋AA1＋AD)2＝3a2，所以|AC1|＝
AC1＝a.4
所以AC12＝(
a·b＝0，则或a0＝b＝0B．若λa＝0，则或＝λ0a．若0C＝
2＝a，则b2a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝：解析c 对于A，可举反例：当
⊥a时b，a·b＝0；对于C，a2＝推2只能b得||a|＝
b|，而不能推出a＝±，；对于bDa·b＝a·可以移项整理推得ca⊥(b－)c．故选B.答案： B2．正方体
ABCD－A′B′C′′中，向量AB′与BC′的夹角是( )DA．30° B．45°C．60° D．90°解析：
BC′∥AD′，△AD′B′为正三角形，∴∠
D′BA′＝60°，∴〈AB′，BC′〉＝60°.答案： C3．设
，AB，C，满是空间D共面的四点，且不足AB·A，C0＝AC·AD＝0，A·BAD△＝0，则
BCD是( )A．钝角三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．不确定解析： 如右图所示，设
AB＝a，AC＝，bAD＝c，∵
CB·CD＝(a－b)·(c－b)＝
a·c－b·c－a·b＋b2＝
b2>0.同理
B·CB，D>0DB·D>0.C故选B.答案： B4.如图，平行六面体
BCD－A1AB1C1，1D中AB＝1，AD＝2，
∠A1＝3，ABAD＝90°，∠BAA1＝∠AAD1＝60则，°AC1的长为( )A. B.C. D.解析： ∵AC1＝
AB＋A∴＋AA1，D|AC1|＝＝∵
，B＝1AAD＝2，AA1＝3，1
第3章 3.1.3一、选择题(每小题5分，共20分)1．对于向量
BAD＝90°，∠
BAA1＝∠1AAD＝60°，∴〈
AB，AD〉＝90°，〈A〉＝〈，AAB1A〉＝，AA1D60°.∴|
A二、填空题|＝＝.故选D.答案： DC(每小题5分，共10分)5．在空间四边形
ABCD中，AB·CD＋BC·AD＋CA·B_＝_D______.解析： 设
AB＝b，AC＝，cAD＝d，则
CD＝－dc，BD＝d－b，BC＝c－.原式＝0.b答案： 06．已知|
a|＝3，|b|＝4，a与，的夹角为13b°5＝ma＋，bn＝a＋λb，则⊥m则n，
λ＝________.解析：
m·n＝(a＋b()·a＋λb)＝|
＋|2aλ·ab＋a·＋bλ|2|b＝18＋
＋×3×4×cos 135°＋3×4×cos 135°λλ×16＝6－12
λ＋164＝λ＋6λ，∵
m⊥4，∴6n＋λ＝0，∴
λ＝－.答案： －三、解答题(每小题10分，共20分)7.如图所示，已知正三棱锥
A－是CD的侧棱长和底面边B都长a，点E，F，G是
B，ADA，DC上的点，且∶EAEB＝AF∶＝DFCG∶1D＝G∶2，求下列向量的数量积：(1)
AD·D)B；(2AD·B)；(3CGF·AC；(4)
EF·BC.解析： (1)|
AD|＝，a|BD|＝a，〈AD，D〉＝B120°，所以
AD·D＝B|AD||D＝－|Bos 120°ca2.(2)因为
BC＝AC－AB，所以
AD·B＝CA(D·AC－AB)＝AD·AC－A·DAB|，又因为
A＝D|，|aBC|＝a，〈A，DAC〉＝〈AD，AB〉＝60°，所以
AD·B＝C－a2a2＝0.2
∠
，FG是，ADDC上的点，所以
G＝－＝CAFAC，所以
GF·A2＝－ACC，因为AC2＝
a2，所以
GF·AC＝－a2.(4)因为点
E，F分别是AB，AD上的点，所以EF＝BD，所以
EF·BC＝B·DBC，结合图形可知〈
BD，B〉＝C60°，所以
EF·B＝CB·DBC＝×a×＝aos 60°×ca2.8．在正四面体
，BCD中棱长为A，aM，N分别是棱，BA|D上的点，且CMB|＝2|
AM|，|CN|＝||D|，求NMN|.解析： ∵
MN＝MB＋BC＋CN＝
AB＋(AC－A()B＋AD－AC)＝－
AB＋AD＋AC.∴
MN·MN＝(－
AB＋AA＋DC)·(－AB＋AD＋A)C＝AB2－
AD·AB－A·BAC＋AC·A2＋ADD＋AC2＝
a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2.故|
MN|＝＝a.即|
MN|＝☆☆☆.尖子生题库a9．(10分)已知正方体
BCD－A1AB1C1D1的棱长为a.(1)用向量法求
A1B和B1C的夹角；(2)用向量法证明
A1B⊥CA1；(3)用向量法求
AC1的长度．解析： (1)因为正方体
BCD－AA11BC1D1的棱长为，a所以|A1B|＝|B1C|＝
a.因为A1B＝
A－AA1，BB1C＝A1D＝
A－AA1，所以DA1B·B1C＝(
AB－AA1)·(AD－AA1)＝a2，所以cos〈A1B，B1C〉＝＝，即
A1B和B10的夹角为6C°；(2)证明：因为AC1＝
AB＋AA1＋AD，A1B＝
AC－AA1，所以AB1·A1B＝0，
A1B⊥)C1；(3A由(2)知，AC1＝
A＋B＋AA1AD，3
(3)因为点
AB＋AA1＋AD)2＝3a2，所以|AC1|＝
AC1＝a.4
所以AC12＝(
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