°,直线l2经过点A(2,-1),B(-3,4),则直线l1与l2的位置关系是(　　)A.垂直　　　　B.平行C.重合　　　　D.平行或重合3.(2022重庆西南大学附中月考)若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与方向向量为
a=(-5,5)的直线平行,则实数m的值是(　　)A.13B.−13C.2　　　　D.-2题组二　两条直线垂直4.(2023广东广州联考)已知直线l1,l2的斜率与方程x2+mx-2=0的两个根分别相等,则(　　)A.l1∥l2　　　　B.l1⊥l2C.l1与l2相交但不垂直　　　　D.l1与l2的位置关系不确定1
第二章　直线和圆的方程2.1.2　两条直线平行和垂直的判定基础过关练题组一　两条直线平行1.(2022云南曲靖期中)已知直线l1经过点A(-1,2),B(-1,4),直线l2经过点P(2,1),Q(x,6),且l1∥l2,则x=(　　)A.2　　　　B.-2C.4　　　　D.12.(2022山东青岛月考)若直线l1的倾斜角为135


7
0,
()与B(7,0)的直线l1与过点(2,1),(3,k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k等于(　　)A.-3　　B.3　　C.-6　　D.68.(2022广东江门八校联考)在直角梯形ABCD中,已知点A(-5,-10),B(15,0),C(5,10),AD是腰且垂直于两底,则顶点D的坐标为　　. 9.(2022四川泸州泸县五中月考)已知l1,l2不重合,直线l1经过点A(-2,m)和点B(m,4),直线l2的斜率为-2,直线l3的斜率为-
3
1
n,若l1∥l2,l2⊥l3,则m+n的值为　　　　. 10.(2022吉林长春外国语学校月考)已知在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).(1)求点D的坐标;2
5.(2022江西上饶六校联考)已知△ABC的三个顶点分别是A(2,3),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,则实数m=　　　　. 6.(2023河南郑州八校联考)(1)直线l1经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直;(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.题组三　两条直线平行和垂直的应用7.(2022浙江临海校级期中)过点A


2
3π,直线l1经过P(-2,
3),Q(m,0)两点,且直线l与l1垂直,则实数m的值为(　　)A.-2　　B.-3　　C.-4　　D.-52.已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若AB⊥CD,则m的值为(　　)A.1　　B.2　　C.±1　　D.-23.(2022山东日照实验高级中学段考)将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,点(2 021,2 022)与点(m,n)重合,则m+n=(　　)A.1　　B.2 023　　C.4 043　　D.4 0464.如图,在平面直角坐标系Oxy中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)是线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F,若BE⊥AC,求证:CF⊥AB.3
√
(2)试判断平行四边形ABCD是不是菱形.能力提升练题组一　直线的平行与垂直 1.(2022河北石家庄期中)已知直线l的倾斜角为


°,点P(2,1)在直线l上,将直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30
°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),则m等于(　　)A.
√3B.4+√3C.4-
√3D.−(36.(2022河北邢台月考)某县相邻两镇在同一平面直角坐标系中的位置分别为A(-3,-4),B√6,3),交通枢纽的位置为C(0,-1),计划经过C修建一条马路l(l看成一条直线,l的斜率为k).若A,B两个镇到马路l的距离相等,则k=　　　　;若A,B两个镇位于马路的两侧,则k的取值范围为　　　　. 7.(2023浙江衢州月考)已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0).(1)若点Q满足PQ⊥MN,PN∥MQ,求点Q的坐标;(2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.8.如图所示,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园的长为|AD|=5 m,宽为|AB|=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,问在BC上能否找到一点M,使得两条小路所在直线AC与DM相互垂直?4
题组二　直线平行与垂直的综合应用 5.(2022江苏淮安月考)已知直线l的倾斜角为30


5


°=-1,直线l2的斜率为4−(−1)−3−2=-1,∴直线l1与l2平行或重合.3.B　由直线的方向向量为
a=(-5,5)得该直线的斜率为5−5=-1,因此直线PQ的斜率为2m−23−(−m)=-1,解得m=-13.经检验,m=-13符合题意,故选B.易错警示　当两直线的斜率都存在时,由两直线平行可以推出两直线的斜率相等;但由两直线的斜率相等推不出两直线平行,此时还有可能重合.解题时要注意验证.4.C　由直线l1,l2的斜率k1,k2与方程x2+mx-2=0的两个根分别相等,可知k1·k2=-2,∴l1与l2不垂直.又Δ=m2+8>0,所以方程x2+mx-2=0有两个不等实根,所以l1与l2不平行,故l1与l2相交但不垂直.6
答案与分层梯度式解析第二章　直线和圆的方程2.1.2　两条直线平行和垂直的判定基础过关练1.A2.D3.B4.C7.B1.A　由A,B两点的坐标知l1的斜率不存在,又l1∥l2,所以l2的斜率也不存在,所以x=2.2.D　由题意得,直线l1的斜率为tan 135


a−5
−所以=-1,3a=0.综上所
述,a的值为0或5.7.B　由四边形内接于一个圆可得四边形的
对角互可.又由题补得∠AOB=90
7
0−
3k+1−1
°,所以l1⊥l2,所以
·
7−03−=3=-1,解得k2.故选B.8.答案　(-11,2)解析　设点D(x,y).由题意可知DC∥AB,DA⊥AB,直线AB的斜率存在且不为0,所以kDC=kAB,kDA·kAB=-1,7
5.答案　3解析　由题意知直线AD,BC的斜率均存在且AD⊥BC,则有kAD·kBC=-1,即1−3m−2·3−14−0=-1,解得m=3.6.解析　(1)易得直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l1⊥l2.(2)由题意知,直线l1的斜率k1可能不存在,直线l2的斜率k2一定存在.当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,解得a=5,此时k2=0,则l1⊥l2,满足题意;当直线l1的斜率存在时,a≠5,由斜率公式得k1=3−aa−2−3=3−aa−5,k2=a−2−3−1−2=a−5−3.由l1⊥l2知k1k2=-1,即3−aa−5×


y−100+10y+10
=
x−515+5①,x+×0+1015+55=-1②,由①②得x=-11,y=2.故顶点D的坐标为(-11,2).9.答案　-10解析　由题意可得,直线l1的斜率为4−mm+2,又直线l2的斜率为-2,且l1∥l2,所以4−mm+2=-2,解得m=-8.由于直线l3的斜率为-1n,l2⊥l3,所以-2×
(−1nn=-1,解得)=-2.所以m+n=-10.10.解析　 (1)由题意知,直线AB,BC的斜率均存在.设D(a,b),∵四边形ABCD为平行四边形,∴kAB=kCD,kAD=kBC,∴
{a=−1,b=6.∴D(-1,6).(2)连
{0−25−1=b−4a−3,b−2a−1=4−03−5,解得
4−2
接AC,BD.由题意(及1)得kAC=
3−=1,kBD1=6−0−1−5=-1.∵kAC·kBD=-1,∴AC⊥BD,∴平行四边形ABCD为菱形.能力提升练1.D2.C3.C5.B8
即


√3,直线l1的斜率为
3
√
−2−.∵直线lm与l1垂直,∴
3
√
3)=-1,解得m=-5.故选D.2.C　因为A,B两点的
√
−2−m·(-
纵A标不等,所以直线坐B与x轴不平行,因为AB⊥CD,所以CD与x轴不垂直,故m≠-3.当直线AB与x轴垂直时,-m-3=-2m-4,解得m=-1,而
当m=-1时,C,D两点的
纵D-1,所以直线CD∥x轴,此时AB⊥C坐标均为,满足题意.当直线AB与x轴不垂直时,由斜率公式得kAB=4−2−2m−4−(−m−3)=2−(m+1),kCD=3m+2−m3−(−m)=2(m+1)m+3.因为AB⊥CD,所以kAB·kCD=-1,解得m=1.综上,m的值为1或-1.3.C　
记(2,0),(-2,4)分别为A,B,则kAB=4−0−2−2=-1.由题意知,过点(2 021,2 022)和点(m,n)的直线与直线AB平行,所以n−2022m−2021=-1,整理
得m+n=2 021+2 022=4 043.故选C.4.证
a
明p,直线BP的斜率为-　由题意得b,直线AC的斜率为-
c,∵BE⊥AC,∴-pb·
(−ac=-1),即pa=-bc.9
1.D　由题知,直线l的斜率为tan23π=−


(−ab)=pabc=−bcbc=-1,∴CF⊥AB.5.B　如图,由题可知直线l1的倾斜角为30
°+30°=60l,则直线°1的斜率k1=tan 60
3.∵直线l2是线段AB的垂直平分线,∴直线AB的斜率kAB=−1k2=−
√3,由l1∥l2,得直线l2的斜率k2=√
°=
√33.∴
m−1−23
√
=−
3.故选B.6.答案　79或13;
√
1−m3,解得m=4+
(−∞,23　∪(1,+∞)解析)若A,B两个镇到马路l的距离相等,则有两
种情况:当l与直线AB平行时,k=−4−3−3−6=79;当l与直线AB相交时,直线l过线段AB的中点,又线段AB的中点为
31
,−
(,所以)k=10
22
又直线CP的斜率为-pc,直线AB的斜率为-ab,∴-pc·


1
−+1
2171−1+4
=.故k=或k=.易得kAC=
3393=13,kBC=3+16=23,若A,B两个镇位于马路的两侧,则k的取值范围为
−0
2
(−∞,23)∪(1,+∞).7.解析　(1)设Q(x,y),由已知得kMN=3,又PQ⊥MN,∴kPQ·kMN=-1,即
y
x−-×3=31①,由已知得kPN=-2,又PN∥MQ,∴kPN=kMQ,即-2=
y+1
立①②,解得x=0,y=1,∴Q(0,1).(2)设Q(x0,0).∵∠NQP=∠NPQ,∴kNQ=-kNP,又kNQ=
x−1②,联
2
2−x
0,kNP=-2,∴22−x0=2,解得x0=1,∴Q(1,0),又M(1,-1),∴MQ⊥x轴,故直线MQ的倾斜角为90
°.8.信息
提取　①四边形ABCD为矩形,|AD|=5 m,|AB|=3 m;②AC⊥DM,且M在BC上.数学建
模　以实际生活中在花园铺设小路为建背,景立标面直角坐平系,将
几何问题代数化,然后利用直线的斜率之积为-1建立以.解析　方程求解点B为坐标
⃗⃗
BC,为A的方向分别Bx轴,y轴的
原点,正方向建
立,.则C(5平面直角坐标系0),D(5,3),A(0,3).设M(x,0),0

3−03−0
·
0−55−-=x1,解得x=165=3.2,所以当|BM|=3.2 m时,两条小路所在直线AC与DM相互垂直.12
所以