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第二章 直线和圆的方程2.2.2 直线的两点式方程基础过关练题组一 直线的两点式方程1.(2022河北邯郸八校联盟期末)经过点(1,3),(-2,4)的直线方程为()A.x+3y-10=0 B.3x+y-10=0C.x-3y+10=0 D.3x+y+10=02.(2022江苏扬州期中)已知直线l的两点式方程为y+32+3=x−0−3−0,则l的斜率为( )A.-53B.53C.−32D.323.(2023吉林白城通榆毓才中学期中)已知A(3,2),B(-2,3),C(4,5),则△ABC的边BC上的中线所在直线的方程为( )A.x+y+1=0 B.x+y-1=0C.x+y-5=0 D.x-y-5=04.(2022吉林白城一中期中)把五个边长为1的正方形按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中,经过坐标原点的一条直线l将这五个正方形分成面积相等的两部分,则直线l的方程为( )1
5
4x D.y=x题组二 直线的截距式方程5.(2022甘肃武威期末)在x,y轴上的截距分别是-3,4的直线方程是( )A.4x+3y-12=0 B.4x-3y+12=0C.4x+3y-1=0 D.4x-3y+1=06.(2023辽宁大连育明高级中学期中)已知直线mx+3y-12=0在两个坐标轴上的截距之和为7,则实数m的值为( )A.2 B.3 C.4 D.57.(2022江苏盐城期中)已知直线l分别交x轴和y轴于A,B两点,若M(2,1)是线段AB的中点,则直线l的方程为( )A.2x-y-3=0 B.2x+y-5=0C.x+2y-4=0 D.x-2y+3=08.(2022天津新华中学月考)经过点A(4,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的3倍的直线l的方程为 . 题组三 直线的两点式、截距式方程的应用9.(2022山东临沂平邑一中质检)两条直线
xyxy
−=1与−
mnn形可能是=1的图m( )2
A.y=35xB.y=34x C.y=
10.(2022江苏镇江扬中第二高级中学月考)在平面直角坐标系Oxy中,直线l过点P(1,2).(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;(2)若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A、B两点,当△AOB的面积最小时,求直线l的方程.3
答案与分层梯度式解析第二章 直线和圆的方程2.2.2 直线的两点式方程基础过关练1.A2.A3.C4.C5.B6.C7.C9.B1.A 由题意得y−43−4=x+21+2,整理得x+3y-10=0.故选A.方法点拨 已知直线上两点的坐标求直线方程时,若满足两点式方程的适用条件,则可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程,化简即得结果.代入坐标时要注意横、纵坐标的对应关系.在斜率存在的前提下,也可以利用斜率公式算出两点连线的斜率,再用点斜式求方程.2.A 由题意知,直线l过点(-3,2),(0,-3),所以l的斜率为2−(−3)−3−0=−53.3.C 由题意知边BC的中点为(1,4),记D(1,4),∴BC边上的中线所在直线过A(3,2),D(1,4),其方程为y−24−2=x−31−3,整理得x+y-5=0.故选C.4
(2,52,故直线l的方程为y−052−0=x−02−0,即y=54x.)5.B 根据直线的截距式方程得直线方程为x−3+y4=1,化简得4x-3y+12=0.故选B.6.C 由题意知m≠0,令x=0,得y=4,令y=0,得x=12m,∵直线mx+3y-12=0在两个坐标轴上的截距之和为7,∴4+12m=7,∴m=4,故选C.7.C 设A点的坐标为(a,0),B点的坐标为(0,b),因为M(2,1)是线段AB的中点,所以a+02=2,0+b2=1,所以a=4,b=2,即A点的坐标为(4,0),B点的坐标为(0,2),故直线l的方程为x4+y2=1,即x+2y-4=0.故选C.8.答案 x+3y-10=0或x-2y=0解析 若直线l经过原点,则l的方程为y=
2
4x,即x-2y=0.若直线l不经过原点,设l的方程为x3a+ya=1,5
4.C 因为直线l将这五个正方形分成面积相等的两部分,所以直线l及其下方部分组成面积为52的直角三角形,所以直线l过点(0,0)及点
xy
−
m分=1在x轴,y轴上的截距n别是m,-n,直线xn−ym=1在x轴,y轴上的截距分别是n,-m,因此四个截距中两正两负,对照选项中图形知B正确.10.解析 (1)若直线l在两坐标轴上的截距均为0,则直线l过点(0,0),(1,2),∴直线l的方程为y=
2−0
1−x,即2x-y=0;若直线l在两坐标轴上的截距均不为00,设直线l的方程为xa+ya=1,把(1,2)代入,得1a+2a=1,解得a=3,∴直线l的方程为x+y-3=0.∴直线l的方程为2x-y=0或x+y-3=0.(2)由题可知直线l的斜率存在且不为0,设为m,则m<0,又直线l过点P(1,2),故直线l的方程为y-2=m(x-1),即mx-y+2-m=0.∴A
(m−2m,0B,)(0,2-m).6
把(4,2)代入方程可解得a=103,∴直线l的方程为x10+y103=1,即x+3y-10=0.∴直线l的方程为x+3y-10=0或x-2y=0.9.B 直线
2
−(m−2)
−m2
=2++
(≥2+2=4,当且仅当−)m2=2−m,即m=-2时取等号.故△AOB面积的最小值为4,此时直线l的方程为2x+y-4=0.导师点睛 在应用基本不等式求最值时,要注意验证“一正二定三相等”.7
2m2−m
∴△AOB的面积为12·m−2m·(2-m)=
5
4x D.y=x题组二 直线的截距式方程5.(2022甘肃武威期末)在x,y轴上的截距分别是-3,4的直线方程是( )A.4x+3y-12=0 B.4x-3y+12=0C.4x+3y-1=0 D.4x-3y+1=06.(2023辽宁大连育明高级中学期中)已知直线mx+3y-12=0在两个坐标轴上的截距之和为7,则实数m的值为( )A.2 B.3 C.4 D.57.(2022江苏盐城期中)已知直线l分别交x轴和y轴于A,B两点,若M(2,1)是线段AB的中点,则直线l的方程为( )A.2x-y-3=0 B.2x+y-5=0C.x+2y-4=0 D.x-2y+3=08.(2022天津新华中学月考)经过点A(4,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的3倍的直线l的方程为 . 题组三 直线的两点式、截距式方程的应用9.(2022山东临沂平邑一中质检)两条直线
xyxy
−=1与−
mnn形可能是=1的图m( )2
A.y=35xB.y=34x C.y=
10.(2022江苏镇江扬中第二高级中学月考)在平面直角坐标系Oxy中,直线l过点P(1,2).(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;(2)若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A、B两点,当△AOB的面积最小时,求直线l的方程.3
答案与分层梯度式解析第二章 直线和圆的方程2.2.2 直线的两点式方程基础过关练1.A2.A3.C4.C5.B6.C7.C9.B1.A 由题意得y−43−4=x+21+2,整理得x+3y-10=0.故选A.方法点拨 已知直线上两点的坐标求直线方程时,若满足两点式方程的适用条件,则可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程,化简即得结果.代入坐标时要注意横、纵坐标的对应关系.在斜率存在的前提下,也可以利用斜率公式算出两点连线的斜率,再用点斜式求方程.2.A 由题意知,直线l过点(-3,2),(0,-3),所以l的斜率为2−(−3)−3−0=−53.3.C 由题意知边BC的中点为(1,4),记D(1,4),∴BC边上的中线所在直线过A(3,2),D(1,4),其方程为y−24−2=x−31−3,整理得x+y-5=0.故选C.4
(2,52,故直线l的方程为y−052−0=x−02−0,即y=54x.)5.B 根据直线的截距式方程得直线方程为x−3+y4=1,化简得4x-3y+12=0.故选B.6.C 由题意知m≠0,令x=0,得y=4,令y=0,得x=12m,∵直线mx+3y-12=0在两个坐标轴上的截距之和为7,∴4+12m=7,∴m=4,故选C.7.C 设A点的坐标为(a,0),B点的坐标为(0,b),因为M(2,1)是线段AB的中点,所以a+02=2,0+b2=1,所以a=4,b=2,即A点的坐标为(4,0),B点的坐标为(0,2),故直线l的方程为x4+y2=1,即x+2y-4=0.故选C.8.答案 x+3y-10=0或x-2y=0解析 若直线l经过原点,则l的方程为y=
2
4x,即x-2y=0.若直线l不经过原点,设l的方程为x3a+ya=1,5
4.C 因为直线l将这五个正方形分成面积相等的两部分,所以直线l及其下方部分组成面积为52的直角三角形,所以直线l过点(0,0)及点
xy
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m分=1在x轴,y轴上的截距n别是m,-n,直线xn−ym=1在x轴,y轴上的截距分别是n,-m,因此四个截距中两正两负,对照选项中图形知B正确.10.解析 (1)若直线l在两坐标轴上的截距均为0,则直线l过点(0,0),(1,2),∴直线l的方程为y=
2−0
1−x,即2x-y=0;若直线l在两坐标轴上的截距均不为00,设直线l的方程为xa+ya=1,把(1,2)代入,得1a+2a=1,解得a=3,∴直线l的方程为x+y-3=0.∴直线l的方程为2x-y=0或x+y-3=0.(2)由题可知直线l的斜率存在且不为0,设为m,则m<0,又直线l过点P(1,2),故直线l的方程为y-2=m(x-1),即mx-y+2-m=0.∴A
(m−2m,0B,)(0,2-m).6
把(4,2)代入方程可解得a=103,∴直线l的方程为x10+y103=1,即x+3y-10=0.∴直线l的方程为x+3y-10=0或x-2y=0.9.B 直线
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−(m−2)
−m2
=2++
(≥2+2=4,当且仅当−)m2=2−m,即m=-2时取等号.故△AOB面积的最小值为4,此时直线l的方程为2x+y-4=0.导师点睛 在应用基本不等式求最值时,要注意验证“一正二定三相等”.7
2m2−m
∴△AOB的面积为12·m−2m·(2-m)=
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