3x-y+3=0与x轴的交点,将直线l绕点M旋转30
√
°,所得到的直线l'的方程为　　　　. 题组二　直线方程几种形式的相互转化4.(2022浙江嘉兴一中月考)直线
√3x+y+1=0的倾斜角为(　　)A.π6B.π3C.
2ππ
D.−
3山东济宁期中5.(20223)若直线3x+2y+6=0的斜率为k,在y轴上的截距为b,则(　　)A.k=-23,b=3　　　　B.k=-23,b=-21
第二章　直线和圆的方程2.2.3　直线的一般式方程基础过关练题组一　求直线的一般式方程1.(2022福建厦门期中)过点P(-1,2)且平行于直线l:2x-y+1=0的直线方程为(　　)A.x+2y-3=0　　　　B.x+2y-5=0C.2x-y=0　　　　D.2x-y+4=02.(2023广东深圳期中)直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+1=0垂直,则l的方程为(　　)A.3x+2y-1=0　　　　B.3x+2y+7=0C.2x-3y+5=0　　　　D.2x-3y+8=03.(2023辽宁沈阳二中期中)已知点M是直线l:


32
2,b=-3　　　　D.k=-2022,b=-36.(3山东济宁嘉祥一中期中)无论m为何值,直线mx-y+2m+1=0所过定点的坐标为(　　)A.(-2,-1)　　　　B.(2,-1)C.(-2,1)　　　　D.(2,1)7.(2022陕西渭南澄城期末)如果A·C0,则2a+1b的最小值为　　　　　. 10.(2022广东深圳宝安第一外国语学校月考,)已知直线l1:4
(1)求过点(2,3)且与直线l垂直的直线的方程;(2)若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4,求实数m的值.题组二　直线的一般式方程的应用5.(2022重庆八中期中)已知两定点A(-


k
2x-k+4,直线l2:2x+k2y-4k2-4=0(k≠0),若直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,则当k>4时,四边形面积的取值范围是　　　　. 11.已知直线l1:x+3y-5=0,l2:3kx-y+1=0.若l1,l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆,求k的值.5
y=


3=0或x−3y+3=0解析　在方程
√√√
3.∴M(-
√3x-y+3=0中,令y=0,得x=-√
3,0),易知直线l:
√
率为3x−y+3=0的斜√√3,则其倾斜角为60
°.若直线l绕点M逆时针旋转30
°得到直线l',则直线l'的倾斜角为90
+3,即x√√3=0;6
°,l'的方程为x=-
答案与分层梯度式解析第二章　直线和圆的方程2.2.3　直线的一般式方程基础过关练1.D2.A4.C5.C6.C7.C8.D9.A10.C11.C12.AC1.D　设所求直线方程为2x-y+t=0(t≠1),由点P(-1,2)在直线2x-y+t=0上,解得t=4,即2x-y+4=0.故选D.方法点拨　与直线Ax+By+C=0平行的直线的方程可设为Ax+By+m=0(m≠C).2.A　由直线l与直线2x-3y+1=0垂直,可设l的方程为3x+2y+t=0,由点(-1,2)在直线3x+2y+t=0上,解得t=-1,因此l的方程为3x+2y-1=0.故选A.方法点拨　与直线Ax+By+C=0垂直的直线的方程可设为Bx-Ay+m=0.3.答案　x+


°得到直线l',则直线l'的倾斜角为30
√33,∴l'的方程为y-0=
°,∴直线l'的斜率为
√33(x+
√-3,即x)√3y+3√=0.综上,直线l'的方程为x+
−3=0或x√√3y+旋3=0.易错警示　直线按顺时针√转和按逆时针旋转造成的倾斜角变化不同,要注意区分.4.C　将直线的方程
3x+y+1=0化为斜截式得y=−x3-1,因此直线的斜率k=-
√√
√3.设直线的倾斜角为α,则tan α=-α3.因为α∈[0,π),所以√=2π3.故选C.5.C　将直线的方程3x+2y+6=0化为斜截式为y=-
3
2x-3,所以k=-
3
2,b=-3.6.C　将直线方程mx-y+2m+1=0化为点斜式为y-1=m(x+2),所以直线过定点(-2,1).7.C　由题意得B≠0,则直线方程Ax+By+C=0化为斜截式为y=-ABx−CB,又A·C0,∴-AB0,∴直线通过第一、二、四象限,不通过第三象限.故选C.7
若直线l绕点M顺时针旋转30


xy
+
11
a=1(ab≠0),∴b三角形的面积S=12×
2∨ab∨¿
111
=
||||
¿.9.A　因为直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直,所以2a+4×(-5)=0,解得a=10.把(1,c)分别
ab
代入直线的方程,得a+4两c-2=0,2-5c+b=0,解得c=-2,b=-12.所以a+b+c=-4.故选A.方法点拨　直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0垂直的等
价k为A1A2+B1B2=0.10.C　∵l1:(条件-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,∴-2(k-3)=2(4-k)(k-3),解得k=3或k=5.当k=3时,l1:y+1=0,l2:-2y+3=0,满足直线l1与l2平行;当k=5时,l1:2x-y+1=0,l2:4x-2y+3=0,满足直线l1与l2平行.∴k=3或k=5.故选C.易错警示　已知直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0平行求
参,可令A1B2数=A2B1,但
是要注意检验并舍去使两直线重合的参.数值11.C　
显然△ABC为直角三角形,且BC为斜边,所以其欧拉线为斜边上的中线所在直线,易知线段BC的中点为(-3,1),设D(-3,1),所以AD所在直线的方程为y=-
1
3x,所以△ABC的欧拉线的一般式方程为x+3y=0.故选C.8
8.D　ax+by=1可化为


对然A,于a=-1时,直线l的方程为x-y+1=0,显当与x+y=0垂直,所以正确;对
于B,若直线l与直线x-y=0平行,则(a2+a+1)×(-1)=1×(-1),解得a=0或a=-1,此时直线l的方程为x-y+1=0,满足直线l与直线x-y=0平行,所以不正确;对
于C,当x=0时,y=1,所以直线l过定点(0,1),所以正确;对
于D,当a=0时,直线l的方程为x-y+1=0,其在x轴,y轴上的截距分别是-1,1,所以不正确.故选AC.能力提升练1.D5.C6.D7.C1.D　由集合A={(x,y)|(x+y+1)(2x-y+1)=0},可知集合A为点集,且点的坐标满足(x+y+1)(2x-y+1)=0.∵(x+y+1)(2x-y+1)=0,∴x+y+1=0或2x-y+1=0,易知x+y+1=0与2x-y+1=0表
示的是两条直线,且这两条直线上有无数个点,这
些集合A中的元素,∴点都是集合A中有无数个元素,故选D.2.答案　8x-15y+6=0解析　设直线l的倾斜角为θ,直线x-4y+3=0的倾斜角为α,则θ=2α,且tan α=
1
4,所以tan θ=tan 2α=2tanα1−tan2α=815,又l经过点P(3,2),所以可得直线l的方程为y-2=815(x-3),即8x-15y+6=0.9
12.AC　


存在时,不存点满足PA⊥PB的在P;当直线PA与PB的斜率
√3),则kPA=2a−3a+
均存,时,设P(a在2a-3)(a≠±
3,kPB=2a−√3a−3,因为PA⊥√PB,所以kPA+kPB=-1,即2a−3a·−·2a−3a√3整√3=-1,
6+√66−√6
或a=
理得5a2-12a+6=0,解得a=
5题,故满足5意的点P有2个.故选C.6.D　当sin2α=0时,直线l1的方程是x=-
2√3
存则,若l1⊥l2,在l2的斜率为0,倾斜角为0.10
3,其斜率不
3.答案　x-y+1=0解析　当线段AB最短时,AB⊥l,此时kAB=1.所以直线AB的方程为y=x+1,化为一般式为x-y+1=0.4.解析　(1)直线l:x-2y+2m-2=0的斜率为12,故所求直线的斜率为-2,因为所求直线过点(2,3),所以其方程为y-3=-2(x-2),即2x+y-7=0.(2)直线l与两坐标轴的交点分别为(-2m+2,0),(0,m-1),则所围成三角形的面积为12×|-2m+2|×|m-1|,由题意可知12×|-2m+2|×|m-1|=4,即(m-1)2=4,解得m=3或m=-1.5.C　当直线PA或PB的斜率不


−3
√
2
sin,若l1⊥lα2,则直线l2的斜率为
2
sinα
√33
(0,(0,π6
],故l2的倾斜角的取值范围为].综上,l2的倾斜角的取值范围是
3∈
√
[0,π6.]故选D.7.C　易得直线2x+y+2+λ(2-y)=0,与两坐标轴的交点分别为(-1-λ,0),
(0,2+2λλ−1,λ∈(1,+∞),故S(λ)=12()1+λ)×2+2λλ−1=λ−1+4λ−1+4≥2×2+4=8,当且
仅−λ-1=4λ当1,即λ=3时取等
号.故选C.8.答案　3x-2y=0(答案不
唯)解析　易知直线2一x+3y+5=0的斜率为-
2
3.因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直,所以直线l的斜率为32.因为直线l不过第二象限,所以直线l在y轴上的截距小于或等于0,故满足题意的直线l的方程可以为3x-2y=0,此答案不
唯一.9.答案　3+2
√2解析　因为l1⊥l2,所以(a-2)×3+(-3)×[-(b+1)]=0,即a+b=1.因为a,b>0,所以2a+1b=
2ba
2ba
+
·=3+2√2,11
(2a+1b)(a+b)=2+1+
ab≥3+2
√ab
当sin2α≠0时,直线l1的斜率为


√2,b=√2-1时,等
仅2b当a=ab,即a=2-号成立,所以2a+1b的最小值为3+2
√2.10.答案　
(174,8解析　直线)l2的方程可化为y=-
24
x+
2+4.当2k>4时,k2>0,-2k20.易知l1,l2均
kk
8
2−,0
点定点(2,4),直线l1与x轴交于过(,直线l)2与y轴交于点
k
4
0,+4
2
(,∴四边形的面积)S=12×2×
k
2-16×
81
2+2−=4
(4k2+4−4)+12×4×()()
kk
2-8,∵k>4,∴0<
11
+8=4−2
()
kk
11
<
(174,8).11.解析　如
k4,∴S∈
图示,直线l1:x+3所y-5=0分别交x轴,y轴于A,B两点,直线l2:3kx-y+1=0过定点C(0,1).由点C在线段OB上知l2⊥l1或l2与x轴交于D点,且∠BCD+∠BAD=180
°.12
当且


°得∠BAD=∠OCD.设直线l1的倾斜角为α1,l2的倾斜角为α2,则α1=180
°-∠BAD,α2=90
°+∠OCD,∴α1=180=180-∠BA°D°-∠OCD=180°-(α2-90
°)=270∴-α2,°tan α1=tan(270
sin(90°−α)cosα
1
22
==
90-α2)=tan(°°-α2)=
cos(90°−α)sinαtanα
22·,∴tanα12tan α2=1,∴-
1
3×3k=1,解得k=-1.综上,k的值为±1.13
①由l1⊥l2知1×3k+3×(-1)=0,解得k=1.②由∠BCD+∠BAD=180