√10=0　　　　D.x2+y2+2x-2y+2-
√10=01
第二章　直线和圆的方程2.4.2　圆的一般方程基础过关练题组一　二元二次方程与圆的关系1.(2023陕西咸阳普集高中期末)若方程x2+y2-2y-m=0表示的图形是圆,则实数m的取值范围为(　　)A.(-∞,1)　　　　B.(1,+∞)C.(-∞,-1)　　　　D.(-1,+∞)2.(2022湖北武汉部分重点中学期中)若圆C:x2+y2-2(m-2)x+2(m-2)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值为(　　)A.2或1　　　　B.-2或-1C.1　　　　D.-2题组二　圆的一般方程3.(2023江苏南通通州期中)已知圆M:x2+y2-6x+2y+5=0,则该圆的圆心坐标为(　　)A.(-3,1)　　　　B.(-3,-1)C.(3,1)　　　　D.(3,-1)4.(2023河北衡水期中)已知圆C的圆心在直线x+y=0上,且圆C与y轴的交点分别为A(0,4),B(0,-2),则圆C的一般方程为(　　)A.x2+y2-2x+2y-8=0　　　　B.x2+y2+2x-2y-8=0C.x2+y2-2x+2y+2-


√33x对称的圆的一般方程是(　　)A.x2+y2-2
3x-2y+3=0　　　　B.x2+y2-4y+3=0C.x2+y2-2y=0　　　　D.x2+y2-2x-2
√
√3y+3=07.(2023江苏连云港期中)河道上有一座圆拱桥,在正常水位时,拱圈内部最高点距水面9 m,拱圈内部水面宽22 m.一条船在水面以上部分高6.5 m,船顶部宽4 m,可以通行无阻,近日水位暴涨了2.7 m,为此,必须加重船载,降低船身,才能使船通过桥洞,试问船身应该降低多少?(精确到0.01)题组三　与圆有关的动点的轨迹问题8.(2023陕西延安期中)已知△ABC的顶点A(0,0),B(4,0),且AC边上的中线BD的长为3,则顶点C的轨迹方程是　　　　　. 2
5.(2022安徽安庆一中期中)若圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心位于第三象限,那么直线x+ay+b=0一定不经过(　　)A.第一象限　　　　B.第二象限C.第三象限　　　　D.第四象限6.(2023河北邢台六校联考)圆x2+y2-4x+3=0关于直线y=


√3).(1)求△ABC的外接圆圆O的方程;(2)在圆O上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足,当点P在圆上运动时,求线段PD的中点M的轨迹方程.能力提升练题组一　圆的方程1.(2022湖南岳阳期中)已知直线l经过点(2,0),且与圆O:x2+y2=36交于M,N两点,则线段MN的中点G的轨迹方程为　　　　. 2.已知定点M(-3,4),动点N在圆O:x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,则点P的轨迹为　　　　. 3.(2022浙江台州天台月考,)如图,已知正方形ABCD的四个顶点分别为A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2).(1)求对角线AC所在直线的方程;(2)求正方形ABCD外接圆的方程;(3)若动点P为外接圆上一点,点N(-2,0)为定点,问线段PN中点M的轨迹是什么?并求出轨迹方程.3
9.(2023四川成都双流中学期中)已知点A(-2,0),B(2,0),C(1,


√5B.6C.√5−1D.√5+16.(2022江苏苏州昆山七校联考)已知直线l:
xy
+
sinθcosθ=1,θ∈
π
0,
(C与两坐标轴的交点分别为A,B,则线段AB的中点)的轨迹与坐标轴围成的图形的面积为(　　)A.π2B.π4C.π8D.π167.(2023江苏徐州睢宁文华中学检测)已知圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,直线l:(3-2t)x+(t-1)y+2t-1=0恒过定点A.若一条光线从点A射出,4
2
题组二　圆的方程的应用4.(2022黑龙江哈师大附中期中)若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则a的取值范围为(　　)A.(-∞,-2)　　　　B.(-∞,-1)C.(1,+∞)　　　　D.(2,+∞)5.(2022天津期中)已知圆C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R),则当圆C的面积最小时,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为(　　)A.


(−12,0,,且λ=2)若点B(1,1),则2|MP|+|MB|的最小值为　　　　. 9.(2022江苏苏州实验中学调研)已知以点C为圆心的圆经过点A(-1,2)和点B(3,4),且圆心在直线x+3y-15=0上.(1)求圆C的方程;(2)设点P在圆C上,求△PAB的面积的最大值.5
经直线x-y-5=0上一点M反射后到达圆C上的一点N,则|AM|+|MN|的最小值为　　　　. 8.(2023湖北襄阳四中期中)已知动点M与两定点Q,P的距离之比¿MP∨¿¿MQ∨¿¿¿=λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为x2+y2=1,定点Q为x轴上一点,P


足题意.综
上所m,实数述的值为1.故选C.3.D　圆M:x2+y2-6x+2y+5=0,其标
准+程为(x-3)2方(y+1)2=5,故该圆的圆心坐标为(3,-1).故选D.4.B　设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则圆心C的坐标为
(−D2,−E2x,由圆心在直线)+y=0上可得D+E=0.6
答案与分层梯度式解析第二章　直线和圆的方程2.4.2　圆的一般方程基础过关练1.D2.C3.D4.B5.D6.D1.D　解法一:因为方程表示的图形是圆,所以4+4m>0,解得m>-1.故实数m的取值范围为(-1,+∞).解法二:方程x2+y2-2y-m=0可化为x2+(y-1)2=m+1,因为方程表示的图形是圆,所以m+1>0,解得m>-1.故实数m的取值范围为(-1,+∞).故选D.2.C　由题意得2m2-6m+4=0,解得m=1或m=2.当m=2时,方程为x2+y2=0,不符合题意,舍去;当m=1时,方程为x2+y2+2x-2y=0,即(x+1)2+(y-1)2=2,满


{16+4E+F=0,4−2E+F=0,解得该圆的一般方程是E=−2,F=−8,∴D=2,∴{x2+y2+2x-2y-8=0.故选B.5.D　圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心为
(a,−3b22.由圆心位于第三象限,得a0.∴直线x+ay+b=0在x轴上的
截-b距0-ba距,∴直线x+ay+b=0经过x轴
负半和上一点轴y轴正半上一点,轴∴直线x+ay+b=0经过第一
、二、故选,不经过第四象限.三象限D.6.D　圆x2+y2-4x+3=0可化为(x-2)2+y2=1,其圆心坐标为(2,0),半径
为1.设圆心(2,0)关于直线y=
3
√
3x的对称点的坐标为(a,b),则
√33=−1,b2=
{a=1,b=
√3,∴所求圆的圆心坐标为(1,
√33·a+22,解得
{ba−2·
√3),易
知所求圆的半径仍为1,故其方程为(x-1)2+(y-
√3)2=1,化为一般方程为x2+y2-2x-2
√3y+3=0,故选D.7
由圆C与y轴的交点分别为A(0,4),B(0,-2),可得


提取　①正常水位时,拱圈内部水面宽22 m,拱圈内部最高点、船
相4 m9 m,6.5 m,船顶部宽对水面的高度分别为;②水位升高2.7 m,船身
要下降才能通过.解题
思路　建立合适的直角坐标系,写出拱桥所在圆的方程,利用相关点的坐标
进行求解.解析　以正常水位时河道中
央为原点O,建立角坐面直平标系,如图所示.易
知拱桥所在圆过点(11,0),(-11,0),(0,9),设拱桥所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),故
{121+F+11D=0,121+F−11D=0,81+F+9E=0,解得
{D=0,E=409,F=−121.故拱桥所在圆的方程是x2+y2+409y-121=0.当x=2时,可得y≈8.82.故当水位暴涨2.7 m后,船身应该降低6.5+2.7-8.82=0.38(m).故船身应降低0.38 m,才能通过桥洞.8.答案　(x-8)2+y2=36(y≠0)8
7.信息


xy
,
(∵.)B(4,0),且AC边上的中线BD的长为3,∴
22
2=9,即(x-8)22+y2=36(y≠0).9.解析　(1)设圆O的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,因为圆O经过A(-2,0),B(2,0),C(1,
xy
−4+
()()
22
√3)三点,所以
{D=0,E=0,F=−4,所以圆O的一般方程为x2+y2-4=0.(2)设M(x,y),P(xP,yP),则D(xP,0),∵M为线段PD的中点,即xP=x,yP=2y,又
{(−2)2−2D+F=0,22+2D+F=0,12+(
√3)2+D+√3E+F=0,解得
点P在圆O:x2+y2=4上,∴x2+(2y)2=4,即
2
x
4+y2=1,故点M的轨迹方程为
2
x
4+y2=1.能力提升练4.D5.D6.D1.答案　(x-1)2+y2=1解析　设线段MN的中点G的坐标为(x,y),当直线l的
斜率存时且不为0在,设其为k,则l的方程为y=k(x-2),由题知kMN·kOG=-1,即
yy
·
得y2+x2-2x=0,即(x-1)2+y2=1(x≠2且x≠0).9
x−2-=x1,整理
解析　设C(x,y)(y≠0),则D


斜率不存称在,其方程为x=2,此时由圆的对时性得G(2可,0),其坐标
也满+(x-1)2足y2=1.当直线l的
斜率为0时,易G得(0,0),其坐标也满2(x-1)足+y2=1.综
上,线段MN的中点G的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.2.答案　以(-3,4)为圆心,2为
半径的圆,除去点
9122128
−,和点−,
()(析　解)如图所示.设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为
5555
xy
,
(),线段MN的中点坐标为
22
2x0−32,y0+4().由于平行四边形的对角线
互相与分,所以线段OP平线段MN的中点重合,所以
x−3
x
0
=,
x=x+3,
22
0
即
{
y+4
yy=y−故N(x4,+3,y-4).又
0
0
{
=,
22
点N(x+3,y-4)在圆x2+y2=4上,所以(x+3)2+(y-4)2=4.10
当直线l的


半径的圆,除去点
9122128
−,和点−,
()(.3.)解析　(1)由直线方程的两点式可知,对角线AC所在直线的方程为y−2−2−2=x−40−4,整理
5555
得x-y-2=0.(2)设G为正方形ABCD外接圆的圆心,则G为AC的中点,∴G(2,0).设r为正方形ABCD外接圆的
半径,则r=12|AC|,又|AC|=
22
(4−0)+(2+2)=42,∴r=2
√正方形2.∴√ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.(3)设P(x0,y0),M(x,y),则
√
{x0=2x+2,y0=2y.∵点P为外接圆上一点,∴(2x+2-2)2+(2y)2=8,整理,得x2+y2=2.∴点M的轨迹是以原点为圆心,
{x=x0−22,y=y02,∴
√2为
半径,轨迹方程为x2+y的圆2=2.4.D　x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0,即(x+a)2+(y-2a)2=4,其圆心为(-a,2a),半径等
于2,所以由题意可得
|>2,¿2a
{−a0,¿−a
|>2,解得a>2,11
当点P在直线OM上时,有x=-95,y=125或x=−215,y=285.因此所求轨迹是以(-3,4)为圆心,2为


半径r(r>0),则为r2=m2+4m+5=(m+2)2+1,当圆C的面积最小时,必有m=-2,此时r2=1,圆C的方程为(x+1)2+(y+2)2=1.圆心C(-1,-2)到原点的距离d=
√1+4=5√,则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d+r=
√5+1.故选D.6.D　不
妨直线l与x设轴交点为A,与y轴的交点为B,由直线l的方程可知,A(sin θ,0),B(0,cos θ),由θ∈
π
0,
(,可得)cos θ>0,sin θ>0,设线段AB的中点为C(x,y),可得
2
{x=sinθ2,y=cosθ2,由sin2θ+cos2θ=1,可得x2+y2=
1
4(x>0,y>0),故线段AB的中点C的轨迹与坐标轴围成的图形为14个圆,其面积为14×π×
(122=π16).故选D.7.答案　6解析　直线l的方程可化为3x-y-1-t(2x-y-2)=0,令2x-y-2=0,3x-y-1=0,可得x=-1,y=-4,12
所以a的取值范围为(2,+∞).故选D.5.D　圆C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R),即(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5,其圆心为C(-1,m),设其


{a=1,b=−6,所以点A'的坐标为(1,-6).由圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,可知其圆心为C(1,1),半径r=1,则|A'C|=7,由线段垂直平分线的
{b+4a+1×1=−1,a−12−b−42−5=0,解得
性质,|AM可知|=|A'M|,所以|AM|+|MN|=|A'M|+|MN|≥|A'N|≥|A'C|-r=7-1=6,当且
仅,A'当M,N,C四点共线时等号成,立所以|AM|+|MN|的最小值为6.8.答案　
√10解析　由题意可得圆x2+y2=1是关于P,Q的阿波罗尼斯圆,且λ=2,则¿MP∨¿¿MQ∨¿¿¿=2,设M(x,y),Q(m,n)