.82C.8D√√21
第二章　直线和圆的方程2.5.2　圆与圆的位置关系基础过关练题组一　圆与圆的位置关系1.(2023福建宁德期中)圆(x-2)2+(y-2)2=1与圆(x+1)2+(y+2)2=25的位置关系是(　　)A.相切　　　　B.相交C.内含　　　　D.外离2.(2023天津铁厂第二中学期中)若圆x2+4x+y2=0与圆(x-2)2+(y-3)2=r2(r>0)有三条公切线,则r=(　　)A.5　　B.4　　C.3　　D.23.(2022四川南充阆中中学期中)已知点M在圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4上,点N在圆C2:(x-1)2+(y+2)2=4上,则|MN|的最大值是(　　)A.5　　B.7　　C.9　　D.114.(2022山东枣庄期末)已知圆O1的方程为(x-a)2+(y-b)2=4,圆O2的方程为x2+(y-b+1)2=1,其中a,b∈R.那么这两个圆的位置关系不可能为(　　)A.外离　　　　B.外切　　C.内含　　　　D.内切5.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆圆心的距离等于(　　)A.4　　B.4


√2.求圆O2的方程.2
6.(2023山东四市联考)我们把圆心在一条直线上且相邻圆彼此外切的一组圆叫作“串圆”.在如图所示的“串圆”中,圆A的方程为x2+(y-1)2=2,圆C的方程为(x-6)2+(y-7)2=2,则圆B的方程为　　　　　　. 题组二　两圆的公共弦问题7.(2023江苏常州二中期中)圆O1:x2+y2-4x+6y+2=0和圆O2:x2+y2-2x=0的公共弦AB的垂直平分线的方程为(　　)A.3x-y-3=0　　　　B.x+3y-1=0C.x+3y+1=0　　　　D.3x+y-3=08.已知圆C1:x2+y2-4x+2y=0与圆C2:x2+y2-2y-4=0相交于A,B两点,则圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上的动点P到直线AB的距离的最大值为　　　　. 9.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心为O2(2,1).(1)若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程,并求它们的内公切线方程;(2)若圆O2与圆O1交于A,B两点,且|AB|=2


2B.−3-C.6　　　　D.262.已知圆C1:x2+y2=4与x轴交于A,B两点,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=a,若圆C2上存在点P使得∠APB=90
√√
°,则a的取值范围是(　　)A.[7,+∞)　　　　B.[9,+∞)C.[9,49]　　　　D.[3,7]3.(2023浙江湖州六校联考)在平面直角坐标系Oxy中,若圆C1:(x-2)2+(y-1)2=4上存在点M,且点M关于直线x+y+1=0的对称点N在圆C2:(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)上,则r的取值范围是(　　)A.[
17+2]　　　　B.[2
√17-2,√
√2-2,2√2+2]C.[
√13-2,13√+2]　　　　D.[
√5-2,√.+2]45(多选题)(2023山东烟台期中)圆C1:x2+y2+2x-6y+6=0与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0相交于A,B两点,则(　　)A.直线AB的方程为4x-4y+5=0B.公共弦AB的长为
14
√
8C.圆C1与圆C2的公切线的长为
√73
能力提升练题组一　圆与圆的位置关系 1.(2023浙江省舟山中学月考)已知圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与圆C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)恰有三条公切线,则a+b的最小值为　()A.3


D.线段AB的中垂线方程为x+y-2=05.(2023江苏省金湖中学、洪泽中学联考)在平面直角坐标系Oxy中,已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆M:(x-6)2+y2=4.(1)若圆O与圆M有公共点,求r的取值范围;(2)求过点H(4,3)且与圆M相切的直线l的方程;(3)当r=2时,设P为平面上的定点,且满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆O和圆M相交,且直线l1被圆O截得的弦的长与直线l2被圆M截得的弦的长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.题组二　圆与圆的位置关系的综合运用6.(2023河南安阳期中)已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆C:x2+y2+8x+6y+16=0交于A,B两点,且四边形OACB的面积为3r,则|AB|=(　　)A.95B.165C.245D.3657.(多选题)(2023广东深圳实验学校期中)已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则下列结论正确的是(　　)A.x1+x2=a,y1+y2=b　　　　4


.45+4B√√5-3C.2
√5+2　　　　D.99.(2022江苏苏州期中)如图,已知圆C1:x2+(y-s)2=s2(s>0)内切于圆C2:x2+(y-t)2=t2(t>0),直线l:y=kx(k>0)分别交圆C1,C2于点A,B(A,B在第一象限内),过点A作x轴的平行线交圆C2于M,N两点(N在第一象限内),若点A既是线段OB的中点,又是线段MN的三等分点,求k的值.10.(2022湖北黄冈期中)已知圆C过点M(1,4),N(3,2),且圆心在直线4x-3y=0上.(1)求圆C的方程;5
B.00),得圆心坐标为(2,3),半径为r.∵圆x2+4x+y2=0与圆(x-2)2+(y-3)2=r2有三条公切线,∴两圆外切,∴
2,=2+r,即5=2+r2∴r=3.故选C.7
(−2−2)+(0−3)
√
答案与分层梯度式解析第二章　直线和圆的方程2.5.2　圆与圆的位置关系基础过关练1.B2.C3.C4.C5.C7.D1.B　圆(x-2)2+(y-2)2=1的圆心坐标为(2,2),半径为1,圆(x+1)2+(y+2)2=25的圆心坐标为(-1,-2),半径为5,则两圆圆心距为


√¿=5>r1+r2=4,所以两圆外离,从而|MN|的最大值为5+2+2=9.故选C.4.C　根据题意,圆O1的圆心为O1(a,b),半径r=2,圆O2的圆心为O2(0,b-1),半径R=1,所以r+R=3,r-R=1,因为|O1O2|=
√a2+1≥1,所以|O1O2|≥r-R,故两圆的位置关系不可能是内含.故选C.5.C　∵两圆都与两坐标轴相切,且都经过点(4,1),∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b),a>0,b>0,则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,∴a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2,即x2-10x+17=0的两个实数根,∴a+b=10,ab=17.∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,∴|C1C2|=
22
(a−b)+(a−b)=32×2=8.6.答案　(x-3)2+(y-4)2=8解析　依题意可得,A(0,1),C(6,7),且B为线段AC的中点,所以B(3,4).又|AC|=6
√
√
√2,圆A,圆C的半径都是√,所以圆B的半径r2=2√2.8
3.C　由题意知圆C1的圆心为(-3,1),半径r1=2;圆C2的圆心为(1,-2),半径r2=2,所以两圆的圆心距d=(−3)1−¿¿¿


√22+1解析　圆C1:x2+y2-4x+2y=0与圆C2:x2+y2-2y-4=0的方程相减,可得x-y-1=0,即直线AB的方程为x-y-1=0.圆C:(x+3)2+(y-3)2=1的圆心为C(-3,3),半径r=1,点C(-3,3)到直线AB的距离d=¿−3−3−1∨¿
√22¿,则圆C上的动点P到直线AB的距离的最大值为d+r=
√2=7
72
√
2+1.9.解析　(1)由圆O1的方程可得其圆心为O1(0,-1),半径r1=2,设圆O2的半径为r2(r2>0),由题意可得|O1O2|=
22
2+(1+1)=2√,由两圆外切可得r1+r22=|O1O2|,即2+r2=2
√
√2,可得r2=22-2,所以圆O2的方程为√(x-2)2+(y-1)2=(2
√2-2)2.9
故圆B的方程为(x-3)2+(y-4)2=8.7.D　圆O1:x2+y2-4x+6y+2=0可化为(x-2)2+(y+3)2=11,其圆心为O1(2,-3),圆O2:x2+y2-2x=0可化为(x-1)2+y2=1,其圆心为O2(1,0),由于O1O2垂直平分弦AB,所以所求直线即为直线O1O2,因为kO1O2=−3−02−1=-3,所以两圆的公共弦AB的垂直平分线的方程为y-0=-3(x-1),即3x+y-3=0.故选D.8.答案　7


√2=0,即内公切线方程为x+y+1-2
√2=0.(2)设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0).将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在直线的方程,即4x+4y+r2-8=0,O1(0,-1)到直线AB的距离d=
2
¿
¿r−12∨
42
√
2
¿
¿−4+r−8∨=¿
22
4+4
√
¿,由弦长|AB|=2
2
¿
¿r−12∨
4√2
2
¿
4−d=2得,可2d2=2,即
√√
¿
¿
¿=2,可得r2=4或r2=20,所以圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.方法归纳　将两圆方程作差得直线方程时,若两圆外切,则此直线方程是两圆的内公切线方程;若两圆内切,则此直线方程是两圆的外公切线方程;若两圆相交,则此直线方程是两圆公共弦所在的直线方程.能力提升练1.B2.C3.D4.ACD6.C7.ACD8.B1.B　圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0可化为(x+a)2+y2=4,其圆心为(-a,0),半径r1=2.圆C2:x2+y2-2by-1+b2=0可化为x2+(y-b)2=1,其圆心为(0,b),半径r2=1.由题意知两圆外切,∴
√a2+b2=3,得a2+b2=9.∵a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号成立),(a+b)2-2ab=a2+b2=9,∴(a+b)2=9+2ab≤9+9=18,∴-3
32≤a+b≤√√2,10
将圆O1与圆O2的方程作差,可得x+y+1-2


√2.故选B.2.C　由题意可得AB为圆C1的直径,要使圆C2上存在点P使得∠APB=90
°,只需两个圆有交点即可.由题意知两圆圆心距|C1C2|=
2=5,而圆C1的半径r12=2,圆C2的半径r2=
3+4
√
√所以,a|r1-r2|≤5≤r1+r2,即|2-
a|≤5≤2+
√√a,可得3≤
a≤7,可得9≤a≤49.故选C.3.D　设圆C1:(x-2)2+(y-1)2=4关于直线x+y+1=0对称的圆为C0:(x-a)2+(y-b)2=4,则
√
a+2b+1
++1=0,
22a=−2,
解得
{
b−1b=−+故C0:(x+2)23,(y+3)2=4.由题意可知,圆C0:(x+2)2+(y+3)2=4与圆C2:(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)有交点,圆C0与圆C2的圆心分别为C0(-2,-3),C2(-1,-1),半径分别为2,r,则两圆圆心距|C0C2|=
{
=1,
a−2
22
(−2+1)+(−3+1)=5,则满足|r-2|≤
√
√
5+2.∴r的取值范围是[
√5≤r+2,解得√5-2≤r≤√
5-2,
√5+2].√故选D.4.ACD　圆C1与圆C2的方程相减可得直线AB的方程,即为4x-4y+5=0,故A正确;11
∴a+b的最小值为-3


√144,故B错误;圆C1:x2+y2+2x-6y+6=0的圆心为C1(-1,3),半径r1=2,由|C1C2|=
54−4+()2=
√16+16
√1−
22
(−1−1)+(3−1)=2,r12=2,r2=1,可得公切线的长度为
√√
2
2
(22)−(2−1)=B,故C正确;易知线段A7的中垂线为直线C1C2,其方程为y-1=
√√√
3−1
−1−(x-1),即x+y-2=0,故D1正确.故选ACD.5.解析　(1)因为圆M与圆O有公共点,所以|r-2|≤|MO|=6≤r+2,即4≤r≤8.故r的取值范围为[4,8].(2)当直线l的斜率不存在时,其方程为x=4,符合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-3=k(x-4),即kx-y+3-4k=0,因为直线l与圆M相切,所以¿2k+3∨¿
√k2+1¿=2,解得k=-512,此时直线l的方程为5x+12y-56=0.综上,直线l的方程为x=4或5x+12y-56=0.(3)设点P的坐标为(m,n).由题可设直线l2与l1的方程分别为y-n=k(x-m),y-n=-
1
k(x-m),即kx-y+n-km=0,-1kx−y+n+1km=0.因为直线l1被圆O截得的弦的长与直12
圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0的圆心为C2(1,1),半径r2=1,则|AB|=2


点O到直线l1的距离与圆心M到直线l2的距离相等,故有
¿
¿6k+n−km∨
2
k+1
√
1
n+m
||
k
=6,即(¿-m-n)k=m-n或(6-m+n)k=-m-n,由题知此关于k的方程有无穷多个解,故有
1
+1
2
k
√
=6−m−n−0,m{n=0或{6−m+解n=0,−m−n=0,得{m=或3,n=33m=3,n=−3,故点P的坐标为(3,3)或(3,-{).6.C　圆C:x2+y2+8x+6y+16=0的圆心为C(-4,-3),半径为3.圆O与圆C的方程相减可得直线AB的方程,即为8x+6y+16+r2=0,由弦长公式可得|AB|=2
2
¿
¿−32−18+16+r∨
64+36
√
¿
¿
2
¿
¿
−34
2
r¿
¿
¿2
¿
¿
9−¿
√⊥.易知OC¿AB,且|OC|=5,又四边形OACB的面积为3r,故3r=12|AB|·5,即|AB|=6r5,13
线l2被圆M截得的弦的长相等,两圆半径相等,所以由垂径定理可得,原


−34
2
r¿
¿
¿2
值则),舍去|AB|=245.故选C.7.ACD　设