专题强化练4　直线系方程及其应用1.(2023河北保定期中)无论实数k取何值,直线kx+y+2=0都过定点,则该定点的坐标为(　　)A.(0,-2)　　　　B.(0,2)C.(2,0)　　　　D.(-2,0)2.(2023河南部分名校联考)已知直线x+ky-2-3k=0恒过定点Q,Q点在直线l上,则l的方程可以是(　　)A.x+y-4=0　　　　B.2x-y-1=0C.3x+y-8=0　　　　D.x+2y-7=03.(2022山东滨州期末)若直线l经过两条直线x-y+1=0和2x+3y+2=0的交点,且平行于直线x-2y+4=0,则直线l的方程为(　　)A.x-2y-1=0　　　　B.x-2y+1=0C.2x-y+2=0　　　　D.2x+y-2=04.(2023北京中央美术学院附属实验学校期中)已知直线l经过两条直线l1:x+2y-6=0和l2:2x-y+3=0的交点.若l与直线4x-2y-3=0互相垂直,则直线l的方程为　　　　　　;若l与直线4x-2y-3=0互相平行,则直线l的方程为　　　　　　. 5.(2023四川成都嘉祥教育集团期中)在平面直角坐标系中,直线l1:x-y-1=0与直线l2:2x+y-5=0相交于点Q.若直线l经过点Q,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为　　　　　　. 6.若直线l经过直线l1:2x+3y+2=0与l2:3x-4y-2=0的交点,且与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,求直线l的方程.1


7.(2023黑龙江哈尔滨第二十四中学期中)已知直线l经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交点,且　　　　.试从所给的两个条件中任选一个补充在上面的问题中,并完成解答. ①与直线2x-y-1=0平行,②直线l在x轴上的截距为-12.(1)求直线l的方程;(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形面积.8.(2023辽宁省实验中学月考)已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点.(1)若点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.9.(2023辽宁大连二十三中期中)已知直线l:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.(1)求证:无论m为何实数,直线l恒过一定点M;2


⃗AP=2PB,过点⃗P作平行于x轴的直线交y轴于点M,动点E,F分别在线段MP和OA上,若直线EF平分直角梯形OAPM的面积,求证:直线EF必过一定点,并求出该定点坐标.答案与分层梯度式解析专题强化练4　直线系方程及其应用1.A2.B3.B3
(2)若直线l与直线x+y-4=0交于点P,与直线x-y=0交于点Q,且线段PQ的中点是(1)中的定点M,求直线l的方程.10.(2022江西师大附中月考)如图,直线l过点P(2,1)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点.(1)若点P为线段AB的中点,求直线l的方程;(2)若点P在线段AB上,且满足


x=0,x=0,
解得
{{
y+2=0,y=−线∴定点的坐标为(0,-2).故选A.名师指点　几种常见的直线系方程:(1)过已知点P(x0,y0)的直2,系方程为y-y0=k(x-x0)(k为参数),但此方程不能表示直线x=x0.(2)斜率为k的直线系方程为y=kx+b(b是参数).(3)与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线系方程为Ax+By+λ=0(A,B不同时为0,λ≠C).(4)与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线系方程为Bx-Ay+λ=0(A,B不同时为0).(5)过直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为参数),但此方程不能表示直线l2.2.B　直线x+ky-2-3k=0,即x-2+k(y-3)=0,令
x−2=0,x=2,
解得
{{
y−3=0,y=根据点故Q(2,3),3,Q的坐标逐个验证各选项知,B正确.3.B　解法一:联立
x−y+1=0,x=−1,
解得
{{
2x+3y+2=0,y=1∴直线l过点(-0,,0),又∵直线l与直线x-2y+4=0平行,∴直线l的斜率为12,∴直线l的方程为y=12(x+1),即x-2y+1=0.解法二:设所求的直线方程为(x-y+1)+λ(2x+3y+2)=0,即(1+2λ)x+(3λ-1)y+1+2λ=0.4
1.A　在kx+y+2=0中,令


{x+2y−6=0,2x−y+3=0,解得x=0,y=3,故l1与l2的交点为(0,3).设与直线4x-2y-3=0垂直的直线方程为x+2y+m=0,则0+6+m=0,解得m=-6,{故所求直线方程为x+2y-6=0.设与直线4x-2y-3=0平行的直线方程为4x-2y+n=0(n≠-3),则0-2×3+n=0,解得n=6,故所求直线方程为2x-y+3=0.5.答案　x-2y=0或x+y-3=0解析　解法一:联立
{x−y−1=0,2x+y−5=0,解得x=2,y=1,{所以Q(2,1).当直线l在两坐标轴上的截距均为0时,直线l过原点,这时直线l的方程为y=12x,即x-2y=0;当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时,设其方程为x+y=a,将Q(2,1)代入可得2+1=a,即a=3,所以直线l的方程为x+y-3=0.综上所述,直线l的方程为x-2y=0或x+y-3=0.解法二:∵直线l过直线l1:x-y-1=0与直线l2:2x+y-5=0的交点Q,∴可设其方程为2x+y-5+λ(x-y-1)=0,整理可得(2+λ)x+(1-λ)y-(5+λ)=0.5
∵该直线与直线x-2y+4=0平行,∴-2(1+2λ)=3λ-1,解得λ=-17.∴所求直线方程为x-2y+1=0.4.答案　x+2y-6=0;2x-y+3=0解析　由


x+y−4=0,x=1,
解得
{{
x−y+2=0,y=3即P(1,3,).∵直线l与直线2x-y-1=0平行,∴可设直线l的方程为2x-y+m=0(m≠-1),把(1,3)代入可解得m=1,故直线l的方程为2x-y+1=0.选②,设两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交点为P,联立
x+y−4=0,x=1,
解得
{{
x−y+2=0,y=3,即P(1,3).由题意可知直线l的斜率存在,设其为k,且k≠0,则l:y-3=k(x-1),由题知直线l过点
0−12,(),6
当直线l在两坐标轴上的截距均为0时,直线l过原点,此时λ=-5,直线l的方程为x-2y=0;当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时,有5+λ2+λ=5+λ1−λ,解得λ=-12,此时直线l的方程为x+y-3=0.综上所述,直线l的方程为x-2y=0或x+y-3=0.6.解析　由题可设直线l的方程为2x+3y+2+m(3x-4y-2)=0,即(2+3m)x+(3-4m)y+2-2m=0.∵直线l与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,∴直线l的斜率为±1.∴2+3m=±(3-4m),解得m=17或m=5.∴直线l的方程为17x+17y+12=0或17x-17y-8=0.7.解析　(1)选①,设两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交点为P,联立


(−12−1,解得k=2,故直线l的方程为2)x-y+1=0.(2)由(1)可知,直线l:2x-y+1=0,令x=0,解得y=1,令y=0,解得x=-12,故所求三角形面积S=12×1×12=14.8.解析　(1)设直线l的方程为2x+y-5+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,所以¿10+5λ−5∨¿
√(2+λ)2+(1−2λ)2¿=3,即2λ2-5λ+2=0,所以λ=12或λ=2.所以l的方程为x=2或4x-3y-5=0.(2)设直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点为P,由
2x+y−5=0,x=2,
解得
{{
x−2y=0,y=P故1,(2,1),如图,过P任作直线l,设d为点A到直线l的距离,则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).所以dmax=|PA|=
√(5−2)2+(−1)20=√10.7
故有0-3=k


{x−2y−3=0,2x+y+4=0,解得x=−1,{y=−2,故无论m为何实数,直线l恒过一定点M(-1,-2).(2)联立
{(2+m)x+(1−2m)y+4−3m=0,x+y−4=0,解得
11m−8
x=,
11m−8m+12
3m+1
故P,
().联立
m+123m+13m+1
{
y=,
3m+1
{(2+m)x+(1−2m)y+4−3m=0,x−y=0,解得
(3m−43−m,3m−43−m.)由于线段PQ的中点是(1)中的定点M,由(1)知M(-1,-2),所以m+123m+1+3m−43−m2=-2,且11m−83m+1+3m−43−m2=-1,解得m=112,故直线l的方程为3x-4y-5=0.10.解析　由题可设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0,(1)若P为线段AB的中点,则
{x=3m−43−m,y=3m−43−m,故Q
{a=4,b=2,8
{a2=2,b2=1,解得
9.解析　(1)证明:直线l:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0,即(x-2y-3)m+(2x+y+4)=0,令


⃗⃗
AP=(2-a,1),BP=(-2,b-1),由
2AP=⃗⃗PB得
{2−a=−4,1=2(b−1),解得
{a=6,b=32,故A(6,0),B
(0,32形.所以S梯)OAPM=12×(6+2)×1=4.设E(m,1),F(n,0),m>0,n>0,则S梯形OMEF=12×(m+n)×1=2,即m+n=4,直线EF的方程为
y−0x−n
x-n-(m-)ny=0,将
1−0=m−n,即
=4-m入n代直线得F的E程方x-n-(4-2)n=0,即y2n(+-1y)4x-
y=0,令
EF必过定点2,(12).9
{2y−1=0,x−4y=0,解得
{x=2,y=12,所以直线
所以直线l的方程为x4+y2=1,即x+2y-4=0.(2)