√1−(y+1)2表示的曲线是(　　)A.一个圆　　　　B.两个半圆C.两个圆　　　　D.半圆2.(2022河南省实验中学月考)方程x=
2表示的图形是()A.两个半圆　　　　B.两个圆C.圆　　　　D.半圆3.(2023浙江杭州期中)圆(x+2)2+(y-3)2=5的圆心坐标、半径分别是(　　)A.(2,-3),5　　　　B.(-2,3),5C.(-2,3),
1−y
√
√3　　　　D.(5,-2),√5题组二　求圆的标准方程4.(2023四川成都期中)在平面直角坐标系中,圆心为(1,-3),半径为2的圆的标准方程为(　　)A.(x-1)2+(y+3)2=4　　　　B.(x-1)2+(y+3)2=2C.(x+1)2+(y-3)2=4　　　　1
第二章　直线和圆的方程2.4　圆的方程2.4.1　圆的标准方程基础过关练题组一　认识圆的方程1.(2023广东广州仲元中学月考)方程|x-1|=


°,cos 30°)与圆x2+y2=12的位置关系是(　　)A.点在圆上　　　　B.点在圆内C.点在圆外　　　　D.不能确定2
D.(x+1)2+(y-3)2=25.(2023黑龙江伊春期中)与圆C:(x-1)2+y2=36同圆心,且面积等于圆C面积一半的圆的方程为(　　)A.(x-1)2+y2=18　　　　B.(x-1)2+y2=9C.(x-1)2+y2=6　　　　D.(x-1)2+y2=36.已知圆的一条直径的端点分别是A(-1,0),B(3,-4),则该圆的标准方程为(　　)A.(x+1)2+(y-2)2=8　　　　B.(x-1)2+(y+2)2=8C.(x+1)2+(y-2)2=32　　　　D.(x-1)2+(y+2)2=327.(2023湖南常德期中)已知△AOB的顶点分别为A(2,0),B(0,4),O(0,0).则△AOB外接圆的标准方程为　　　　　. 8.(2021黑龙江鹤岗一中月考)若一圆的圆心坐标为(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则此圆的标准方程是　　　　　　. 9.(2022湖南常德淮阳中学期中)已知点A(1,-2),B(-1,4),求:(1)过点A,B且周长最小的圆的标准方程;(2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.题组三　点与圆的位置关系10.(2022吉林白城一中段考)点(sin 30


19
B.−10),因为圆过点A(2,0),B(0,4),O(0,0),所以
{a=1,b=2,r2=5,则圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.解法二:由题得,kOA=0,线段OA的中点坐标为(1,0),lOA的中垂线方程为x=1,同理lOB的中垂线方程为y=2,联立两中垂线方程得△AOB外接圆的圆心为(1,2),利用两点间距离公式可求出圆心到点O的距离为
{(2−a)2+(0−b)2=r2,(0−a)2+(4−b)2=r2,(0−a)2+(0−b)2=r2,解得
5,即半径为,故圆的标准方程为(5x-1)2+(y-2)=5.解后反思　三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等,是三角形三边的中垂线的交点.8.答案　(x-2)2+(y+3)2=136
√√
5.A　圆C:(x-1)2+y2=36的圆心坐标为(1,0),半径为6,则所求圆的圆心为(1,0),根据所求圆的面积为圆C面积的一半可知所求圆的半径为3


√13.因为圆心坐标为(2,-3),所以所求圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=13.9.解析　(1)当AB为直径时,过点A,B的圆的周长最小.易知线段AB的中点为(0,1),|AB|=2
√10,故所求圆的圆心为(0,1),半径为12∨AB∨¿
√10,故所求圆的标准方程为x2+(y-1)2=10.(2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则
得(1−a)2+(−2−b)2=r2,(−1−a)2+(4−b)2=r2,2a−b−4=0,解{{a=3,b=2,r2=20,∴圆的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=20.10.C　因为sin230
√32
°+cos230°=
(12)2+(12=)>12,所以点在圆外.11.B　∵点(2a,a-1)在圆x2+(y-1)2=13的内部,∴(2a)2+(a-1-1)24,所以点A(-1,-1)在圆外.7
解析　易知此直径两端点的坐标分别为(4,0),(0,-6),可得圆的半径为


22
(0+1)+(−4+1)=10,所以
√
√
√10+2,最小值为|AC|-r=10-2.能力提升练1.C2.C3.AD4.B5.D1.C　解法一:设C(√x,y),则|CA|2+|CB|2=|AB|2,∴(x+3)2+y2+(x-7)2+y2=100,∴(x-2)2+y2=25.∵A,B,C三点构成三角形,∴y≠0.∴直角顶点C的轨迹方程是(x-2)2+y2=25(y≠0).解法二:依题意得,直角顶点C在以AB为直径的圆上运动,且点C与点A,B不重合.易知线段AB的中点坐标为(2,0),|AB|=10,所以直角顶点C的轨迹方程为(x-2)2+y2=25(y≠0).故选C.易错警示　若A,B,C三点能构成三角形,则三点不共线,在设点的坐标以及求出方程后注意排除不满足题目要求的取值.2.C　圆(x-1)2+(y+2)2=9的圆心坐标为(1,-2),半径为3,设点(1,-2)关于直线x+y-1=0的对称点为(m,n),则
√(x+1)2+(y+1)2的最大值为∨AC∨+r=
{m=3,n=0,则圆(x-1)2+(y+2)2=9关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心坐标为(3,0),则该圆的方程为(x-3)2+y2=9.故选C.8
{n+2m−1=1,m+12+n−22−1=0,解得
又|AC|=


√5,点(2,1)在圆上,得(2-a)2+(1+a)2=5,解得a=0或a=1,∴所求圆的方程为x2+y2=5或(x-1)2+(y+1)2=5.故选AD.4.B　易知|
2222
⃗⃗⃗⃗⃗
OC∨¿aOA+bOB+2ab·OA·OB,∵
√
2,又C2在圆上,∴|
⃗⃗⃗⃗
⃗
OA⊥OB,|OA∨¿∨OB|=1,∴|
OC∨¿√a+b
⃗OC|=1,∴
√a2+b2=1,∴|OP|=
2=1,又单位圆的半径为1,∴点P一定在单位圆上.故选B.5.D　由题意得2(2sin θ-3)2+(2cos θ-4)2[(2sin θ-3)2+(2cos θ-4)2]max.(2sin θ-3)2+(2cos θ-4)2=4sin2θ-12sin θ+9+4cos2θ-16cos θ+16=29-12sinθ-16cos θ=29-20sin(θ+φ),其中tan φ=43.∵-1≤sin(θ+φ)≤1,∴9≤29-20sin(θ+φ)≤49,∴m>49.故选D.6.答案　
a+b
√
22
335
x−+y−=
()()
22解析　对于y=x2-3x2+2,令x=0,则y=2;令y=0,则x=1或x=2.所以抛物线y=x2-3x+2与坐标轴的三个交点分别为(0,2),(1,0),(2,0).设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则
222
a+(2−b)=r,
33
222
解得a=
(1−a)+b=r,
2,b=,r22=52,故所求圆的方程为
{222
(2−a)+b=r,
22
335
x−+y−=
()()
222.9
3.AD　由题意及圆的对称性可得圆心在直线x+y=0上,设圆心坐标为(a,-a).由圆的半径为


y+1=0,x=0,
解得
{{
x+y+1=0,y=−所以△ABC内切圆的圆心坐标为(0,-11,).设内切圆的半径为r,圆心到直线BC的距离为d,则r=d=
10
√
¿
¿0+3×(−1)−2∨=
2
10
√
¿,故内切圆的方程为x2+(y+1)2=52.解题关键　三角形内切圆的圆心是三角形三条内角平分线的交点.8.解析　(1)当a=2时,A(2,0),此时线段AB的中点坐标为(0,1),线段BC的中点坐标为
55
−,
(,∴线段AB)的中垂线方程为y-1=-
22
−2−2
2−-(x00),即y=2x+1,线段BC的中垂线方程为y-52=−−3+23−2·
(x+52即,)y=x+5.联立
22
(4+2)+(9−2)=√x,∴圆M的标准方程为(85-4)2+(y-9)2=85.10
√
{y=2x+1,y=x+5,得4,x={y=9,即圆心M(4,9),∴|BM|=
7.解析　(1)设点A关于l1对称的点为A1,点A关于l2对称的点为A2,则A1(-1,1),A2(2,0),边BC所在直线即为直线A1A2,即x+3y-2=0.(2)由题意可知,△ABC的内切圆的圆心即为l1,l2的交点,联立l1,l2的方程,得


(a−22,1的中,∴线段AB)垂线方程为y-1=-−2−a2−0·
2
a+2a−8
x−
2x−a−2(),即y=
2B.由(1)知线段4C的中垂线方程为y=x+5.联立
2
a+12
2
x=,
a+2a−8
y=x−,2a
得
24
2
a+10a+12
{
{
y=x+5,
y=,即圆心M
2a
22
a+12a+10a+12
,
(,∴|)BM|2=
2a2a
+12
2
a¿
¿
22
¿2+10a(a+12)+26a
¿
¿,∴圆M的面积S=π|BM|2=
2
π1212
a++10a+
3,当且仅当a=2
√
()(a+26.∵)+12a≥4
2aa
3时,等号成立,a∈N*,∴当a=3或a=4时,a+12a有
√
最小值,此时S最小.11
(2)∵A(a,0),B(-2,2),∴线段AB的中点坐标为