专题二　函数的概念与基本初等函数知识必备一、函数的概念及其表示1．函数设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数y＝f(x)，x∈A2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交.4．常用结论(1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R；(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义．如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)．二、函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数


图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M对于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值三、函数的奇偶性、周期性与对称性1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.3.函数的周期性（1）如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.（2）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).（3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.（4）函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).（5）对称性的三个常用结论①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.


1
2y＝x－1定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数
y=x
偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增 　在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减图象过定点(0,0)，(1,1)(1,1)2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－
b
2a，顶点坐标是
2
b4ac−b
(−,(顶点式f(x)＝a)x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)零点式f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝
2a4a
x+x
12
2(2)二次函数的图象与性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a0a0，当x时，恒有f(¿)0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是
a＝
1
n
-＝
nm
m
a (a>0，m，n∈N*，且n>1)；a0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：aras＝a r+s；(ar)s＝a rs；(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q.3.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a>100且a，1)的图象越高，底数越大.六、对数与对数函数1.对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga
��
a
��
M
N＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝
n
mlogaM(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：logbN＝
logN
a
log且(a，b均大于零b不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>100时，y >1；当x1；当x>0时，00，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，


重(结论要1)logab＝1logba；(2)logambn＝
n
mlogab.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R..在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数
逐渐对大..增数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，
1
��
数图，，函象-1
��
只在第一、四象限.七
a
��
、函数的图象1．利
用描点法作函数图象其基本
骤步、是列表、描点连线．首先
：(1)确定函数的定义域；(2)化简
函数解析式；(3)讨
，函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点论连象．2．函数图线的变换(1)平移
变换①y＝f(x)的图象――――――――→y＝f(x－a)的图象；②y＝f(x)的图象――――――――→y＝f(x)＋b的图象．“左
加右减，上加，下减”左加右减只针无x本身，与对的系数,x关，上加整减指的是下fx在体上加. (2)对称变换减①y＝f(x)的图象
⃗
关于x称轴对y＝－f(x)的图象；②y＝f(x)的图象
⃗
关于y对称轴y＝f(－x)的图象；③y＝f(x)的图象
⃗
关于原点对称y＝－f(－x)的图象；
图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当01时，y0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.5.常用结论.换底公式的两个


⃗
关于直线y=x对称y＝logax(a>0且a≠1)的图象．(3)伸缩
变换①y＝f(x)的图象―――――――――――――――――――→y＝f(ax)的图象．②y＝f(x)的图象――――――――――――――――――――→y＝af(x)的图象．(4)翻折
变换①y＝f(x)的图象――→y＝|f(x)|的图象；②y＝f(x)的图象――→y＝f(|x|)的图象．3．常用结论（1）．函数图象自身的轴对称①f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；②函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)；③若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝
a+b
2对称．（2）函数图象自身的中心对称①f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称；②函数y＝f(x)的图象关于(a,0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)；③函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．（3）两个函数图象
之的对称关系间①函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝
b−a
2对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；②函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；③函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；④函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．八
、函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，
我们把＝f ( x ) 使 0 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[
，a是b]上的图象连续不断的一条曲，线并且有f ( a )· f ( b )0Δ＝0Δ0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)( x1,0)无零点个数_2__1_0
④y＝ax(a>0且a≠1)的图象


、函数的模型应其及用1．几
类函数模型函数
模型函数解析式一次函数
模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数
模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数
模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为��